圓錐曲線的綜合問題一詳細(xì)解析版

1、圓錐曲線的綜合問題（一）最新考綱1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法；2.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用；3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程AxByC0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程，即消去y，得ax2bxc0.(1)當(dāng)a0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則0直線與圓錐曲線C相交；0直線與圓錐曲線C相切；0直線與圓錐曲線C相離.(2)當(dāng)a0，b0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若

2、C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|··|y1y2|·.例題精講（考點(diǎn)分析）考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例1】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(1，0)，且點(diǎn)P(0，1)在C1上.(1)求橢圓C1的方程；(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y24x相切，求直線l的方程.解(1)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1(1，0)，c

3、1，又點(diǎn)P(0，1)在曲線C1上，1，得b1，則a2b2c22，所以橢圓C1的方程為y21.(2)由題意可知，直線l的斜率顯然存在且不等于0，設(shè)直線l的方程為ykxm，由消去y，得(12k2)x24kmx2m220.因?yàn)橹本€l與橢圓C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.由消去y，得k2x2(2km4)xm20.因?yàn)橹本€l與拋物線C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.綜合，解得或所以直線l的方程為yx或yx.規(guī)律方法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)，消元后，應(yīng)注意討論含x2項(xiàng)的

4、系數(shù)是否為零的情況，以及判別式的應(yīng)用.但對(duì)于選擇、填空題要充分利用幾何條件，用數(shù)形結(jié)合的方法求解.【訓(xùn)練1】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P(2，1)，若直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，依題意|MF|x|1，|x|1，化簡(jiǎn)得y22(|x|x)，故軌跡C的方程為y2(2)在點(diǎn)M的軌跡C中，記C1：y24x(x0)；C2：y0(x0).依題意，可設(shè)直線l的方程為y1k(x2).由方程組可得ky24y4(2k1)0.當(dāng)k0時(shí)，此時(shí)y1.把y

5、1代入軌跡C的方程，得x.故此時(shí)直線l：y1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)k0時(shí)，方程的16(2k2k1)16(2k1)(k1)，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0，0)，則由y1k(x2)，令y0，得x0.()若由解得k1，或k.所以當(dāng)k1或k時(shí)，直線l與曲線C1沒有公共點(diǎn)，與曲線C2有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn). ()若即解集為.綜上可知，當(dāng)k1或k或k0時(shí)，直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn).考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問題【例2】 (2016·四川卷)已知橢圓E：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l：yx3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.

6、(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)，使得|PT|2|PA|·|PB|，并求的值.(1)解由已知，ab，則橢圓E的方程為1.由方程組得3x212x(182b2)0.方程的判別式為24(b23)，由0，得b23，此時(shí)方程的解為x2，所以橢圓E的方程為1.點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2，1).(2)證明由已知可設(shè)直線l的方程為yxm(m0)，由方程組可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為.|PT|2m2.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程組可得3x24mx(4m212)0.方程的判別式為16

7、(92m2)，由>0，解得<m<.由得x1x2，x1x2.所以|PA|，同理|PB|.所以|PA|·|PB|m2.故存在常數(shù)，使得|PT|2|PA|·|PB|.規(guī)律方法有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)問題的求解方法：涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練的利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.【訓(xùn)練2】 已知橢圓1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0).(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：yxm與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的

8、圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足，求直線l的方程.解(1)由題設(shè)知解得a2，b，c1，橢圓的方程為1.(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2y21，圓心到直線l的距離d，由d1，得|m|.(*)|CD|22.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根與系數(shù)關(guān)系可得x1x2m，x1x2m23.|AB|.由，得1，解得m±，滿足(*).直線l的方程為yx或yx.考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問題【例3】 (1)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知雙曲線x2

9、1上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線yxm對(duì)稱，且MN的中點(diǎn)在拋物線y218x上，則實(shí)數(shù)m的值為_.解析(1)因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3，0)和點(diǎn)(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3，選D.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，則由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，顯然x1x2.·3，即kMN·3，M，N關(guān)于直線yxm對(duì)稱，kMN1，y03x0.又y0x0m，P，代入拋物線方程得m218·，解得m

10、0或8，經(jīng)檢驗(yàn)都符合.答案(1)D(2)0或8規(guī)律方法處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法(1)點(diǎn)差法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1x2，y1y2，三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率.(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系求解.【訓(xùn)練3】 設(shè)拋物線過定點(diǎn)A(1，0)，且以直線x1為準(zhǔn)線.(1)求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程；(2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為ykxm，試求m的取值范圍.解(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P(

11、x，y)，則焦點(diǎn)F(2x1，y).再根據(jù)拋物線的定義得|AF|2，即(2x)2y24，所以軌跡C的方程為x21.(2)設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，則由點(diǎn)M，N為橢圓C上的點(diǎn)，可知兩式相減，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，將xMxN2×1，yMyN2y0，代入上式得k.又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上，所以y0km.所以my0ky0.由點(diǎn)P在線段BB上(B，B為直線x與橢圓的交點(diǎn)，如圖所示)，所以yBy0yB，也即y0.所以m，且m0.基礎(chǔ)過關(guān)1.過拋物線y22x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線

12、()A.有且只有一條 B.有且只有兩條C.有且只有三條 D.有且只有四條解析通徑2p2，又|AB|x1x2p，|AB|32p，故這樣的直線有且只有兩條.答案B2.直線yx3與雙曲線1(a0，b0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.1或2 D.0解析因?yàn)橹本€yx3與雙曲線的漸近線yx平行，所以它與雙曲線只有1個(gè)交點(diǎn).答案A3.經(jīng)過橢圓y21的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·等于()A.3 B.C.或3 D.±解析依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1，0)時(shí)，其方程為y0tan 45°(x1)，即yx1，代入橢圓方

13、程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，1)，·，同理，直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得·.答案B4.拋物線yx2到直線xy20的最短距離為()A. B.C.2 D.解析設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則d，x時(shí)， dmin.答案B5.(2017·石家莊調(diào)研)橢圓ax2by21與直線y1x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為()A. B. C. D.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB中點(diǎn)M(x0，y0)，由題設(shè)kOM.由得.又1，.所以.答案A6.已知橢圓C：1(ab0)，F(xiàn)(，0)為其右焦

14、點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2.則橢圓C的方程為_.解析由題意得解得橢圓C的方程為1.答案17.已知拋物線yax2(a0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則直線yx1截拋物線所得的弦長(zhǎng)等于_.解析由題設(shè)知p2，a.拋物線方程為yx2，焦點(diǎn)為F(0，1)，準(zhǔn)線為y1.聯(lián)立消去x，整理得y26y10，y1y26，直線過焦點(diǎn)F，所得弦|AB|AF|BF|y11y218.答案88.過橢圓1內(nèi)一點(diǎn)P(3，1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是_.解析設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由于A，B兩點(diǎn)均在橢圓上，故1，1，兩式相減得0.又P是A，B的中點(diǎn)，x1x26，y1y

15、22，kAB.直線AB的方程為y1(x3).即3x4y130.答案3x4y130三、解答題9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列.(1)求E的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)P(0，1)滿足|PA|PB|，求E的方程.解(1)由橢圓定義知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程為yxc，其中c.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y，化簡(jiǎn)得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，則x1x2，x1x2.因?yàn)橹本€AB的斜率為

16、1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的離心率e.(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，從而a3，b3.故橢圓E的方程為1.10.已知橢圓C：1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2，0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值.解(1)由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2

17、，所以|MN|又因?yàn)辄c(diǎn)A(2，0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN|·d，由，解得k±1.能力提高11.已知橢圓1(0b2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是()A.1 B. C. D.解析由橢圓的方程，可知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a2，由橢圓的定義，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由橢圓的性質(zhì)，可知過橢圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，即3，可求得b23，即b.答案D12.(2016·四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p&g

18、t;0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值是()A. B. C. D.1解析如圖所示，設(shè)P(x0，y0)(y0>0)，則y2px0，即x0.設(shè)M(x，y)，由2，得解之得x，且y.直線OM的斜率k又y02p，當(dāng)且僅當(dāng)y0p時(shí)取等號(hào).k，則k的最大值為.答案C13.設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足.如果直線AF的斜率為，那么|PF|_.解析直線AF的方程為y(x2)，聯(lián)立得y4，所以P(6，4).由拋物線的性質(zhì)可知|PF|628.答案814.已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.解(1)設(shè)Q(x0，4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由題設(shè)得×，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程為y24x.(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)l的方程為xmy