圓錐曲線中焦點三角形

1、焦點三角形焦點三角形問題是重要考點，考到的內(nèi)容有：橢圓或雙曲線定義和正余弦定理以及面積公式等。常與曲線的離心率相結(jié)合，注意平面幾何知識的應(yīng)用。一：橢圓的焦點三角形橢圓的焦點三角形是指以橢圓的兩個焦點F1, F2與橢圓上任意一點 P為頂點組成的三角形。22與3二1(a b 0)a by性質(zhì)有:1(1) |PF1 |+| PF2|二2a(2) 4c2 斗 PF1 |2 +| PF2 |2 -2 | PF111PF2 |cos/F1PF2(3)橢圓上的點與兩焦點連線的夾角以橢圓短軸頂點與兩焦點連線的夾角最大22x y.證明：設(shè)P是橢圓 =十、=1 ( a >b>0, c為半焦距)上的一點

2、， 。為原點，E、F是 a b橢圓的兩焦點，PE = m, PF =n則 cos. EPF =2mn4b2 -2mn 2b22b2一1，由余弦函數(shù)圖象性質(zhì)知NEPF有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)P在短軸端點時取到該最大值。(4)設(shè)P為橢圓上的任意一點，角/F1F2P =0 , /F2F1P = P , ZF2PF1 =8 ,則有離心率e_ sWB)十 e -n)sin 工 rsin -SPFF =b2-sin =b2tan- 1F21 cos12證明：由正弦定理得:FlF2PF1sin(180o- ) sin-： sin :由等比定理得:F1F2PF1HPF2sin(-i ；，') sin 二&q

3、uot; sin :F1F22cPF1 PF2sin( ：；:') sin( ： " )sin ； sin :sin -2asin :c e 二 a例題：sin(二：b .-1)sin 工 1 sin :22一 x y一一.圓2+ 2 =1(a,b>0)的兩個a bF1, F2 ,點P在橢圓上，且_4 _14 PF1 J-PF2,| PFi |= 一,| PF21 = 一.求橢圓的方程332y =1422222、設(shè)P為橢圓 斗+，=1 （a >b >0）上一點，F(xiàn)i、F2為焦點，如果 /PFiF2=75二, a bPF2F1、2A.2=15 :則橢圓的離心率

4、為（3、F1、. 3 B.22xF2是橢圓一9C.主3D.AF1F2的面積為（2y =1的兩個焦點,7）A為橢圓上一點，且/ AFiF2 = 450 ,則A. 7B.4、 Fi、一 一 x2F2是橢圓一 十2542=1的兩個焦點,167C.一27.5D.2A為橢圓上一點，且 /F1AF2 =90,則A到x軸的距離為16A. 一3B.165C.1616or 35D.非上述答案5、設(shè) Fi,F2分別是橢圓2x252+-y- =i 的左、i6右焦點,P為橢圓上一點,Fi, F2, P是直角三角形的一個頂點，則P點到16A. 一316B. 5C.x軸的距離是1616或一53D.非上述答案6、設(shè) Fi,

5、F2分別是橢圓2+L =1的左、259右焦點,P為橢圓上一點,Fi, F2, P是是直角三角形的三個頂點,9 A.一4B.P點到x軸的距離是9T9c. 一 或一54D.非上述答案7、過橢圓左焦點,傾斜角為 一的直線交橢圓于 A, B兩點，若FA=2FB離心率為（構(gòu)造焦點三角形，兩次應(yīng)用余弦定理，整體處理余弦定理的結(jié)果）22x y8、已知RtAABC, AB = AC =1,點C為橢圓 二十三=1（a >b a0）的右焦點，且 AB為 a b經(jīng)過橢圓左焦點的弦，求橢圓的離心率。2x9、已知橢圓 a一點P使4=i（a Ab >0）的左、右焦點分別為Fi（c,0）, F2（c,0）,若橢

6、圓上存在 bsin PFiF2sin PF2Fi,則該橢圓的離心率的取值范圍為（）A. ( 2 -i,i)B. ( .3 -i,i)C. ( .3 - .2,i)二：雙曲線的焦點三角形雙曲線的焦點三角形是指以雙曲線的兩個焦點Fi, F2與雙曲線上任意一點P為頂點組成的5(1)|PFi | | PFz|=2a(2)(3)4c2 =| PF1 |2 | PF2 |2 -2 | PF111PF2 |cos F1PF2設(shè)P為橢圓上的任意一點，角 /F,F2P =a, /F2F1P =P, NF2PF1=e,則有離心率sin : -sin,2 sinb2=b =1 -cos tan 一2(4) 例題:-

7、 2為雙曲線x2 y J = 1上的一點，12| PF1 |:| PF21=3: 2 ,則 PF1F2 的面積為(Fi,凡是該雙曲線的兩個焦點，若A. 6萬B. 122、已知又下2為雙曲線cos F1PF2 =1A.一4C : x2C.2一 yD. 24=2的左右焦點，點 P在C上，| PF1 |=2| PF? |,則B.3、雙曲線x2=1的焦點為F1、C. -D.-45F2,點M在雙曲線上且 MF1 MF2 = 0 ,則點M到x軸的距離為(4A.-35B.-3C. 32.3D.4、已知F1、F2為雙曲線P到x軸的距離為、3.6(A) y (B) y2C: x(C)33=1的左、右焦點，點 P

8、在C上，/ F1 P F2 = 60°,則(D)625、設(shè)Fi, F2分別是雙曲線% =1(a A0,b A0)的左、右焦點，若雙曲線右支上存在 b2_tt| PF, |二 J3 | PF2 |,則該雙曲線的離一點P,使(OP+OF2) F2P =0 , O為坐標(biāo)原點，且 心率為3 1A. 石+1B. - C. 76 + 72D.22_ x y6、設(shè)點P是雙曲線一2- - -2 a bF2分別是雙曲線的左、右焦點,、一 2222 .= 1(a>, b>0)與圓x +y =a +b在第一象限的交點,Fi、且|PF11= 3| PF21 ,則雙曲線的離心率A.非 B.哼 C.

9、屈 D.萼 227、過雙曲線4=1( a A0，bO)的左焦點F(-cQ)作圓x2+ y2 = a2的切線，切點 a b1 t T為E,延長FE父雙曲線于點P ,。為原點，若OE = (OF +OP),則雙曲線的離心率 2為 522x y8、已知Fl、F2分別為雙曲線 C:-y 4=1(a>b>0)的左、右焦點，點 P為雙曲線右 a b支上一點，滿足| PF2 |=| F1F2 | ,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率為9、已知E、F2分別為雙曲線22C:xy 與=1(aAb:>0)的左、右焦點，若雙曲線上存在 a b一點P ,滿足| PF1 |=

10、2 | PF2 |,則該雙曲線的離心率范圍為10、已知F1,F2為離心率為cos PF2F1 =2的雙曲線的左右焦點，點(1, 3P 在 C 上，| PFi |= 2 | PF2 |,則B.C.、萬D .311、設(shè)F1, F2分別是雙曲線2x2 =1的左、右焦點.9> I若點P在雙曲線上，且PF1PF2 = 0,則 PF1 +PF2|=()A.、,而B. 2,102 x12、設(shè)F1, F2分別是雙曲線-2 aC. .5D. 2、, 5b2=1的左、右焦點，A, B是圓x2 + y2 = a2 +b2 與雙曲線左支的兩個交點，且A. s/5 B. 33 C.ABF2為等邊三角形，則該雙曲線

11、的離心率33 +1 D.-22213、已知P是雙曲線 4與=1(a >0,b >0)右支上一點，F(xiàn)i、F2分別是雙曲線的左、 a b右焦點,I為APFF2的內(nèi)心，若S»F1 =Sf2 +?S徐1F2成立，則該雙曲線的離心率為A. 4 B. 2 C. 2 D. 222214、已知P是雙曲線 人L=1上一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、 右焦點，若|PFi|二5 43則 | PF21=1or92215、已知P是雙曲線x- -L=1上一點，F(xiàn)l、F2分別是雙曲線的左、 右焦點，若|PFi|=5 412則 |PF2|二 9 22練習(xí)：已知雙曲線 0 4=1 (a>0, b&

12、gt;0)的兩個焦點為 F1(-c,0)、F2(c,0),若雙曲 a b線上存在一點P滿足sin""2 = a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是sin. PF2F1c(1,12)2216、已知雙曲線 三_丫2=1 (a>0, b>0)的兩個焦點為 F1、F2，點A在雙曲線第一象a b1限的圖象上，若 AF1F2的面積為1,且tan/AF1F2=, tan/AF2F1 =-2 ,則雙曲線2方程為A.3-3y25二1B.12C. 3x2 -12-y- =12_ xD .3豆二11272217、設(shè)Fi,F2是雙曲線 馬4=1(a A0,bA0)的左右焦點，過點 F2的直

13、線與雙曲線的右 a b支交于A,B兩點，若ARAB是以A為直角頂點的等腰三角形，則e2 =5-24522F1的直線與雙曲線的左18、設(shè)Fi,F2是雙曲線 與22 = 1(a A0,b0)的左右焦點，過點 a b右支交于 A,B兩點，若| AB |:| BF2 |:|AF2 | = 3: 4: 5,則雙曲線的離心率是 <132219、如圖設(shè)Fi,F2是雙曲線xr*=1(a A0,bA0)的左右焦點，|FiF2|=4, P為雙曲線 a b右支上一點，F(xiàn)2P與y軸交于點A, AAPFi的內(nèi)切圓在邊PFi上的切點為Q,若|PQ|口， 則雙曲線的離心率是(A) 3(B)2(C) , 2(D) 3y

14、橢圓與雙曲線的焦點三角形2222x y .x y_例題：右橢圓 +=1 (m>n：>0)和雙曲線 =1 (s,t > 0)有相同的焦點 F1和F2, mnst而P是這兩條曲線的一個交點，則PF1 ,PF2的值是()1 22A.ms B. (ms) C. m - s D. . m - . s 22 2例題：若橢圓 土+ y2 =1(m >1)與雙曲線 上 y2 =1(n A0 )有相同的焦點，點 P是兩曲 mn線的一個公共點，則 F1PF2的面積是 122例題：設(shè)Fi與F2是曲線Ci： +上=1的兩個焦點，點 M是曲線Ci與曲線622- X 2,C2 ： - -y =1的一個交點，求 AMFiF2的面積.32例題：如圖，F(xiàn)1,F2是橢圓C1 ：L + y2=1與雙曲線C2的公共焦點，A,B分別是C1,C2在第 4二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是A、. 2 B.、.3C,3D.-622例題：已知點P是以F1, F2為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點，且PF1 _L PF2,向，金分別為橢圓和雙曲線的離心率，則Aee2 -2 B©2 02一4 C.qe2 -2 2 D.工二三2 e e例題：已知點 P是以