高等數(shù)學(xué)證明題

1、1. 證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。證明：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理，至少存在一點(diǎn)，使，同理，至少存在一點(diǎn)，使得；在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，再一次運(yùn)用羅爾定理，至少存在一點(diǎn)，使得。2. 設(shè)為上的二階可導(dǎo)函數(shù)，, 并存在一點(diǎn)，使得. 證明至少存在一點(diǎn)，使得. (10分)證明：考慮區(qū)間，則在滿足Lagrange中值定理的條件，則存在，使得. (3分)同理可證存在, 使得. (5分)再考慮區(qū)間, 由條件可知導(dǎo)函數(shù)在上滿足Lagrange中值定理的條件，則存在，使得. 得證.3. 設(shè)在 上連續(xù),在 上可導(dǎo),且 證明在 內(nèi)有 證明在 內(nèi)有 (2分)= (2分)= (2分)4. 證明:當(dāng)時(shí),令當(dāng)時(shí)

2、,所以 在 上單調(diào)增 (3分) 又( 即當(dāng)時(shí),(3分)5. 證明：當(dāng)時(shí)，。答案：證：令，則，因?yàn)樵谶B續(xù)，并且在內(nèi)，因此在上單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)，。這就得到。6. 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式： (8分)證明: 令(2分)則在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且所以在嚴(yán)格單調(diào)遞增，故(7分). 即 (8分)7. 證明： 設(shè)，證明函數(shù)f（x）=在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。（6分）證明：法一利用定積分： 假設(shè)函數(shù)f（x）=在（0，1）上沒有零點(diǎn) 則因f（x）在0，1上連續(xù)，姑f（x）恒為正或負(fù) （1分）從而由定積分性質(zhì)得： = （4分）為正或?yàn)樨?fù)，這與假設(shè)矛盾。所以函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)。# （1分

3、） 法二利用羅爾定理設(shè)F（x）=，則f（x）= （2分）顯然F（x）在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（1）=0 故由羅爾定理知，在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 （3分）即。因此，函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)。# （1分）8. 證明：已知，且，證明證明：=-4分 =2-3分 =-3分9. 若， 求證：存在，使得證：因?yàn)樵谏线B續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且（2分）, （3分）所以，由Rolle中值定理得到:f(x)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（4分），即至少存在一點(diǎn)c, 使得10. 證明:證：由微分中值定理得到：, 在與之間（3分）所以（5分）（6分）11. 設(shè)函數(shù)在上是連續(xù)函數(shù), 且令.求證：（1）；（2）在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)證：由微積分學(xué)基本定理得到：（1分）（2分）。因?yàn)椋?；（3分） 則由根的存在性定理得到：在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（4分），由（1）知在上是單調(diào)上升，所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（5分）12. 設(shè)在0，1上可導(dǎo)，且。試證明在（0，1）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。