長春市2020屆高三質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)文科(一)

1、長春市 2020 屆高三質(zhì)量監(jiān)測（一） 文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的. 1. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知集合， ，則 A. B. 或C. 或 D. 或3. 已知等差數(shù)列的前項和為， ， ，則A. B. C. D. 4. 已知條件，條件，則是的A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件5. 2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展，尤其是黨的十八大以來，文化事業(yè)發(fā)展更加

2、迅速，下圖是從2013 年到 2018 年六年間我國公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)（個）與對應(yīng)年份編號的散點(diǎn)圖（為便于計算，將 2013 年編號為 1，2014 年編號為 2，2018年編號為 6，把每年的公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個數(shù)作為因變量，把年份編號從 1 到 6 作為自變量進(jìn)行回歸分析），得到回歸直線，其相關(guān)指數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的個數(shù)是 公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強(qiáng) 公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年增加 13.743 個 可預(yù)測 2019 年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)約為 3192 個 A. 0 B. 1 C. 2 D. 36. 已知直線與圓相切，則A. B. C. 或 D. 7. 已知，則A. B.

3、 C. D. 8. 已知為直線，平面，則下列說法正確的是 ，則 ，則 ，則 ，則A. B. C. D. 9. 函數(shù)的圖象（部分圖象如圖所示） ，則其解析式為A. B. C. D. 10. 中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn). 一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為A. B. C. D. 11. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，則過作傾斜角為的直線分別交拋物線于（在軸上方）兩點(diǎn)，則的值為A. B. C. D. 12. 已知函數(shù)，若存在 使得成立，則實數(shù)的取值范圍為A. B. C. D

4、. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分. 13. 已知，則_. 14.設(shè)變量滿足約束條件，則的最小值等于_.15.三棱錐中，平面，,，則三棱錐的外接球球的表面積為_. 16. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，若,，且，則_;若的面積為，則的周長的最小值為_.三、解答題：共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 第 1721 題為必考 題，每個試題考生都必須作答. 第 2223 題為選考題，考生根據(jù)要求作答. （一）必考題：共 60 分. 17.（本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列中，設(shè).（）求證： 數(shù)列是等差數(shù)列； （）求數(shù)列的前項和.18. （本小題滿分 12 分） 環(huán)保部門要對所有的

5、新車模型進(jìn)行廣泛測試，以確定它的行車?yán)锍痰牡燃?，右表是?100 輛新車模型在一個耗油單位內(nèi)行車?yán)锍蹋▎挝唬汗铮┑臏y試結(jié)果. （）做出上述測試結(jié)果的頻率分布直方圖，并指出其 中位數(shù)落在哪一組； （）用分層抽樣的方法從行車?yán)锍淘趨^(qū)間38,40)與 40,42) 的新車模型中任取 5 輛，并從這 5 輛中隨機(jī)抽取 2 輛，求其中恰有一個新車模型行車?yán)锍淘?0,42) 內(nèi)的概率.19.（本小題滿分 12 分） 在三棱柱中，平面、平面、平面兩兩垂直. （）求證：兩兩垂直； （）若，求三棱錐的體積.20.（本小題滿分 12 分） 已知點(diǎn)若點(diǎn)滿足.（）求點(diǎn)的軌跡方程； （）過點(diǎn)的直線與（）中曲線相交于兩

6、點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)， 求面積的最大值及此時直線的方程.21.（本小題滿分 12 分）設(shè)函數(shù).（）求函數(shù)的極值； （）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共 10 分，請考生在 22、23 題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題計分. 22.（本小題滿分 10 分）選修 4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為. （）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程； （）直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.23. （本小題滿分 10 分）選修 4-5 不等式選講 已知函數(shù) . （）解關(guān)于的不等式 ； （

7、）若函數(shù)的最大值為，設(shè)，且，求的最小值.長春市2020屆高三質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案及評分參考一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1. C 【解析】，則，其對應(yīng)點(diǎn)為，在第三象限2. B【解析】，或3. B【解析】由得，4. B【解析】，則則是的必要不充分條件5. D【解析】由圖知點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，所以為正相關(guān)，又趨近于1，所以相關(guān)性較強(qiáng)，故正確；由回歸方程知正確；由回歸方程，當(dāng)時，得估計值為3191.93192，故正確.6. C【解析】由圓心到切線的距離等于半徑，得7. C 【解析】，8. D【解析】正確； 錯誤；錯誤；正確9. A【解析】由，由即

8、，即為解析式.10. A【解析】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得11. C【解析】，.12. D【解析】如圖, 直線過定點(diǎn),為其斜率，滿足題意，當(dāng)時，直線過原點(diǎn)時與函數(shù)相切，此時，也滿足題意.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，16題第一空2分，第二空3分，共20分）13. 【解析】平方得.14. 【解析】畫出可行域如圖，變形為，過點(diǎn)A（-2，-2），z取得最大值4，過點(diǎn)C(-2,2)取得最小值.15. 【解析】16. 【解析】由得得；又所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）三、解答題17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本題考查數(shù)列的相關(guān)知識. 【試題解

9、析】（）證明：當(dāng)時，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（6分）（）由（）可知，所以，所以. （12分）18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本題考查概率與統(tǒng)計的相關(guān)知識.【試題解析】（）由題意可畫出頻率分布直方圖如圖所示：由圖可知，中位數(shù)在區(qū)間.（6分）（）由題意，設(shè)從中選取的車輛為，從中選取的車輛為，則從這5輛車中抽取2輛的所有情況有10種，分別為，其中符合條件的有6種，所以所求事件的概率為. （12分）19. (本小題滿分12分)【命題意圖】本題考查立體幾何的相關(guān)知識.【試題解析】（）證明：在內(nèi)取一點(diǎn)，作，因為平面平面，其交線為，所以平面，同理，所以平面，同理，故兩兩垂直. （6分）（）

10、由（）可知，三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為. （12分）20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題考查圓錐曲線中的最值問題等知識. 【試題解析】解：（）由定義法可得，點(diǎn)的軌跡為橢圓且，. 因此橢圓的方程為. （4分）（）設(shè)直線的方程為與橢圓交于點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去可得，即，. 面積可表示為令，則，上式可化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因此面積的最大值為，此時直線的方程為. （12分）21. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識.【試題解析】解：（）令，（2分）+極小值，無極大值；（4分）（II）由題意可知，則原不等式等價于，令，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，成立；當(dāng)時，使得當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，不成立；綜上所述，. （12分）22. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)知識.【試題解析】解：（）直線的普通方程為，圓的直角坐標(biāo)方程為.（5分）（）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓