小波的幾個術(shù)語及常見的小波基介紹

1、小波的幾個術(shù)語及常見的小波基介紹        本篇是這段時間學(xué)習(xí)小波變換的一個收尾，了解一下常見的小波函數(shù)，混個臉熟，知道一下常見的幾個術(shù)語，有個印象即可，這里就當(dāng)是先作一個備忘錄，以后若有需要再深入研究。一、小波基選擇標(biāo)準(zhǔn)        小波變換不同于傅里葉變換，根據(jù)小波母函數(shù)的不同，小波變換的結(jié)果也不盡相同。現(xiàn)實中到底選擇使用哪一種小波的標(biāo)準(zhǔn)一般有以下幾點：1、支撐長度        小波函數(shù)(t)、()、尺度函數(shù)(t)和()的支撐區(qū)間，是當(dāng)時間或頻

2、率趨向于無窮大時，(t)、()、(t)和()從一個有限值收斂到0的長度。支撐長度越長，一般需要耗費更多的計算時間，且產(chǎn)生更多高幅值的小波系數(shù)。大部分應(yīng)用選擇支撐長度為59之間的小波，因為支撐長度太長會產(chǎn)生邊界問題，支撐長度太短消失矩太低，不利于信號能量的集中。        這里常常見到“緊支撐”的概念，通俗來講，對于函數(shù)f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內(nèi)，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為0，那么這個函數(shù)f(x)就是緊支撐函數(shù)，而這個0附近的取值范圍就叫做緊支撐集?？偨Y(jié)為一句話就是“除在一個很小的區(qū)域外，函數(shù)為零，即函數(shù)有速

3、降性”。2、對稱性        具有對稱性的小波，在圖像處理中可以很有效地避免相位畸變，因為該小波對應(yīng)的濾波器具有線性相位的特點。3、消失矩        在實際中，對基本小波往往不僅要求滿足容許條件，對還要施加所謂的消失矩（Vanishing Moments）條件，使盡量多的小波系數(shù)為零或者產(chǎn)生盡量少的非零小波系數(shù)，這樣有利于數(shù)據(jù)壓縮和消除噪聲。消失矩越大，就使更多的小波系數(shù)為零。但在一般情況下，消失矩越高，支撐長度也越長。所以在支撐長度和消失矩上，我們必須要折衷處理。  

4、0;     小波的消失矩的定義為，若其中，(t)為基本小波，0<=p<N。則稱小波函數(shù)具有N階消失矩。從上式還可以得出，同任意n-1階多項式正交。在頻域內(nèi)表示就是()在=0處有高階零點（一階零點就是容許條件）。4、正則性        在量化或者舍入小波系數(shù)時，為了減小重構(gòu)誤差對人眼的影響，我們必須盡量增大小波的光滑性或者連續(xù)可微性。因為人眼對“不規(guī)則”(irregular)誤差比“平滑”誤差更加敏感。換句話說，我們需要強加“正則性”(regularity)條件。也就是說正則性好的小波，能在信號或圖像

5、的重構(gòu)中獲得較好的平滑效果，減小量化或舍入誤差的視覺影響。但在一般情況下，正則性好，支撐長度就長，計算時間也就越大。因此正則性和支撐長度上，我們也要有所權(quán)衡。        消失矩和正則性之間有很大關(guān)系，對很多重要的小波（比如，樣條小波，Daubechies小波等）來說，隨著消失矩的增加，小波的正則性變大，但是，并不能說隨著小波消失矩的增加，小波的正則性一定增加，有的反而變小。5、相似性        選擇和信號波形相似的小波，這對于壓縮和消噪是有參考價值的。二、常見的小波基 

6、60;     以下列出的15種小波基是Matlab中支持的15種。小波函數(shù)HaarDaubechiesBiorthogonalCoifletsSymletsMorletMexican HatMeyer小波縮寫名haardbbiorcoifsymmorlmexhmeyr表示形式haardb NbiorNr.Ndcoif Nsym Nmorlmexhmeyr舉例haardb3bior2.4coif3sym2morlmexhmeyr正交性有有無有有無無有雙正交性有有有有有無無有緊支撐性有有有有有無無無連續(xù)小波變換可以可以可以可以可以可以可

7、以可以離散小波變換可以可以可以可以可以不可以不可以可以但無FWT支撐長度12N-1重構(gòu):2Nr+1分解:2Nd+16N-12N-1有限長度有限長度有限長度濾波器長度22NMax(2Nr,2Nd)+26N2N-4, 4-5, 5-8, 8對稱性對稱近似對稱不對稱近似對稱近似對稱對稱對稱對稱小波函數(shù)消失矩階數(shù)1NNr-12NN-尺度函數(shù)消失矩階數(shù)- 2N-1- 小波函數(shù)GausDmeyerReverseBiorCgauCmorFbspShan 小波縮寫名gausdmeyrbioNr.Ndcgaucmorfbspshan 表示形式gaus Ndmey

8、rbioNr.Ndcgau Ncmorfbspshan 舉例gaus3dmeyrbio2.4cgau3cmorfbspshan 緊支撐正交性無無無無無無無 緊支撐雙正交性無無有無無無無 連續(xù)小波變換可以不可以可以不可以不可以不可以不可以 離散小波變換不可以可以可以不可以不可以不可以不可以 對稱性對稱對稱對稱對稱對稱對稱對稱 小波函數(shù)消失矩階數(shù)- 尺度函數(shù)消失矩階數(shù)-Nr-1- 1、Haar小波        Haar，一般音譯為“哈爾”。

9、0;       Haar函數(shù)是小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數(shù)，也是最簡單的一個小波函數(shù)，它是支撐域在t0,1范圍內(nèi)的單個矩形波。        Haar小波在時域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。        在Matlab中輸入命令waveinfo('haar')可得到如下信息：    General characteristics: Compactlysupported&#

10、160;   wavelet, the oldest and the simplestwavelet.       scaling function phi = 1 on 0 1 and 0otherwise.    wavelet function psi = 1 on 0 0.5, = -1on 0.5 1 and 0 otherwise.     Family       

11、;           Haar    Short name              haar    Examples                haar

12、 is the same as db1    Orthogonal              yes    Biorthogonal            yes    Compact support      

13、;   yes    DWT                     possible    CWT                  &#

14、160;  possible     Support width           1    Filters length          2    Regularity          

15、60;   haar is not continuous    Symmetry                yes    Number of vanishing    moments for psi         12、Daubechies(dbN)小波

16、(緊支集正交小波)        Daubechies，一般音譯為“多貝西”。        Daubechies小波是由世界著明的小波分析學(xué)者Ingrid Daubechies(一般音譯為英格麗·多貝西)構(gòu)造的小波函數(shù)，我們一般簡寫成dbN，N是小波的階數(shù)。小波函數(shù)(t)和尺度函數(shù)(t)中的支撐區(qū)為2N-1，(t)的消失矩為N。dbN小波具有較好的正則性，即該小波作為稀疏基所引入的光滑誤差不容易被察覺，使得信號重構(gòu)過程比較光滑。dbN小波的特點是隨著階次（序列N）的增大消失矩階數(shù)越大

17、，其中消失矩越高光滑性就越好，頻域的局部化能力就越強，頻帶的劃分效果越好，但是會使時域緊支撐性減弱，同時計算量大大增加，實時性變差。另外，除N=1外，dbN小波不具有對稱性（即非線性相位），即在對信號進行分析和重構(gòu)時會產(chǎn)生一定的相位失真。dbN沒有明確的表達式（除了N=1外，N=1時即為Haar小波）。        在Matlab中輸入命令waveinfo('db')可得到如下信息：    General characteristics: Compactlysupported  

18、;  wavelets with extremal phase and highest    number of vanishing moments for a given    support width. Associated scaling filtersare    minimum-phase filters.     Family          

19、;        Daubechies    Short name              db    Order N                 N strictly po

20、sitive integer    Examples                db1 or haar, db4, db15     Orthogonal              yes    Biorthogon

21、al            yes    Compact support         yes    DWT                    

22、 possible    CWT                     possible     Support width           2N-1    Filters length

23、0;         2N    Regularity              about 0.2 N for large N    Symmetry               

24、; far from    Number of vanishing    moments for psi         N3、Symlet(symN)小波(近似對稱的緊支集正交小波)        Symlet小波函數(shù)是IngridDaubechies提出的近似對稱的小波函數(shù)，它是對db函數(shù)的一種改進。Symlet小波系通常表示為symN (N=2,3,8)。symN小波的支撐范圍為2N-1，消

25、失矩為N，同時也具備較好的正則性。該小波與dbN小波相比，在連續(xù)性、支集長度、濾波器長度等方面與dbN小波一致，但symN小波具有更好的對稱性，即一定程度上能夠減少對信號進行分析和重構(gòu)時的相位失真。        在Matlab中輸入命令waveinfo('sym')可得到如下信息：    General characteristics: Compactlysupported wavelets with    least asymmetry and highest nu

26、mber ofvanishing moments    for a given support width.    Associated scaling filters are nearlinear-phase filters.     Family                  Symlets  

27、60; Short name              sym    Order N                 N = 2, 3, .    Examples       &

28、#160;        sym2, sym8     Orthogonal              yes    Biorthogonal            yes    Compa

29、ct support         yes    DWT                     possible    CWT           

30、;          possible     Support width           2N-1    Filters length          2N    Regularity  &#

31、160;              Symmetry                near from    Number of vanishing    moments for psi      &

32、#160;  N4、Coiflet(coifN)小波        根據(jù)R.Coifman的要求，Daubechies構(gòu)造了Coiflet小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)這一系列。Coiflet的小波函數(shù)(t)的2N階矩為零，尺度函數(shù)(t)的2N-1階矩為零。(t)和(t)的支撐長度為6N-1。Coiflet的(t)和(t)具有比dbN更好的對稱性。        在Matlab中輸入命令waveinfo('coif')可得到如下信息：

33、60;   General characteristics: Compactlysupported    wavelets with highest number of vanishing    moments for both phi and psi for a given    support width.     Family         

34、0;        Coiflets    Short name              coif    Order N                 N = 1, 2, .,

35、 5    Examples                coif2, coif4     Orthogonal              yes    Biorthogonal   &#

36、160;        yes    Compact support         yes    DWT                     possible  &

37、#160; CWT                     possible     Support width           6N-1    Filters length    &#

38、160;     6N    Regularity                 Symmetry                near from    Number of vanish

39、ing    moments for psi         2N    Number of vanishing    moments for phi         2N-15、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波        為了解決對稱性和精確信號重構(gòu)的不相容性，引入了雙正交小

40、波，稱為對偶的兩個小波分別用于信號的分解和重構(gòu)。雙正交小波解決了線性相位和正交性要求的矛盾。由于它有線性相位特性，所以主要應(yīng)用在信號與圖像的重構(gòu)中。通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函婁進行重構(gòu)。        雙正交小波與正交小波的區(qū)別在于正交小波滿足<j,k ,l,m>=j,kl,m，也就是對小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的基函數(shù)完全正交，而雙正交小波滿足的正交性為<j,k ,l,m>=j,k，也就是對不同尺度伸縮下的小波函數(shù)之間有正交性，而同尺度之間通過平移得到的小波函數(shù)系之間沒有正交性

41、，所以用于分解與重構(gòu)的小波不是同一個函數(shù)，相應(yīng)的濾波器也不能由同一個小波生成。        該小波雖然不是正交小波，但卻是雙正交小波，具備正則性，同時也是緊支撐的，其重構(gòu)支撐范圍為2Nr+1，分解支撐范圍為2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表現(xiàn)在具有線性相位特性。一般來說為了獲得線性相位，需要降低對于正交性的局限，為此該雙正交小波降低了對于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了線性相位和較短支集的特性。        在Matlab中輸入命令waveinfo(

42、9;bior')可得到如下信息：   General characteristics: Compactly supported   biorthogonal spline wavelets for which   symmetry and exact reconstruction are possible    withFIR filters (in orthogonal case it is   impossible except fo

43、r Haar).    Family                 Biorthogonal    Shortname              bior    OrderNr,Nd &#

44、160;           Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5    r forreconstruction    Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8    d fordecomposition     Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5,7, 9       

45、0;                    Nr = 4 , Nd = 4                            Nr =

46、5 , Nd = 5                            Nr = 6 , Nd = 8    Examples             &#

47、160;  bior3.1,bior5.5    Orthogonal              no   Biorthogonal            yes   Compact support    &#

48、160;    yes   DWT                     possible   CWT                 &

49、#160;   possible    Support width           2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.   Filters length         max(2Nr,2Nd)+2 but essentially    biorNr.Nd

50、60;             ld                      lr               

51、60;          effective length        effective length                         of Lo_D  

52、60;              of Hi_D     bior1.1                 2             

53、60;         2          bior1.3                 6               &#

54、160;       2    bior1.5                10                       2 

55、;                bior2.2                 5                 &

56、#160;     3                 bior2.4                 9           &

57、#160;           3         bior2.6                13              

58、         3                 bior2.8                17         

59、;              3                 bior3.1                 4   

60、;                    4                  bior3.3             

61、    8                       4                 bior3.5       

62、         12                       4    bior3.7               

63、; 16                       4    bior3.9                20       &

64、#160;               4    bior 4.4                 9              

65、         7    bior5.5                 9                     

66、 11    bior6.8                17                      11    Regularity for  

67、;           psirec.                Nr-1 and Nr-2 at theknots   Symmetry               

68、0;yes     Numberof vanishing   moments for psi dec.    Nr    Remark: bior 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction and   decomposition functions and filters are close in value.6、ReverseBior小波    

69、0;   由Biorthogonal而來，因此兩者形式很類似。        在Matlab中輸入命令waveinfo('bior')可得到如下信息：   General characteristics: Compactly supported   biorthogonal spline wavelets for which   symmetry and exact reconstruction are possible

70、    withFIR filters (in orthogonal case it is   impossible except for Haar).    Family                 Biorthogonal    Shortname   

71、0;          rbio    OrderNd,Nr             Nd = 1 , Nr = 1, 3, 5    r forreconstruction    Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8    d fordecompositio

72、n     Nd = 3 , Nr = 1, 3, 5,7, 9                            Nd = 4 , Nr = 4           

73、0;                Nd = 5 , Nr = 5                            Nd = 6 , Nr = 8  &#

74、160; Examples                rbio3.1,rbio5.5    Orthogonal              no   Biorthogonal     &

75、#160;      yes   Compact support         yes   DWT                     possible    CWT

76、0;                    possible    Support width           2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec.   Filters length  

77、0;      max(2Nd,2Nr)+2 but essentially    rbioNd.Nr              lr                    

78、60; ld                      effective length        effective length               &#

79、160;        of Hi_D                  of Lo_D     rbio1.1                 2 

80、                      2    rbio1.3                 6        

81、               2    rbio1.5                10                

82、;       2    rbio2.2                 5                       3

83、60;   rbio2.4                 9                       3    rbio2.6   &

84、#160;            13                       3    rbio2.8           

85、     17                       3    rbio3.1                 4  

86、60;                    4    rbio3.3                 8         

87、60;             4    rbio3.5                12                 &#

88、160;     4    rbio3.7                16                       4   

89、; rbio3.9                20                       4    rbio4.4      &#

90、160;          9                       7    rbio5.5             &#

91、160;   9                      11    rbio6.8                17     

92、0;                11    Regularity for             psirec.              

93、60; Nd-1 and Nd-2 at theknots   Symmetry                yes     Numberof vanishing   moments for psi dec.    Nd    Remark: rbio 4.4 , 5.5 an

94、d 6.8 are such that reconstruction and   decomposition functions and filters are close in value. 7、Meyer小波        Meyer小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進行定義的，它不是緊支撐的，但它的收斂速度很快。        在Matlab中輸入命令waveinfo('meyr')可得到如下信息：  

95、0;General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.     Family                  Meyer    Shortname           &#

96、160;  meyr    Orthogonal              yes   Biorthogonal            yes   Compact support      

97、   no   DWT                     possiblebut without FWT                     

98、;   FIR based approximation provides FWT   CWT                     possible    Support width           in

99、finite   Effective support       -8 8   Regularity             indefinitely derivable   Symmetry          

100、0;     yes8、Dmeyer小波        Dmeyer即離散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速離散小波變換的計算。        在Matlab中輸入命令waveinfo('dmey')可得到如下信息：    Definition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet.    

101、Family                  DMeyer    Short name              dmey     Orthogonal      &#

102、160;       yes    Biorthogonal            yes    Compact support         yes    DWT        

103、;             possible    CWT                     possible9、Gaussian小波        Gaussian小波是高斯密度函數(shù)的微分形式

104、，它是一種非正交與非雙正交的小波，沒有尺度函數(shù)。        在Matlab中輸入命令waveinfo('gaus')可得到如下信息：    Definition: derivatives of the Gaussian    probability density function.     gaus(x,n) = Cn * diff(exp(-x2),n) wherediff denotes   

105、; the symbolic derivative and where Cn issuch that    the 2-norm of gaus(x,n) = 1.     Family                  Gaussian    Short name     &#

106、160;        gaus     Wavelet name            gaus"n"     Orthogonal              no  

107、  Biorthogonal            no    Compact support         no    DWT                 

108、60;  no    CWT                     possible     Support width           infinite    Effect

109、ive support       -5 5    Symmetry                yes                     &

110、#160;  n even => Symmetry                        n odd  => Anti-Symmetry10、MexicanHat(mexh)小波        Mexican Hat函數(shù)為Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。因數(shù)它的形狀像墨西哥帽的截面，所

111、以我們稱這個函數(shù)為墨西哥草帽函數(shù)。它在時域和頻率都有很好的局部化，但不存在尺度函數(shù)，所以此小波函數(shù)不具有正交性。        在Matlab中輸入命令waveinfo('mexh')可得到如下信息：    Definition: second derivative of theGaussian    probability density function     mexh(x) = c * exp(-x2/2) * (1-x2

112、)    where c = 2/(sqrt(3)*pi1/4)     Family                  Mexican hat    Short name             

113、mexh     Orthogonal             no    Biorthogonal            no    Compact support        

114、; no    DWT                     no    CWT                     possible

115、     Support width           infinite    Effective support       -5 5    Symmetry               

116、; yes11、Morlet小波        Morlet小波是高斯包絡(luò)下的單頻率正弦函數(shù)，沒有尺度函數(shù)，是非正交分解。        在Matlab中輸入命令waveinfo('morl')可得到如下信息：    Definition:    morl(x) = exp(-x2/2) * cos(5x)     Family    

117、60;             Morlet    Short name              morl     Orthogonal            

118、;  no    Biorthogonal            no    Compact support         no    DWT              

119、;       no    CWT                     possible     Support width           infinite&#

120、160;   Effective support       -4 4    Symmetry                yes12、ComplexGaussian小波        屬于一類復(fù)小波，沒有尺度函數(shù)。        在Ma

121、tlab中輸入命令waveinfo('cgau')可得到如下信息：    Definition: derivatives of the complexGaussian    function     cgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-x2),n)where diff denotes    the symbolic derivative and where Cn is aconstant  

122、60;  Family                  Complex Gaussian    Short name              cgau     Wavelet name  

123、0;         cgau"n"     Orthogonal              no    Biorthogonal            no  

124、0; Compact support         no    DWT                     no    Complex CWT         &#

125、160;   possible     Support width           infinite    Symmetry                yes        

126、;                n even => Symmetry                        n odd  => Anti-Symmetry13、ComplexShannon

127、 Wavelets：shan        在Matlab中輸入命令waveinfo('shan')可得到如下信息：    Definition: a complex Shannon wavelet is            shan(x) =Fb0.5*sinc(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)    depending on two param

128、eters:            Fb is a bandwidth parameter            Fc is a wavelet center frequency     The condition Fc > Fb/2 is sufficient toensure that    zer

129、o is not in the frequency supportinterval.     Family                  Complex Shannon    Short name              shan     Wavelet name