圓中常見的輔助線的作法分類大全(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1  遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑?；蛘哌B結(jié)圓心和弦的兩個端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個端點(diǎn)。作用：1、利用垂徑定理； 2、利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。4、可得等腰三角形； 5、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，是O的直徑,POAB交O于P點(diǎn)，弦PN與AB相交于點(diǎn)M，求證：PMPN=2PO2.分析：要證明PMPN=2PO2，即證明PMPC =PO2，過O點(diǎn)作OCPN于C，根

2、據(jù)垂經(jīng)定理 NC=PC，只需證明PMPC=PO2，要證明PMPC=PO2只需證明RtPOCRtPMO.證明: 過圓心O作OCPN于C，PC= PNPOAB, OCPN，MOP=OCP=90°.又OPC=MPO，RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN，PMPN=2PO2.【例1】如圖，已知ABC內(nèi)接于O，A=45°，BC=2，求O的面積。 【例2】如圖，O的直徑為10，弦AB8，P是弦AB上一個動點(diǎn)，那么OP的長的取值范圍是_【例3】如圖，弦AB的長等于O的半徑，點(diǎn)C在弧AMB上，則C的度數(shù)是_.2  遇到有直徑時常常添加（畫）直徑所對的

3、圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形。例 如圖，在ABC中，C=90°，以BC上一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N（1） 求證：BA·BM=BC·BN；（2） 如果CM是O的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC=3時，求AB的值分析：要證BA·BM=BC·BN，需證ACBNMB，而C=90°，所以需要NMB中有個直角，而BN是圓O的直徑，所以連結(jié)MN可得BMN=90°。MNOCA（1） 證明：連結(jié)MN，則BMN=90°=ACBACBNMBAB·BM=BC·BN（2）

4、 解：連結(jié)OM，則OMC=90°N為OC中點(diǎn)BMN=ON=OM，MON=60°OM=OB，B=MON=30°ACB=90°，AB=2AC=2×3=6【例4】如圖，AB是O的直徑，AB=4，弦BC=2, B= 3  遇到90°的圓周角時常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑?！纠?】如圖，AB、AC是O的的兩條弦，BAC=90°，AB=6，AC=8，O的半徑是 5  遇到有切線時（1）常常添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）（2）常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)作用：1、可構(gòu)成弦切角

5、，從而利用弦切角定理。2、利用切線的性質(zhì)定理可得OAAB，得到直角或直角三角形?！纠?】如圖，AB是O的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與O切于C，交AB的延長線于D，求證：AC=CD 6  遇到證明某一直線是圓的切線時切線判定分兩種：公共點(diǎn)未知作垂線、公共點(diǎn)已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以,在證明直線是切線時, 往往需要通過作恰當(dāng)?shù)妮o助線,才能順利地解決問題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1無點(diǎn)作垂線需

6、證明的切線，條件中未告之與圓有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.例7已知：如圖，AB是O的直徑，ADAB于A， BCAB于B，若DOC= 90°.求證：DC是O的切線.分析：DC與O沒有交點(diǎn)，“無點(diǎn)作垂線”，過圓心O作OEDC，只需證OE等于圓的半徑.因?yàn)锳O為半徑，若能證OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中，需證明DEODAO證明：作OEDC于E點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF.又DOC= 90°. FO=FD 1=3.ADAB，BCAB, BCAD, OF為梯形的中位線.OFAD . 2=3. 1=2.DO是ADE的角平分

7、線. OADA，OEDC，OA=OE=圓的半徑. DC是O的切線.2有點(diǎn)連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點(diǎn)與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例8已知：如圖，AB為O的直徑，BC為O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，求證：CD是O的切線.分析：D在O上，有點(diǎn)連圓心，連結(jié)DO，證明DODC即可. 證明：連結(jié)DO，OCAD DAO=COB，ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB，又OC=OC，DO=BO DOCBOC ODC=OBC， BC為O的切線，切點(diǎn)為BOBC=90°， ODC=90°，又D在O上，CD是O的切線.【例7】如圖所示，已

8、知AB是O的直徑，ACL于C，BDL于D，且AC+BD=AB。求證：直線L與O相切。 【例8】如圖，ABO中，OA= OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過AB中點(diǎn)C，且分別交OA、OB于點(diǎn)E、F 求證：AB是O切線； 7  遇到兩相交切線時（切線長）常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到：角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形?！纠?】如圖，P是O外一點(diǎn)，PA、PB分別和O切于A、B，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過C作O的切線分別交PA、PB于D、E，若PDE的周長為12，則PA長為_8  遇到三角形的內(nèi)切圓時連結(jié)內(nèi)心到各三角

9、形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：    內(nèi)心到三角形三個頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線；    內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等?！纠?0】如圖，ABC中，A=45°，I是內(nèi)心，則BIC= 【例11】如圖，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求RtABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離9  遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。課后沖浪1已知：P是O外一點(diǎn)，PB，PD分別交O于A、B和C、D，且AB=CD.求證：PO平分BPD.2如圖，ABC中，C=90°，圓O分別與AC、BC相切于M、N，點(diǎn)O在AB上，如果AO=15，BO=10，求圓O的半徑.3已知：ABCD的對角線AC、BD交于O點(diǎn)，BC切O于E點(diǎn).求證：AD也和O相切.4如圖，學(xué)校A附近有一公路MN，一拖拉機(jī)從P點(diǎn)出發(fā)向PN方向行駛，已知NPA=30°，AP=160米，假使拖拉機(jī)行使時，A周圍100米以內(nèi)受到噪音影響，問：當(dāng)拖拉機(jī)向PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪音影響？請說明理由.如果拖拉機(jī)速度為18千米小時，則受噪音影響的時間是多少秒？5如圖，A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn)，O