圓錐曲線常考題型總結(jié)材料-配有大題及練習(xí)

1、圓錐曲線大綜合第一局部 圓錐曲線?？碱}型和熱點(diǎn)問題一?？碱}型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)問題題型四：過曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點(diǎn)共線問題題型十：X圍為題本質(zhì)是函數(shù)問題題型十一：存在性問題存在點(diǎn)，存在直線y kx m，存在實(shí)數(shù)，三角形等邊、等腰、直角，四邊形矩形，菱形、正方形，圓二熱點(diǎn)問題與軌跡方程問題與中點(diǎn)弦問題7.最值問題，定點(diǎn)，定直線問題第二局部知識(shí)儲(chǔ)藏元二次方程ax2bxc 0(a0)相關(guān)的知識(shí)三個(gè)“二次問題1.判別式:b2 4ac2.韋達(dá)定理

2、:假如一元二次方程2 axbx c0(a0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1,x2，如此3.1.2.3.x1x2求根公式:bc,X1 X2aa假如一元二次方程b%2 2ab2 4ac.與直線相關(guān)的知識(shí)直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式,2 axbx c斜截式，截距式,與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：傾斜角與斜率:0(a0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根兩點(diǎn)式，一般式y(tǒng) tan ,0,);點(diǎn)到直線的距離公式：d AX0A2ByB2C一般式或d kX0 y0d2k2%,X2，如此b 斜截式弦長(zhǎng)公式：直線y kx b上兩點(diǎn)A(Xi, yj, B(x2,y2)間的距離:AB1k2 X1X2.(1 k2)(x1X2)24xiX2(或 AB1屮

3、y2)14.兩直線l1 ： %k1x1時(shí)2：丫2 k2X2b2的位置關(guān)系: l1 l21 l1/l2kk2 且 b| b25.中點(diǎn)坐標(biāo)公式:兩點(diǎn)A(n, yj, B(X2, y2)，假如點(diǎn) M x, y線段AB的中點(diǎn)，如此x1 x1x 丁，yy2三圓錐曲線的重要知識(shí)考綱要求：對(duì)它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓與拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義與幾何圖形：橢圓、雙曲線與拋物線的定義與幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3. 圓錐曲線的根本性質(zhì)：特別是離心率，參數(shù)a,b,c三者

4、的關(guān)系，p的幾何意義等4.圓錐曲線的其他知識(shí)：通徑：橢圓並，雙曲線2b2，拋物線2p焦點(diǎn)三角形的面積:p在橢圓上時(shí)SFPf2b2 tan 2p在雙曲線上時(shí) SFiPF2b2/嘔四.常結(jié)合其他知識(shí)進(jìn)展綜合考查1. 圓的相關(guān)知識(shí)：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關(guān)系2. 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)：求導(dǎo)公式與運(yùn)算法如此，特別是與切線方程相關(guān)的知識(shí)3. 向量的相關(guān)知識(shí)：向量的數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4. 三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)：各類公式與圖像與性質(zhì)5. 不等式的相關(guān)知識(shí)：不等式的根本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等五.不同類型的大題1圓錐曲線與圓例1.本小題共14分2 2 雙曲線

5、C:篤每 1(a 0,b 0)的離心率為3，右準(zhǔn)線方程為xa bI求雙曲線C的方程；n設(shè)直線l是圓o：x2 y2 2上動(dòng)點(diǎn)P(x0, y0)(x0y0 0)處的切線，丨與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn) A, B，證明 AOB的大小為定值【解法1】此題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等根底知識(shí)，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的根本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力.a23I由題意，得 c 3，解得a 1,c3 ,C込a2點(diǎn) P x0, y0 x0y00 在圓 x2 y22 上,圓在點(diǎn)P x0,y。處的切線方程為y y。X0X y。X0,化簡(jiǎn)得x0x y0y2.22 y 彳,X1由2與2 2冷y22 b

6、2c2 a22 ,所求雙曲線C的方程為x21.XoXyy 22 2 23x0 4 x 4x0x 8 2x0 0,切線丨與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且0 x22 2 2 2- 3x2 4 0,且 16X0 4 3怡 4 8 2X00 ,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x-i, y-i , x2, y2 ,【解法如此 x2 COS AOB4xo3xo 4，X1X2OA OBOA| OBOA OB x-|X22】I同解法1.X1X2y2為X22 4Xo3Xo1y。2X0XiXoXiX22xX2,2X0X1X228 2xp3Xq 48 2x23x： 48x03x03x00.AOB的大小為90 .n點(diǎn) p

7、Xo, yo Xo yo20在圓X2上,2 2X 8 2X0圓在點(diǎn)PXo, yo處的切線方程為y yyoX X0 ,化簡(jiǎn)得X0Xyoy2.由XoX2y2yoy 21 與 Xoyo 23X2x2 4x0x 8 2xf3x0 48y0X 8 2x00切線丨與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,二3x40，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Xi,yi,X2,y2 ,如此壯8 2x02xo 82 ，3x0 4二 OA OB X1X2y$20 , AOB的大小為90 .x0y02 且 xy 0 , 02X。2,0 y 2，從而當(dāng)3x240時(shí)，方程和方程的判別式均大于零2練習(xí)1:點(diǎn)A是橢圓C: 92yt0的左頂點(diǎn)，直線l

8、 : x my 1(mR)與橢圓C相交于E,F兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)B .且當(dāng)m 0時(shí)， AEF的面積為163I求橢圓C的方程;n設(shè)直線AE , AF與直線x3分別交于M , N兩點(diǎn)，試判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)B ?并請(qǐng)說明理由2圓錐曲線與圖形形狀問題x2例A, B, C是橢圓 W + y2 = 1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).4(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形 OAB(為菱形時(shí)，求此菱形的面積;(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OAB(是否可能為菱形，并說明理由.2x解：橢圓WF y2= 1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).4因?yàn)樗倪呅?OABC菱形，所以 AC與 OB相互垂直平分.所以可

9、設(shè)a(1，m，代入橢圓方程得1 + m= 1，即 作4AA所以菱形OABC勺面積是一I OB AC = - X2X2| m = . 3.22假設(shè)四邊形OABC為菱形.因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y = kx + m(k豐0, m0).x24 y 42 22消 y并整理得(1 + 4k)x + 8kmx+ 4m-4= 0.kx m設(shè) A(xi, yi) , Qx2, y2),如此4kmy1 y22，1 4k2m1 4k2所以AC的中點(diǎn)為M4 kmm1 4k2 ,1 4k2因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線 OB的斜率為14k1因?yàn)閗 工一1，所以AC與 OB不垂

10、直.4k所以O(shè)AB(不是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形 OAB(不可能是菱形.2 20)過點(diǎn)(2 , 1), 且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)練習(xí)1 ：橢圓C :篤每 1(a ba b焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形(I )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n )設(shè)M (x, y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),P ( p,0)是X軸上的定點(diǎn)，求 MP的最小值與取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).3圓錐曲線與直線問題例橢圓C : x2 2y24 ,(1)求橢圓C的離心率.2上，且OA OB，求直線AB(2)設(shè)O為原點(diǎn)，假如點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y22與圓x2y 2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

11、-2，離心率e -a22直線2 2AB與圓x y2相切.證明如下:法一:設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為xo yot 2，其中Xo因?yàn)镺A丄OB，所以O(shè)AOB 0，即 txo 2yo解得t2yoX。xo t 時(shí)，yot2,代入橢圓C的方程，得22,故直線AB的方程為x 2 .圓心0到直線AB的距離d2此時(shí)直線AB與圓x2y 2相切.當(dāng)xo t時(shí)，直線AB的方程為y 2生二x t ,xo t即 yo 2 xxo t y 2xo tyo o .圓心O到直線AB的距離d又 xO 2yO 4 , t2yox，故dxo42xo 8xo 16血.此時(shí)直線AB與圓x2 y22相切.法二：由題意知，直線 OA的斜率存在，

12、設(shè)為 k，如此直線OA的方程為y kx , OA丄OB ,當(dāng)k 0時(shí)，A2 0，易知B 0 2，此時(shí)直線AB的方程為x原點(diǎn)到直線AB的距離為 2，此時(shí)直線AB與圓2相切;當(dāng)k 0時(shí)，直線OB的方程為y lx ,k聯(lián)立2kx 2得點(diǎn)A的坐標(biāo)1 22y242k.1 2k21 2k22k22k ；1聯(lián)立Xk得點(diǎn)B的坐標(biāo)2由點(diǎn)A的坐標(biāo)的對(duì)稱性知，無妨取點(diǎn)A2k.1-進(jìn)展計(jì)算,22k于是直線AB的方程為:2k丄2y 21 2kx一22k1 2k2即 k 1 2k2 x 1k .1 2k2 y 2k220 ,2k221 k.1 2k2原點(diǎn)到直線AB的距離此時(shí)直線AB與圓2相切。綜上知，直線AB 一定與圓2

13、相切.法三:當(dāng)k 時(shí)，A 2 0，易知B 0 2，此時(shí)OA 2 OB 2 ,AB J22 222 2，原點(diǎn)到直線AB的距離dOA OBAB此時(shí)直線AB與圓x2 y22相切;當(dāng)0時(shí)，直線OB的方程為yXiy1BX2 *，如此0A1 k X1， OBky221 k2 ，聯(lián)立kx2y22得點(diǎn)A的坐標(biāo)1 2k42k1 2k222k22k1 2k2.是0Ab的離心率為飛，Aa，0，B（0，b），。0, 0X2例4.2:橢圓C：a OAB的面積為1.I求橢圓C的方程；（I I）設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線 PA與Y軸交于點(diǎn) M直線PB與X軸交于點(diǎn)No求證：AN ? BM為定值。1鼻1)由已如得.e = y曲

14、血=1“血jflB =護(hù)+ X，血解?；3=2=1則wm方殍為(11) IftUBfl上/SP 的峑標(biāo)為2M0.SW).只已ftl ApP0).B0.1)t 則直fitPJl 的方程為sln6y = r a_z O 一 2)2qqsB - 2令就可以得到財(cái)點(diǎn)吶標(biāo)為/23 .(I)求橢圓C的方程;(n )動(dòng)直線y k(x 1)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).假如線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 72,求斜率k的值；假如點(diǎn)M ( 3，0),求證：MA mb為定值.2 3練習(xí)2:拋物線C : y2 = 2 pxp 0，其焦點(diǎn)為F, 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 AB不垂直于x軸 過點(diǎn)F且拋物線C交于A , B兩點(diǎn)，直線OA

15、與 OB勺斜率之積為p .1求拋物線C的方程；2假如M為線段AB的中點(diǎn)，射線OM交拋物線C于點(diǎn) D ,求證：-|OD| 2|OM |1練習(xí)3:動(dòng)點(diǎn)P(x, y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離與它到定直線l：x 4的距離之比為.2(I )求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；定點(diǎn) A( 2,0)， B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)Q(4, t)在直線丨上，作直線 AQ與軌跡C的另個(gè)交點(diǎn)為M，作直線BQ與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為 N，證明：M , N ,F三點(diǎn)共線.5圓錐曲線最值問題x2 y 2例5:橢圓C：冷 2 1(a b 0)的離心率為，橢圓C與y軸交于A, B兩點(diǎn),a b2|AB| 2.I求橢圓C的方程;設(shè)點(diǎn) P是橢圓C上的一

16、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在y PA , PB與直線x 4分別相交于M , N MN為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)E, F ,求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值 X圍與| EF |的最大值.解：I由題意可得，b 1 ,c3e -a22 a1 3得2a4解a24 ,x2橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y 145設(shè) P(Xo,y)(O xo 2), A(0,1) , B(0, 1),所以kPA生，直線PA的方程為yX0心X 1，X0同理：直線PB的方程為yyo!x 1，x0直線PA與直線x4的交點(diǎn)為4(yo 1)M(4,x01)，直線PB與直線x4的交點(diǎn)為N(4,4(yo 1)1)，Xo線段MN的中點(diǎn)他），(4，x0所以圓的方程為（x 4

17、）2(y24 2)2 (1-)2，XX04y0、2如此(x 4)216y22X(110因?yàn)?X042y。1,所以y0 12x011分所以(x4)2色5X0因?yàn)檫@個(gè)圓與x軸相交，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所以5-X00,解得 x0(8,2.5設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)（為,0）,（x2,0），如此|為8Xo14X2練習(xí)1 :橢圓C:字a2 y b2的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），離心率為毎。過焦點(diǎn)F的3所以該圓被X軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2.直線l與橢圓C交于A B兩點(diǎn)，線段ABK點(diǎn)為D, C為坐標(biāo)原點(diǎn)，過0, D的直線交橢圓于MN兩點(diǎn)。1求橢圓C的方程；2求四邊形AMBN面積的最大值。練習(xí) 2：橢圓 C : mx2

18、3my2 1(m0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 6， 0為坐標(biāo)原點(diǎn)I求橢圓C的方程和離心率;設(shè)點(diǎn)A（3,0），動(dòng)點(diǎn)B在y軸上，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，且P在y軸的右側(cè)，假如|BA| |BP|，求四邊形OPAB面積的最小值6圓錐曲線存在性問題，點(diǎn) P 0,1 和點(diǎn) A m,n m0都在2 2例6.橢圓C : 每 1 a b 0的離心率為a b橢圓C上，直線PA交X軸于點(diǎn)M .I求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)用m n表示；n設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于X軸對(duì)稱，直線PB交X軸于點(diǎn)N .問：y軸上是否存 在點(diǎn)Q，使得 OQM ONQ ?假如存在，求點(diǎn) Q的坐標(biāo)；假如不存在，說明理由.解析:b 1,I丨由題意得-, 解得a2a22 , 2