第四章 動態(tài)資產(chǎn)價格(金融衍生品定價理論講義)

1、第四章 動態(tài)資產(chǎn)價格在上一章中，我們利用無套利原理討論期權(quán)價格的一些定性關(guān)系，包括期權(quán)價格的上下界、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價格之間的平價關(guān)系、美式與歐式期權(quán)價格之間的關(guān)系、以及期權(quán)價格與什么因素有關(guān)系。為了更準(zhǔn)確的定價，我們需要對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的分布做出更多的假設(shè)。實(shí)際市場中資產(chǎn)價格運(yùn)行服從的過程是永遠(yuǎn)不可能知道的，我們只能對其作出近似假設(shè)。假設(shè)的模型既應(yīng)該充分的簡單以便于分析，也應(yīng)該足夠復(fù)雜，從而能夠?qū)Y產(chǎn)價格實(shí)際運(yùn)行提供合理的近似。本章的目的在于研究描述資產(chǎn)價格運(yùn)行的模型。對數(shù)正態(tài)分布 ( lognormal distribution) 是期權(quán)/期貨定價的基礎(chǔ)（股票衍生證券定價的Black-

2、Scholes模型，外匯衍生產(chǎn)品定價，特殊的Heath-Jarrow-Morton 模型）。我們在本章分析對數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，并說明選擇其作為描述動態(tài)資產(chǎn)價格基本模型的原因。對數(shù)正態(tài)分布優(yōu)點(diǎn)在于對連續(xù)交易模型的準(zhǔn)確描述以及便于微分運(yùn)算。但是，就直觀上來說，連續(xù)交易模型要差于離散模型，所以在這一章中，我們也介紹二項樹模型。二項樹模型為期權(quán)定價和套期保值提供非常直觀和簡單的視角。另外，通過仔細(xì)構(gòu)造，我們可以用二項樹模型近似逼近對數(shù)正態(tài)分布，這點(diǎn)在實(shí)際中是非常有用的，事實(shí)上，在美式期權(quán)定價方面，利用二項分布逼近對數(shù)正態(tài)分布是實(shí)務(wù)界廣泛應(yīng)用的模型。我們應(yīng)該注意二項分布和對數(shù)正態(tài)分布之間的聯(lián)系。盡管為了

3、簡單，我們會利用二項模型來解釋不同的期權(quán)/期貨定價理論，但對數(shù)狀態(tài)分布將總是這些模型的背景基礎(chǔ)。為討論方便，在這一章我們把考慮的資產(chǎn)均稱為股票。但是所進(jìn)行的分析也等價的適用于大多數(shù)別的資產(chǎn)和商品。1對數(shù)正態(tài)分布股票價格的回報率服從對數(shù)正態(tài)分布是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)使用的一個非常標(biāo)準(zhǔn)的模型（定價、最優(yōu)證券組合理論、最優(yōu)消費(fèi)選擇）。我們將證明，只要給定股票回報率隨機(jī)行為的合理假設(shè)（這些假設(shè)與實(shí)際市場是非常吻合的），股票價格的回報率就會隱含的服從對數(shù)狀態(tài)分布。事實(shí)上，這些假設(shè)以一種非常直觀的方式刻畫了對數(shù)正態(tài)分布。而這種直觀對我們理解定價理論而言是非常重要的，因?yàn)閷?shù)正態(tài)分布是我們研究衍生證券理論的基礎(chǔ)。對模

4、型作出的假設(shè)至少應(yīng)該滿足實(shí)際市場中股票價格具有的最明顯的基本特征。觀察實(shí)際市場中的股票價格我們發(fā)現(xiàn)，未來股票價格是不確定的和非常難以預(yù)測的。為了進(jìn)行描述，我們把時間水平分成相等的份，每份的長度為，。通過理解股票價格在每段小時間區(qū)間的特點(diǎn)，我們能夠理解股票價格在整個時間水平的特點(diǎn)。引入記號：表示股票在時間的價格表示股票在時間區(qū)間上的連續(xù)復(fù)利的回報率，即（1）由于我們把時間區(qū)間分成份，在第一個區(qū)間末的股票價格為，第二個時間區(qū)間末的價格為等等。（2）把（1）代入（2）得（3）定義（4）我們有（5）即表示股票在時間區(qū)間上連續(xù)復(fù)利的回報率?？梢钥醋鞲鲿r間區(qū)間連續(xù)復(fù)利回報率的和，這是我們?yōu)槭裁床捎眠B續(xù)復(fù)利

5、而不采用離散復(fù)利的原因。為了得到股票回報率的對數(shù)正態(tài)分布，我們下面對連續(xù)復(fù)利回報率的概率分布作出假設(shè)。這些假設(shè)來源于實(shí)際市場中觀測到的股票價格行為，在實(shí)際市場中，我們觀測到：（1）股票回報率在相連的兩個時間區(qū)間是近似統(tǒng)計獨(dú)立的；（2）股票在每個時間區(qū)間上的回報率的分布是相同的。因此我們作出如下假設(shè)：假設(shè)1：回報率的分布是獨(dú)立的。假設(shè)2：回報率是同分布的。假設(shè)1說明，時間區(qū)間上的回報率對于預(yù)測下一時間區(qū)間的回報率是無用的。假設(shè)2說明，回報率的分布不依賴于以前的股票價格。這兩個假設(shè)合在一起說明股票價格服從隨機(jī)游走(random walk)。股票價格的這一特征與有效市場理論有關(guān)。給定這兩個假設(shè)，我們

6、下面描述當(dāng)時間區(qū)間的長度越來越小時，回報率將如何變化。由于我們在實(shí)際市場中觀測到的現(xiàn)象（1）和（2）不依賴于具體時間長短，所以我們希望，當(dāng)時間區(qū)間的長度越來越小時，假設(shè)（1）、（2）保持不變。為了達(dá)到這一目的，我們另外假設(shè)：假設(shè)3：期望連續(xù)復(fù)利回報率可以寫成如下形式這里是單位時間期望連續(xù)復(fù)利回報率。假設(shè)4：連續(xù)復(fù)利回報率的方差可以寫成如下形式這里是單位時間連續(xù)復(fù)利回報率的方差。期望回報率和回報率方差都與時間區(qū)間的長度成比例，因此當(dāng)時間區(qū)間越來越小時，股票回報率的這兩個矩成比例縮小。從技術(shù)上來說，這些假設(shè)保證，當(dāng)時間區(qū)間越來越小時，的分布既不爆炸，也不退化到一固定點(diǎn)，而是保持隨機(jī)的和類似的特性。

7、給定這些假設(shè)，時間水平上的期望連續(xù)復(fù)利回報率為 方差為 表面上看起來，我們沒有對每個時間區(qū)間的連續(xù)復(fù)利回報率的概率分布（從而的概率分布）作任何假設(shè)，但是假設(shè)1-4是非常強(qiáng)的假設(shè)，實(shí)際上，在假設(shè)1-4之下，利用中心極限定理我們可以證明，當(dāng)時間區(qū)間的長度越來越小時，連續(xù)復(fù)利回報率的概率分布趨近于均值為、方差為的正態(tài)分布。從而股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。事實(shí)上，假設(shè)1-4刻畫了股票回報率的對數(shù)正態(tài)分布。因?yàn)槿绻恼龖B(tài)分布，則滿足假設(shè)1-4。例子：假設(shè)連續(xù)復(fù)利的回報率是每年15%?；貓舐拭磕甑牟▌訛?5%。兩年時間的連續(xù)復(fù)利的回報率是均值為30%，標(biāo)準(zhǔn)差為25%=35.36%正態(tài)分布。中心極限定理：證

8、明的概率分布趨近于均值為、方差為的正態(tài)分布：如果股票在時間的價格服從對數(shù)正態(tài)分布，則其期望值為股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布是一個方便的假設(shè)，我們將廣泛應(yīng)用這個假設(shè)，它使得我們可以得到不同類型衍生產(chǎn)品價格的簡單表示，例如Black-Scholes期權(quán)定價模型，但這并不是我們采用這樣一個假設(shè)的完全理由。它是建立在與實(shí)際市場非常吻合的四個基本假設(shè)之上的，從而有其存在的理論和現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。2二項式模型考慮如下的例子：設(shè)股票今天的價格為100元，我們對一年以后股票的價格感興趣。為簡單起見，假設(shè)在這期間，股票不分紅，且一年后股票的價格只取兩個可能的值：以概率0.5取83.30元，以概率0.5取140.70元。如下

9、圖我們可以把一年末股票的價格以如下方式表示為這里是初始價格，=1.407表示向上的乘子 (up-factor)，=0.833表示向下的乘子 (down-factor)。股票的價格在每個期末只取兩個可能值中的一個這以模型稱為二項模型(binomial model)。股票在每個期末也可以取三個（或者更多）可能值中的一個。選取二項模型的原因有兩個：（1）簡單；（2）當(dāng)兩次價格變動之間的時間越來越小時，具體選取哪個模型 (二項還是多項模型) 并不是至關(guān)重要的。我們將證明，二項模型可以用來逼近對數(shù)正態(tài)分布。為了與實(shí)際更加吻合，作為第一步，我們把一年的時間再分成兩個相等的時間區(qū)間，每個時間區(qū)間6個月，股票

10、的價格在每個期末只取兩個可能值中的一個：這里是的價格，表示向上的乘子，表示向下的乘子，均為常數(shù)，且>。(1) 和依賴于時間區(qū)間的大小(2) 假設(shè)和不依賴于時間和狀態(tài)，與隨機(jī)游走和有效市場理論相吻合(3) 在每個時間狀態(tài)的個數(shù)下面，把時間區(qū)間進(jìn)一步分細(xì)：我們把時間水平分成相等的份，每份的長度為，。在每個時間有（6）圖二項分布：為了利用二項模型，對乘子和的假設(shè)是非常重要的。對和不同的假設(shè)將導(dǎo)致不同股票價格模型。下面我們對和作出特殊假設(shè)以使得二項模型可以逼近對數(shù)正態(tài)分布。3二項式模型對對數(shù)正態(tài)分布的逼近我們對和作出特殊假設(shè)以使得二項模型可以逼近對數(shù)正態(tài)分布。假設(shè)股票回報率在每一期僅僅只能取兩個

11、值中的一個（7）時間區(qū)間上的期望回報率方差期望回報率通常稱為漂移項（drift）(Because it is the value to which the stock return drifts before it is shocked by or)。稱為波幅（volatility）(Because it reflects the size of the random shocks in the stocks return as it moves through time)。式子（7）滿足假設(shè)1-4，所以，連續(xù)復(fù)利回報率的概率分布趨近于均值為、方差為的正態(tài)分布。從而股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。利

12、用式子（7），股票在時間的價格為（8）從而向上和向下乘子為當(dāng)越來越小時，。假設(shè)股票價格滿足式子（7）只是為了說明當(dāng)時間區(qū)間長度越來越小時，股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。需要說明的是，這并不是符合要求（假設(shè)1-4）的唯一假設(shè)。例如， 也滿足要求。例子：二項分布逼近對數(shù)正態(tài)分布4拓展我們現(xiàn)在拓展股票價格服從的對數(shù)正態(tài)分布模型。對數(shù)正態(tài)分布由假設(shè)1-4刻畫，改變4個假設(shè)中的任何一個都會導(dǎo)致不同的分布。經(jīng)常改動的假設(shè)是第3、4個假設(shè)。例如，如果回報率均值合方差是時間的函數(shù)，則股票價格不再服從對數(shù)正態(tài)分布。在許多合理的分布中，回報率方差依賴于股票的價格水平。例如，在一些市場中，當(dāng)股票價格增加時，股票價格變化量的方差增加。如果以回報率來刻畫，這時股票回報率方差減小，所以可以假設(shè)改變假設(shè)4產(chǎn)生股票價格的隨機(jī)波幅模型，這時，（1）計算量增加，（2）價格的變化量不再獨(dú)立，這使得參數(shù)估計復(fù)雜化。越來越多的文獻(xiàn)開始利用隨機(jī)波幅股票價格模型來給衍生證券定價。5對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)微分方程表示關(guān)于連續(xù)復(fù)利回報率的假設(shè)1-4的一個非常好的表示方式為這里是均值為0