內(nèi)切球與外接球習(xí)題講義教師版(同名4193)

1、內(nèi)切球與外接球習(xí)題講義教師 版（同名4193）立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問題的探究1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合, 以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然 后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1.1 球與正方體如圖1所示，正方體WB8-月產(chǎn)心口，設(shè)正方體的棱長為%E.F,H,G為 棱的中點(diǎn)，。為球的球心常見組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方形 和其內(nèi)切圓，則儂=r = T ;二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形跖日G和其外接圓，則 亞0G = /? = a ;2三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形

2、和其外接圓，則A.O =R =巫.12通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截 面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位 置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平 面問題.圖I例1棱長為1的正方體力BUD-4說GR的8個頂點(diǎn)都在球。的表面上,E, F分別是棱乂4，?？诘闹悬c(diǎn)，則直線EF被球。截得的線段長為（A. B* 1 C. 1 + D. 4122翼:由題意可知，球為正方體的外援球.平面期截面所得圖面的半徑7歐c鮑。&：爵辭財囂得的嬲糖的胸鼬直徑2及二板L2球與長方體長方體各頂點(diǎn)可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一

3、定存在 內(nèi)切球.設(shè)長方體的棱長為口hC,其體對角線為f,當(dāng)球為長方體的外接球 時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一 樣的，故球的半徑氏=一叵正運(yùn).22例2在長、寬、高分別為2, 2. 4的長方體內(nèi)有一個半徑為1的球，任意 擺動此長方體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為（）7支B.4itDt 3集:利用運(yùn)動的皿點(diǎn)、分折在小球移動的過程中.進(jìn)逼部分的幾何體.因半徑為1的小球恰好為校長為2的正方體的內(nèi)切球，故小球經(jīng)過空間由上往下看為t半個小球、高為2的圓柱和半個小球，三部分的年積為-xl3 x-x2+jtx I3 x2=323L3 球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形

4、態(tài)居多。下面以正三棱柱為例， 介紹本類題目的解法一一構(gòu)造直角三角形法。設(shè)正三棱柱58c-40G的高 為心底面邊長為口，如圖2所示，。和R分別為上下底面的中心。根據(jù)幾 何體的特點(diǎn)，球心必落在高。的中點(diǎn)O, OD = -tAO = R,AD=-a9借助直 23角三角形月0D的勾股定理，可求/?=已+立：。（3 J例3正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為A的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值，為.解如圖3，就面圖為長方形上必5和其外接圓.球心為w用的中點(diǎn)則K = QA設(shè)正四棱柱的倒棱長為3,底面邊長為口，則AC = 42a .AE = &QE = k = (- a)3 + (-)s,4箝=2/十，則正四樓柱的

5、惻面積:2222S = Aub= 2a -y/2b M+2自=A/2r故惻面積有裹大值，為46&L 當(dāng)且僅當(dāng)占二/占時等導(dǎo)成立.2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充 分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和 高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2. 1球與正四面體 正四面體作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且 兩心合一，利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長關(guān)系。如圖4,設(shè)正四面體S-的棱長為。，內(nèi)切球半徑為廣，外接球的半徑為 我,取相的中點(diǎn)為2, E為5在底面的射影，連接CRSRSE為正四面

6、體的 高。在截面三角形立七，作一個與邊Q和。相切，圓心在高SE上的圓，即 為內(nèi)切球的截面。因為正四面體本身的對稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為O。止匕時,CO =OS=R,OE =r,SE = J2a,CE =a,貝 U 有 R + r=J2a, R2 -r2= CE2=，解 33V33得：R=2/6a,r =a.這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個 412球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心O為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便 .圖4例4將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（）A. B

7、. 2+ 述C. 4+ 送 D. 43333密器四面體產(chǎn)中的這四個小球,以四個1當(dāng)為球心為頂點(diǎn)構(gòu)戌了 一個梭長為2的.球心正四面彈， 這個四面體的高是“單像正四面體”高工雪）的金佰即為考5.“球心正四面體總的is面到.容等正四 面體”的地面為小球半徑1-而“琢心工四面體用 頂總至11 容器正四面體”的頂點(diǎn)的距離為3 L卜球半徑的 3 于是心容需正四面體”的總為當(dāng)5+3 + 1,速揮 d 這個 療小減半徑的3倍融是這樣想的帔一個小球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.2.2球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱

8、錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐 的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三棱柱補(bǔ)形成正方體或者長方 體。常見兩種形式：一是三棱錐的三條棱互相垂直且相等，則可以補(bǔ)形為一個正方體，它 的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心。如圖5,三棱錐A-AB1D1的外接球的球心和正方體ABCD - A1B1cl D1的外接球的球心重合，設(shè)AA1 = a ,則3 cR a o2二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補(bǔ)形為一個長2,22.2方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心，R2J - +c J44（l為長方體的體對角線長）。例5 在正三棱錐 S-ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，

9、且AM _LMN ,若側(cè)棱SA = 2庭,則正三棱錐S - ABC外接球的表面積例6在三棱錐P-ABC中，PA= PB=PC=3,側(cè)棱PA與底面AB所成的二梗鏈W-內(nèi)石U外接球的表面積是解; 如圖日.止三修范對噢相幺垂亙，即且（7_|_四.乂ssll MW工工C.又_L AM. 牧7, 平面乩4C于是夠_L平面區(qū)4c */_1_應(yīng)4.8_LU 從而屈4_Lg.IT時iF三悟進(jìn) 牙-川FC1的三條側(cè)特與相垂直并口 相等，故將正三植糖補(bǔ)形為正方體球的半徑A . n B. 1 C. 4 nD解：如圖7所示，過戶點(diǎn)作底面的垂線，垂足為。，設(shè)H為外接球的球心，連接為凡叢5因=百,故 A0 = ,產(chǎn)。=又

10、 AHO 為直角三角形.22圖72.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截 面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四 個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑R.這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱 錐的體積和為正三棱錐的體積.加=耽=尸AH2 = AO1OH1t2.4 球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用 截面法、補(bǔ)形法、等進(jìn)行求解。例如，四面體都是直角三角形的三棱錐，可利用直

11、角三角形斜邊中點(diǎn)幾何 特征，巧定球心位置。角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為（）如圖8,三棱錐S-ABC,滿足$人_1面ABC)AB_LBC)取SC的 中點(diǎn)為O,由直角三角形的性質(zhì)可得：OA = OS = OB = OC ,所以。點(diǎn)為三棱錐S -ABC的夕卜接球的球心，則R = SC .2B圖S3球與球?qū)€多個小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的 空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個小 球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題 求解.例8在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的 4個小球，則小球的半徑的最大值為例7矩形ABCD中，AB =

12、4,BC =3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC -D ,則四面體ABCD的外接球的體積是()A.受二B. 望二C. 宜二 D. 四二12963解：由題意分析可知，四面體面的外接球的球心落在的中點(diǎn)，此時滿足8 = 0。二。3 = 0二.n_4 負(fù)252 236C.-j-J?D.解要使得小球的半徑震大.需使得4個小球的球心為一個正四面體的 四個頂點(diǎn).如圖9所示，此時正四面體H-的外接球的球心為O, 即為半徑為艮的球的球心，則不。=衣-尸.又因O為4。1的四分點(diǎn).敵4AOl=(R-r), 在 RtLABO 中 ,= 2*骰=|鳳便=寸=(力一(|后廣r = (/6-2)R圖9例r在半徑

13、為K的球內(nèi)放入大d號目等的4個小球，則小球半徑-的最大值為()11解：如圖11所示，由題意琢心在紀(jì)上.球心為5 過。作的垂續(xù)QN垂足為N, 0*R,因為各個犢耨為2。，所以ep=20,bm=iot 詼設(shè)/總辦=a.在在必LFM 中，BF3 wm4fN十尸Af 所&.在用 PAH 中,產(chǎn)豳產(chǎn)=加1戶+且尸，所以FR= 10&.在戌必ABP中.m絲=12匹=返，在正必ONP中，史*=絲=,所以 BP 202OF 0F,所以O(shè)F = 0我.在衣必。AM中，溫?口,十達(dá)山產(chǎn)，所以，R2 = （10J2 -+W0 ,OP 2解得，貞=10或30 （舍），所以，尺=l0t掰，故選E.4球與幾何體的各條棱相

14、切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.2r 二a如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：4 .例8把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（）A. 10 .3cm B. 10cm C. 10 .2cm D. 30cm綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn) 體，解答時首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則 作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點(diǎn) 放

15、在球面上即為球的內(nèi)接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)， 即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.發(fā)揮好空間想象力，借助于 數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題即可得解. 如果是一些特殊的幾何體，如正方體、 正四面體等可以借助結(jié)論直接求解，此時結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.外接球內(nèi)切球問題1.（陜西理）一個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點(diǎn)在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）答案 B3122. 直二棱柱ABC -AB1cl的各頂點(diǎn)都在同一*球面上，若AB =AC =AA =2 , ZBAC =120%貝U止匕球的表面積等于 【解析】此正八面體是每個面的邊長均為 a的正三角形，所以

16、由 8M叵_ = 2知 a = 1,則此球的直徑為 山，故選A。45 .已知正方體外接球的體積是當(dāng)冗，那么正方體的棱長等于（3A.2 . 2 B. 號 C. T D.4. 3答案D6 .（山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）A. 1 ： 73B. 1： 3 C. 1： 3/3D. 1： 9解：在AABC中AB = AC=2, /BAC =120。，可得BC =2/，由正弦定理，可得答案 CABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為0球心為O,在RTAOBO,中， 易得球半徑R=遙，故此球的表面積為4nR2=20L3 .正三棱柱ABC - ABC內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點(diǎn)的球面距離為

17、n , 則正三棱柱的體積為.答案84 .表面積為2石的正八面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球的體積 為A.區(qū) B / C . 2n D .也3333答案A7 .（海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形， 其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9,底面周長8為3,則這個球的體積為答案-38 .（天津理）一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的 三條棱的長分別為1, 2, 3,則此球的表面積為 答案 14九9 .（全國II理）一個正四棱柱的各個頂點(diǎn)在一個直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1 cm,那么該棱柱的表面積為cm 2.答案 2 4.210 .（遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐 P-ABCDEF,則此正六棱錐的側(cè)面積是 .答案 6.712.（棗莊一模）一個幾何體的三視圖如右圖所示， 則該幾何體外接球的表面積為（）A. 3B. 2 二C.D