第五章 大數(shù)定律與中心極限定理(345學(xué)分)_圖文

1、第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理5.1 5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律設(shè)設(shè)Xn為隨機(jī)變量序列，為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，若任給為隨機(jī)變量，若任給 0, 使得使得1|XX|Plimnn 則稱則稱Xn依概率收斂依概率收斂于于X. 可記為可記為PnXX 一一.依概率收斂依概率收斂aXPn例如例如:意思是意思是:當(dāng)當(dāng)a a anXaxn而而意思是意思是:0, 0n |axnn時(shí)時(shí),Xn落在落在),(aa內(nèi)的概率越來(lái)越大內(nèi)的概率越來(lái)越大.,當(dāng)當(dāng)0nn 00,nnn二二.三個(gè)常用的大數(shù)定律三個(gè)常用的大數(shù)定律1.切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律 PnkknXnY11設(shè)設(shè)Xk,k=1,

2、2,.為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且有相為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且有相同的數(shù)學(xué)期望同的數(shù)學(xué)期望 ，及方差，及方差 2，則，則即即若任給若任給 0, 使得使得1|lim nnYP證明證明:由切由切比雪夫不等式比雪夫不等式.)(1| )(|2 nnnYDYEYP 這里這里 nkknXEnYE1)(1)(nXDnYDnkkn212)(1)( 221|1.nP Yn 故故1|lim nnYP2、伯努里伯努里大數(shù)定律大數(shù)定律npfpn 01iX()()(1)iiE XpD Xpp設(shè)進(jìn)行設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生發(fā)生的概率為的概率為p，記，記fn為為n次試驗(yàn)中事件次

3、試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，發(fā)生的頻率，則則證明證明:設(shè)設(shè)第第i次試驗(yàn)事件次試驗(yàn)事件A發(fā)生發(fā)生第第i次試驗(yàn)事件次試驗(yàn)事件A不發(fā)生不發(fā)生則則由切由切比雪夫大數(shù)定理比雪夫大數(shù)定理11nPniifXpn3. 辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律 PnkknXnY11若若Xk,k=1.2,.為獨(dú)立為獨(dú)立同分布同分布隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列, EXk= , k=1, 2, 則則推論推論: 若若Xi,i=1.2,.為獨(dú)立為獨(dú)立同分布同分布隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列, E(X1k) , 則則)(111kPnikiXEXn 5.2. 中心極限定理中心極限定理一一.依分布收斂依分布收斂 設(shè)設(shè)Xn為隨機(jī)變量序列，為隨機(jī)變量序列，X

4、為隨機(jī)變量，其為隨機(jī)變量，其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)分別為對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x), F(x). 若在若在F(x)的的連續(xù)點(diǎn)，有連續(xù)點(diǎn)，有l(wèi)im( )( )nnFxF x則稱則稱Xn依分布收斂依分布收斂于于X. 可記為可記為wnXX *1,. .(0,1),.nwnknnknYXYr v YNX 現(xiàn)令若 的標(biāo)準(zhǔn)化則稱滿足中心極限定理二二.兩個(gè)常用的中心極限定理兩個(gè)常用的中心極限定理 1、獨(dú)立同分布中心極限定理、獨(dú)立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg) 設(shè)設(shè)Xn為獨(dú)立為獨(dú)立同分布同分布隨機(jī)變量隨機(jī)變量序列，若序列，若EXk= 0，k=1, 2, , 則則Xn滿足中心極限滿足中心極限定理

5、。定理。根據(jù)上述定理，當(dāng)根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí))(1nnxxXPnii例例1 1. .將一顆骰子連擲將一顆骰子連擲100100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于300300的概率是多少？的概率是多少？解解:設(shè)設(shè) Xk為第為第k 次擲出的點(diǎn)數(shù)次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,100,則則X1,X100獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布.123544961)(,27)(61211kkXDXE由中心極限定理由中心極限定理 1235102710030013001001iiXP)93. 2(1 9983. 0 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 n (n=1, 2, .)服從參數(shù)為服從參數(shù)為n , p(0p1)的二項(xiàng)分布

6、，則的二項(xiàng)分布，則(0,1)wnnpNnpq 2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理(De Moivre-Laplace)證明證明:設(shè)設(shè)01iX第第i次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A發(fā)生發(fā)生第第i次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A不發(fā)生不發(fā)生則則niiniiXppXDpXE1),1 ()(,)(由中心極限定理由中心極限定理 , 結(jié)論得證結(jié)論得證 例例2 2 在一家保險(xiǎn)公司里有在一家保險(xiǎn)公司里有1000010000個(gè)人參加個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付壽命保險(xiǎn)，每人每年付1212元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%0.6%，死亡時(shí)其家，死亡時(shí)其家屬

7、可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得10001000元，問(wèn)：元，問(wèn)： (1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于不少于60000的概率不小于的概率不小于90%，賠償金至多，賠償金至多可設(shè)為多少？可設(shè)為多少？根據(jù)上述定理，當(dāng)根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí)()nxnpPxnpq 解解 設(shè)設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n, p), 其中其中n= 10000，p=0.6%，設(shè)設(shè)Y表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)，表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)， Y=10000 12-1000X于是于是由中心極限定理由中心極限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X60000=P1000012-aX60000=PX 60000/a 0.9;9 . 0)994. 0006. 010000006. 01000060000( a（2）設(shè)賠償金為）設(shè)賠償金為a元，則令元，則令301