高中三角函數(shù)常見題型與解法

1、教育杏壇：三角函數(shù)的題型和方法一、思想方法1、三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：=（+），=等。（3）降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。（4）化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）。（5）引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。（6）萬能代換法。巧用萬能公式可將三

2、角函數(shù)化成tan的有理式。2、證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學歸納法。3、證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4、解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。二、注意事項對于三角函數(shù)進行恒等變形，是三角知識的綜合應(yīng)用，其題目類

3、型多樣，變化似乎復雜，處理這類問題，注意以下幾個方面：1、三角函數(shù)式化簡的目標：項數(shù)盡可能少，三角函數(shù)名稱盡可能少，角盡可能小和少，次數(shù)盡可能低，分母盡可能不含三角式，盡可能不帶根號，能求出值的求出值。2、三角變換的一般思維與常用方法。注意角的關(guān)系的研究，既注意到和、差、倍、半的相對性，如也要注意題目中所給的各角之間的關(guān)系。注意函數(shù)關(guān)系，盡量異名化同名、異角化同角，如切割化弦，互余互化，常數(shù)代換等。熟悉常數(shù)“1”的各種三角代換：等。注意萬能公式的利弊：它可將各三角函數(shù)都化為的代數(shù)式，把三角式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式但往往代數(shù)運算比較繁。熟悉公式的各種變形及公式的范圍，如 sin = tan ·

4、cos ，等。利用倍角公式或半角公式，可對三角式中某些項進行升降冪處理，如，等從右到左為升冪，這種變形有利用根式的化簡或通分、約分；從左到右是降冪，有利于加、減運算或積和（差）互化。3、幾個重要的三角變換：sin cos 可湊倍角公式； 1±cos 可用升次公式；1±sin 可化為，再用升次公式；（其中 ）這一公式應(yīng)用廣泛，熟練掌握。4、單位圓中的三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的幾何表示，四種三角函數(shù)y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的圖像都是“平移”單位圓中的三角函數(shù)線得到的，因此應(yīng)熟練掌握三角函數(shù)線并能應(yīng)用它解決一些相關(guān)問題5、三角函

5、數(shù)的圖像的掌握體現(xiàn)在：把握圖像的主要特征（頂點、零點、中心、對稱軸、單調(diào)性、漸近線等）；應(yīng)當熟練掌握用“五點法”作圖的基本原理以及快速、準確地作圖。6、三角函數(shù)的奇偶性結(jié)論： 函數(shù)y = sin (x)是奇函數(shù)。 函數(shù)y = sin (x)是偶函數(shù)。 函數(shù)y =cos (x)是奇函數(shù)。 函數(shù)y = cos (x)是偶函數(shù)。7、三角函數(shù)的單調(diào)性三、典型例題與方法題型一 三角函數(shù)的概念及同角關(guān)系式此類題主要考查三角函數(shù)誘導公式及三角函數(shù)的符號規(guī)律.解此類題注意必要的分類討論以及三角函數(shù)值符號的正確選取。1、三角函數(shù)的六邊形法則。2、幾個常用關(guān)系式：（1）sincos，sincos，sin·

6、;cos，三式知一求二。（2）。（3）當時，有。3、誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）。4、sin（k）=1ksin；cosk=1kcos，（kZ）。5、熟記關(guān)系式；。【例1】記,那么（ ）A、 B、 C、 D、解：,。故選B評注：本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。同時熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號。【例2】（ ）A、 B、- C、 D、解：評注：本小題主要考查誘導公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識。練習：1、sin585°的值為（ ）A、 B、 C、 D、2、下列關(guān)系式中正確的是（ ）A、 B、 C、 D、3、若，則 4、 “”是“”的

7、（ ）A、充分而不必要條件 B、必要而不充分條件C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件5、A、 B、2 C、 D、題型二 化簡求值這類題主要考查三角函數(shù)的變換。解此類題應(yīng)根據(jù)考題的特點靈活地正用、逆用，變形運用和、差、倍角公式和誘導公式，進行化簡、求值。【例3】已知為第三象限的角，,則 。解： 為第三象限的角 << <2<()又<0, ,.評注：本題主要考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系和二倍角公式的靈活運用。是一道綜合性較強的題目?！纠?】已知，求（1）；（2）的值。解：（1）； (2) 評注：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進行弦、切互化，就

8、會使解題過程簡化。練習：1、已知，則A、 B、 C、 D、2、函數(shù)最小值是（ ）A、-1 B、 C、 D、13、 “”是“”的（ ）A、充分而不必要條件 B、必要而不充分條件C、充要條件 D、既不充分也不必要條件題型三 函數(shù) y=Asin（x）的圖像及其性質(zhì)圖像變換是三角函數(shù)的考察的重要內(nèi)容，解決此類問題的關(guān)鍵是理解A、的意義，特別是的判定，以及伸縮變換對的影響?！纠?】為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（ ）A、向左平移個長度單位 B、向右平移個長度單位C向左平移個長度單位 D向右平移個長度單位解：=，=，將的圖像向右平移個長度單位得到的圖像，故選B.評注：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換中

9、的平移變換、伸縮變換，特別是函數(shù)中的對函數(shù)圖像變化的影響是歷年考生的易錯點，也是考試的重點?！纠?】設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖像向右平移個單位后與原圖像重合，則的最小值是（ ）A、 B、 C、 D、3 解：將y=sin(x+)+2的圖像向右平移個單位后為=2k, 即又 ， k1故， 所以選C評注：本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換與三角函數(shù)的周期性，考查了同學們對三角函數(shù)圖像知識靈活掌握的程度?！纠?】函數(shù)的最小正周期為（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】A【解析】由可得最小正周期為,【例8】函數(shù)的最小值是_ ?！敬鸢浮俊窘馕觥浚宰钚≈禐椋骸纠?】若函數(shù)，則的最大值為（

10、）A、1 B、 C、 D、【答案】B【解析】因為=當是，函數(shù)取得最大值為2。 故選B。練習：1、將函數(shù)的圖像向左平移0 2的單位后，得到函數(shù)的圖像，則等于（ ）A、 B、 C、 D、2、若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ ）A、 B、 C、 D、3、將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位,所得圖像的函數(shù)解析式是( )A、 B、 C、 D、4、已知函數(shù)的最小正周期為，的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則的一個值是（ ）A、 B、 C、 D、5、已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖像，只要將的圖像（ ）A、向左平移個單位長度 B、向右平移

11、個單位長度C、向左平移個單位長度 D、向右平移個單位長度6、已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖像不可能是 ( )7、已知函數(shù)=Acos()的圖象如圖所示，則=（ ）A、 B、 C、 D、8、函數(shù)（為常數(shù)，）在閉區(qū)間上的圖像如圖所示，則 = . 9、已知函數(shù)y=sin（x+）（>0, -<）的圖像如圖所示，則 =_10、已知函數(shù)的圖像如圖所示，則 。11、已知函數(shù)的圖像如圖所示，則 12、已知函數(shù)，的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A、 B、 C、 D、 13、如果函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，那么 的最小值為（ ）A、 B、 C、 D、14、已知函數(shù)，下面結(jié)論錯誤的是（

12、 ）A、函數(shù)的最小正周期為B、函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C、函數(shù)的圖像關(guān)于直線0對稱D、函數(shù)是奇函數(shù)15、若，則函數(shù)的最大值為 。16、已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期。（2）求函數(shù)的最大值及取最大值時x的集合。17、已知函數(shù)，其圖像過點。（）求的值；（）將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的最大值和最小值。18、設(shè)函數(shù)。（1）求函數(shù)的最大值和最小正周期。（2）。19、設(shè)函數(shù)。（1）求的最小正周期。（2）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，求當時的最大值。20、設(shè)函數(shù)的最小正周期為。（1）求的最小正周期。（2）若函數(shù)的圖像是由的圖像向右平移個單位長度得到，求的單調(diào)增

13、區(qū)間。21、已知函數(shù)的定義域為，值域為 5，1 ，求常數(shù)a、b的值。22、已知函數(shù)y=cos2x+sinx·cosx+1（xR）。（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(xR)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？題型四 三角函數(shù)與解三角形此類題主要考查在三角形中三角函數(shù)的利用. 解三角形的關(guān)鍵是在轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想的指導下，正確、靈活地運用正弦、余弦定理、三角形的面積公式及三角形內(nèi)角和等公式定理?！纠?0】在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A=（ ）A、 B、 C、 D、解：由正弦定理得所以cosA=，所以A=300評

14、注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運算或?qū)⒔腔癁檫呥\算。通過恰當?shù)厥褂谜摇⒂嘞叶ɡ韺⒂嘘P(guān)的邊角確定，從而解決問題。【例11】在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，則=_。解： =評注：三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點，在高考試題中頻繁出現(xiàn)。這類題型難度比較低，估計以后這類題型仍會保留，不會有太大改變.解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ＞毩暎?、在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 。2、在中，。（）求AB的值。（）求的值。3、在中，角所對的邊分別為，且滿足， 。（I）求的面積； （II）若，求的值4、在中，角的對邊分別為，。（）求的值；（）求的面積5、在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。6、設(shè)函數(shù)在處取最小值。(1)求的值；(2)在ABC中，分別是角A,B,C的對邊,已知，求角C。7、設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為，求B。題型五 三角函數(shù)與平面向量【例13】平面直角坐標系有點。（1）求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù)；（2）求的最值。解：（1）， 即 （2） ， 又 ， ， ， 。說明：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時要時刻注意?！纠?4】已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n1，且A為