將軍飲馬問題

1、將軍飲馬問題將軍飲馬問題看圖看圖思考：思考：為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了綠地里本沒有路，走的人多了 禁止踐踏禁止踐踏兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短將軍飲馬問題：將軍飲馬問題： 兩線段之和最短這個問題早在古羅馬時代就有兩線段之和最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：他請教一個百思不得其解的問題： 將軍每天騎馬從城堡將軍每天騎馬從城堡A A出

2、發(fā)，到城堡出發(fā)，到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？ 這就是被稱為這就是被稱為將軍飲馬將軍飲馬而廣為流傳的問題。而廣為流傳的問題。P兩點之間線段最短兩點之間線段最短. 根據(jù)：根據(jù)：BA兩點在一條兩點在一條直線兩側(cè)直線兩側(cè)例例1.1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？ 最短路線：最短路線：將軍飲馬：將軍飲馬：A -P- B.例例1 1變式變式1 1：已知美羊羊在：已知美羊羊在A A地玩耍，這時喜地玩耍，這時喜羊羊在小溪的對面羊羊在小溪的對面C C玩耍，并且玩耍，并

3、且ACAC兩地是關(guān)兩地是關(guān)于小溪的對稱點，它倆在小溪的任意一點于小溪的對稱點，它倆在小溪的任意一點E E處匯合，再一起回家的最短路線是什么？處匯合，再一起回家的最短路線是什么？ACBMN將軍飲馬：將軍飲馬： 例例2.2.如如圖：一位圖：一位將軍騎馬從將軍騎馬從城堡城堡A A到城堡到城堡B B， 途中途中馬要到河邊飲水一次馬要到河邊飲水一次， 問：這位將軍怎樣走路程最短？問：這位將軍怎樣走路程最短？ AB河河兩點在一條直線同側(cè)兩點在一條直線同側(cè)( (二二) )一次一次軸對稱軸對稱：BABC例例2作法作法：（1）作）作點點B關(guān)于關(guān)于直線直線 MN 的對稱點的對稱點 B（2）連結(jié)連結(jié)BA，交，交MN

4、于點于點 C； 點點C就是所求的點就是所求的點MN兩點在一條直線同側(cè)兩點在一條直線同側(cè)( (二二) )一次一次軸對稱軸對稱： BC+AC BC +AC ，即即AC+BC最小最小NABCBC 直線直線MN是點是點B、B的的對稱軸對稱軸， 點點C、C在在對稱軸上對稱軸上，BC=BC，BC=BC 在在MN 上任取另一點上任取另一點C，連結(jié)連結(jié)BC、BC、 AC 、 BC 例例2證明證明：在在AB C中中，AB AC+B C， BC+AC = BC+AC = BAMBC +AC = BC +AC 兩點在一條直線同側(cè)兩點在一條直線同側(cè)( (二二) )一次一次軸對稱軸對稱：練習(xí)：已知：P、Q是ABC的邊A

5、B、AC上的點，你能在BC上確定一點R，使PQR的周長最短嗎？兩點在一條直線同側(cè)兩點在一條直線同側(cè)( (二二) )一次一次軸對稱軸對稱：RP草地草地河邊河邊.駐地駐地A例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水， 最后回到駐地A，問：這位將軍怎樣走路程最短？OMN( (三三) )二次軸對稱二次軸對稱：一點一點在兩相交直線內(nèi)部在兩相交直線內(nèi)部.AA.B.CA.MON例例3已知如圖已知如圖 和和 內(nèi)內(nèi)一點一點 ,M O NM O NA(2)AAOMBONC連結(jié) 和 ，交于 ，交于 。,B C則點為所求。( (三三) )二次軸對稱二次軸對稱：一點一點在兩相交直線

6、內(nèi)部在兩相交直線內(nèi)部求作求作:OM上一點上一點B, ON上一點上一點C, 使使AB+BC+AC最小最小作法作法（1）作點）作點A關(guān)于關(guān)于OM、 ON的對稱點的對稱點A、A”鞏固練習(xí)1.在平面直角坐標(biāo)系中有兩點，要在y軸上找一點，使它到的A、B兩點距離之和最小，現(xiàn)有如下四種方案，其中正確的是（）D2.如圖，在等邊ABC中，邊BC的高AD=4，點P是高AD上的一個動點，E是邊AC的中點，在點P運動的過程中，存在PE+PC的最小值，則這個最小值是（） A4 B5 C6 D8A3如圖，正方形ABCD的邊長為8，BCE是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小

7、值為（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10c例例3 3變式變式1 1：已知：已知P P是是ABCABC的邊的邊BCBC上的點上的點， 你能在你能在ABAB、ACAC上分別上分別確定一點確定一點Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周長最的周長最短嗎？短嗎？( (三三) )二次軸對稱二次軸對稱：一點一點在兩相交直線內(nèi)部在兩相交直線內(nèi)部4.如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑PQCBQPQDP為最短路徑DQD例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳

8、篷，請你幫助確定這一天的最短路線。（四）二次軸對稱（四）二次軸對稱： 兩兩點在兩相交直線內(nèi)部點在兩相交直線內(nèi)部例例4 4答案：如圖答案：如圖,A,A是馬廄是馬廄,B,B為帳篷為帳篷, ,牧馬人某一天要從牧馬人某一天要從馬廄牽出馬馬廄牽出馬, ,先到草地邊某一處牧馬先到草地邊某一處牧馬, ,再到河邊飲馬再到河邊飲馬, ,然后回到帳篷然后回到帳篷. .請你幫他確定這一天的最短路線請你幫他確定這一天的最短路線. .ABABCD（四）二次軸對稱（四）二次軸對稱： 兩兩點在兩相交直線內(nèi)部點在兩相交直線內(nèi)部.B. .C.DAB.AONM（四）二次軸對稱（四）二次軸對稱： 兩兩點在兩相交直線內(nèi)部點在兩相交直

9、線內(nèi)部例例4 4變式變式1 1：已知：已知： MONMON和和 MONMON內(nèi)兩點內(nèi)兩點A A、B B。 求作：點求作：點C C和點和點D,D,使得點使得點C C在在OMOM上，上， 點點D D在在ONON上，且上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。最短。例例4變式變式2：如圖，如圖，OMCN是矩形的臺球桌面，有是矩形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于黑、白兩球分別位于B、A兩點的位置上，兩點的位置上，試問怎樣撞擊白球，使白球試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺邊依次碰撞球臺邊OM、ON后，反彈擊中黑球？后，反彈擊中黑球？（四）二次軸對稱（四）二次軸對稱： 兩兩點在兩相交直線

10、內(nèi)部點在兩相交直線內(nèi)部.,.AOMABONB作法:(1)作點 關(guān)于的對稱點點 關(guān)于的對稱點(2)ABOMCOND連結(jié) 和 ，交于 ，交于 。則點C、D為所求。.AABBCDMON例4變式2：（四）二次軸對稱（四）二次軸對稱： 兩兩點在兩相交直線內(nèi)部點在兩相交直線內(nèi)部（2）把）把A，B在直線同側(cè)的問題在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 在在直線的兩側(cè)直線的兩側(cè)，化折線為直線，化折線為直線， 將軍飲馬的實質(zhì)：將軍飲馬的實質(zhì)：（3）可利用）可利用“兩點之間線段最短兩點之間線段最短” 加以解決。加以解決。（1）求最短路線問題）求最短路線問題- 通過幾何變換找對稱圖形。通過幾何變換找對稱圖形。能力提高能力提高

11、5a1a4221.aaa的值.1.1.已知已知，求求 2.2.已知已知2222250,.32xzxyzyxyyzzx求的值22213.310,aaaa 已知：求的值。4 4. .已已知關(guān)于知關(guān)于x x的方程的方程x x2 2-2(k-1)x+k-2(k-1)x+k2 2=0=0有兩個實數(shù)有兩個實數(shù)根根x x1 1,x,x2 2. .(1)(1)求求k k的取值范圍的取值范圍. .(2)(2)若若|x|x1 1+x+x2 2|=x|=x1 1x x2 2-1,-1,求求k k的值的值. .解解: :( (1)1)依題意：依題意：b b2 2-4ac=4(k-1)-4ac=4(k-1)2 2-4k-4k2 20,0,解得：解得：k .k .(2)(2)依題意：依題意：|2(k-1)|=k|2(k-1)|=k2 2-1,-1,故有：故有：2(k-1)=k2(k-