三角形四心的向量性質(zhì)

1、三角形“四心”的向量性質(zhì)及其應(yīng)用、三角形的重心的向量表示及應(yīng)用命題一 已知A B, C是不共線的三點(diǎn)，G是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，若uuu uuu umrGA GB GC 0 .貝U G是ABC的重心.，一,uur uuu uuir證明：如圖1所小，因?yàn)镚A GB GC 0 ,uuuuuu uur所以 GA(GB GC).以GB , GC為鄰邊作平行四邊形BGCD ,uuir uur uur 貝U有 GD GB GC ,uuiruur所以GDGA .又因?yàn)樵谄叫兴倪呅?BGCD中，BC交GD于點(diǎn)E,uuu uur uuu uur 所以 BE EC , GE ED .所以AE是ABC的邊BC的中線.故G

2、是4ABC的重心.點(diǎn)評(píng)：解此題要聯(lián)系重心的定義和向量加法的意義；把平面幾何知識(shí)和向量知識(shí)結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法.uuu uur例1如圖2所示， ABC的重心為G, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA a, OB b,uuir、一 uuirOC c ,試用a, b, c表小OG .解：設(shè)AG交BC于點(diǎn)M ,則M是BC的中點(diǎn),a OG GA b OG GB c OG GC圖2a b c OG GA GB GC而 a b c 3OG 0OG點(diǎn)評(píng)：重心問題是三角形的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)， 充分利用重心性質(zhì)及向量加、 減運(yùn)算的幾何意義是解決此類題的關(guān)鍵.變式：已知D, E, F分別為4ABC的邊BC, AC,

3、 AB的中點(diǎn).則 umr uuu unrAD BE CF 0證明：如圖的所示，3ADGA23 -BE GB2后3-Go-2一 一 一 3 一一一AD BE CF -(GA GB GC)圖3GA GB GC 0uuur uuu uuurAD BE CF 0 .變式引中：如圖4,平行四邊形ABCD的中心為O, P為該平面上任意一點(diǎn),uuir i uur uur貝U PO (PA PB4山ir證明：Q POuuur uurPC PD).uur 1 uiuPO (PA41 uuu uur uuur -(PA PC) , PO 2 uuu urn uuir PB PC PD).1 uur uur -(P

4、B PD), 2佟14點(diǎn)評(píng)：(1)證法運(yùn)用了向量加法的三角形法則,證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則.(2)若P, 一 . 一 ,A , uur uuu uuir uur與O重合，則上式變?yōu)镺A OB OC OD 0.、三角形的外心的向量表示及應(yīng)用命題二：已知G是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足|MA| MB MC ,則點(diǎn)M為乙ABC的外心。例2已知G、M分別為不等邊 ABC的重心與外心，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別 為A (-1 , 0), B (1, 0),且GM /AB , (1)求點(diǎn)C的軌跡方程；(2)若直 線l過點(diǎn)(0, 1),并與曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足OPOQ 0,求直線l的 方程。解 (1 )

5、設(shè) C ( x,y ),則 G ( H ),3 3其中x, y 0 ,由于 GM /AB ,故m ,外心M (0, JM為外心MA MC ,得'(0)2 g y)2(g)軌跡E的方程是3x22-y 3 (xy 0)(2)略。三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用命題三：已知G是AABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足GA GB GA GC GB GC ,則點(diǎn)G為垂心。(2005全國(guó)文12)證明：由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0.即 PB(PA PC) 0,即PB CA 0貝U PB CA,同理 PA BC, PC AB 所以P為ABC的垂心.點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量有關(guān)運(yùn)算、“數(shù)量積為零，則

6、兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。變式：若H為BC所在平面內(nèi)一點(diǎn),HA2陪旭2耳W W圖8則點(diǎn)H是BC的垂心證明:HAHBCABC(HA HB)?BA(CA CB)?BA得(HA HB CACB)?BA 0即(HC HC)?BA 0AB HC同理 AC HB , BC HA故H是MBC的垂心四、二角形的內(nèi)心的向量表小及應(yīng)用命題四：O是內(nèi)心 ABC的充要條件是AB ACBA BC、 “ ，CA CB、八OA (一 r) OB (r r) OC ( ) 0| AB | AC|BA | | BC | CA | |CB |變式1 :如果記AB,BC,CA的單位向量為ei,e2,e

7、3 ,則。是ABC內(nèi)心的Mifa!»MMlb充要條件是 OA (ei e3) OB (ei e2) (e2 ea)0變式2:如果記AB,BC,CA的單位向量為"與備，則。是ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA bOB cOC 0例4 （2003江蘇）已知。是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，滿足OP OAAB AC詞同0, ，則P的軌跡一定通過 ABC的內(nèi)心解：如圖OP OA AP由已知OP OA(ABABAC)|acAB AC、 八AP (|=i i=i)，0，AB AC0,設(shè)罟AD, tC在，AB ACD、E在射線AB和AC上。AP AD AEAP是平行四邊

8、行的對(duì)角線。又 AD AE ,ADPE是菱形。點(diǎn)P在EAD即CAD的平分線上故P點(diǎn)的軌跡一定通過 ABC的內(nèi)心。五、三角形外心與重心的向量關(guān)系及應(yīng)用命題五：設(shè)那BC的外心為O,則點(diǎn)G為3BC重心的充要條件為:1 一OG -(OA OB OC)BC的中點(diǎn)。證明：如圖8,設(shè)G為重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)，交BC于D,則人口為丁 、丁 2一 丁 1 一 . OG OA AG OA -AD OA (AB 33-1 -1OA(OBOA OCOA)(OA OBOC)33一 1 - 一 一反之，若 OG (OA OB OC), 31 - -則由上面的證明可知： AG 3(AB AC)1 -設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則AD

9、 -(AB AC),2 從而AG AD ,3. G在中線AD上且AG= 2AD ,即G為重心。3六、三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用 命題六：設(shè)4ABC的外心為 O ,則點(diǎn)H為9BC的垂心的充要條件是OH OA OB OC。證明：如圖2,若H為垂心，以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形 OBDC,D圖9則 OD OB OC.O為外心， .OB=OC ,平行四邊形OBDC為菱形 OD XBC,而 AH XBC,AH /OD ,存在實(shí)數(shù)，使得AH OD OB OCOH OA AH OA OB Of。同理，存在實(shí)數(shù)，使得OH Ob BH Ob oc OA OH OC CH OC OA oB 比較、可得，1

10、,OH OA OB OC 反之，若 OH OA OB OC ,則 AH OB OC ,. O 為外心，. .OB=OC 22. AH ?CB (OB OC)?(OB OC) |OB|2 | OC |2 0. AH ±CB,同理，BHXACoH為垂心。例6、已知H是BC的垂心，且AH=BC ,試求/A的度數(shù) 解：設(shè)從BC的外接圓半徑為R,點(diǎn)O是外心。v H是BC的垂心OH OA OB OC. AH OH OA OB OC 22_22. AH2 | AH |2 (OB OC)2 2R2(1 2cos2A). BC OC OB , BC2 |BC|2 (OC OB)2 2R2(1 2cos

11、2A).AH=BC 1 2cos2 A 1 2 cos2 Acos2A 0而ZA為AABC的內(nèi)角,0<2A<360 ° 從而 2A=90 ° 或70 ZA的度數(shù)為45 °或35七、三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用命題七：MBC的外心、重心、垂心分別為 0、G、H,則0、G、H三點(diǎn)1共線(0、G、H三點(diǎn)連線稱為歐拉線),且OG=,GH證明：如圖10,由命題五、六知，連結(jié) AG并延長(zhǎng)，交BC于D ,則D為BC的中點(diǎn)。1 /二OG -(OA OB OC),OH OA 0BOH 3OG1 0、G、H 二點(diǎn)共線,且 0G=2GH例7、已知0 (0, 0)

12、, B (1 , 0), C (b, c),是&OBC的三個(gè)頂點(diǎn)。試寫出kBC的重心G,外心F,垂心H的坐標(biāo)，并證明G、F、H三點(diǎn)共線。(2002 年全國(guó))解：重心G為(_1 c),設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(b y0)3 3 OH BC , BC=(b-1 , c),b(1 b)b(b 1) cy00，故 y0-H點(diǎn)的坐標(biāo)為（b,b（1功） 'c設(shè)外心F的坐標(biāo)為（1 yi）由|FO|二|FC| ,得y12，b(b 1) c2 ,2c2 陽+龍所以F點(diǎn)的坐標(biāo)為（衰，）。2b-1 3 人 362叼m |從而可得出GH=（一1，女），F(xiàn)H= （丁，），二 GH 2FH, GH/FH, F、G、H 三點(diǎn)共線。3點(diǎn)評(píng)：向量不僅是平面解析幾何入門內(nèi)容，而且是解在關(guān)數(shù)形結(jié)合問題的 重要工具。它一般通過概念的移植、轉(zhuǎn)化，將坐標(biāo)與向量結(jié)合起來，從而使 些難題在思路上獲得新的突破。例8、已知P是非等邊4ABC外接圓上任意一點(diǎn)，問當(dāng)PA2+PB 2+PC 2取得最大值和最小值。解：如圖11,