常微分方程小論文一階微分方程的應(yīng)用

1、一階微分方程的應(yīng)用.(.計(jì)算機(jī)學(xué)院，.1201)摘 要：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)最重要的一點(diǎn)就是應(yīng)用，文章通過對(duì)一階微分方程的典型例題的講解總結(jié)出解決一階微分方程應(yīng)用的一般方法。關(guān)鍵詞：一階微分方程；應(yīng)用；方法1 引言在學(xué)習(xí)微分方程的過程中，我們通常把自己的注意力集中到了怎么去解那些微分方程，而有意無意地忽略了一些微分方程的應(yīng)用。的確，復(fù)雜多變的微分方程的解法是學(xué)習(xí)微分方程的一個(gè)重要點(diǎn)，但是，我們不能忘了，任何數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)都是為了應(yīng)用，雖然一些常微分方程的應(yīng)用可能解起來比較簡(jiǎn)單，但是，構(gòu)造模型的第一步卻是對(duì)于一些人來說比較困難的。有一些人對(duì)于解各種微分方程得心應(yīng)手，但是一遇到常微分方程的應(yīng)用就不知道從哪

2、里下手。下面，我們通過幾個(gè)常微分方程的經(jīng)典應(yīng)用題來總結(jié)一下解決常微分方程應(yīng)用的一般方法。2 幾個(gè)常微分方程應(yīng)用的典型例題2.1容易建模，但是需要我們知道些基本的其它科目的知識(shí)(書本P94 第六題)一個(gè)質(zhì)量為m的物體，在介質(zhì)中靜止下落。設(shè)介質(zhì)阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，并且介質(zhì)的比重是物體的比重的,落體的極限速度是24m/s.試求該物體3s末的速度和運(yùn)動(dòng)過的距離。分析：這種類型的題目在高中的物理里面經(jīng)常接觸過，所以建立模型比較簡(jiǎn)單。解:由于介質(zhì)阻力與速度呈正比，所以，設(shè)阻力f = kv。由ma = F可知，.因?yàn)闃O限速度為24m/s，此時(shí)加速度為0，即，所以,物體靜止下落，我們又可以得到初始條件，。所

3、以，我們可以得到：到現(xiàn)在，條件足夠了，顯然，這是一個(gè)變量可分離的方程，代入數(shù)據(jù)我們可最終求得：，.小結(jié)：這類題目是我們所接觸的最簡(jiǎn)單的常微分方程應(yīng)用的一種類型，因?yàn)檫@些題目很容易讓我們抓住關(guān)系，因?yàn)橐郧案咧械臅r(shí)候做的多了，唯一需要注意的是這類題目一般要求一些簡(jiǎn)單的物理知識(shí)，比如說F = ma,由比如說在介質(zhì)中重力加速度的變化，如果這類額外的知識(shí)我們能夠掌握了，那解題就不在話下了。2.2題目中會(huì)告訴我們模型的建立方法物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫度差成比例，假設(shè)室溫為20時(shí)，一物體由100冷卻到60需經(jīng)過20分鐘，試問共經(jīng)過多少時(shí)間方可使此物體的溫度從開始的100降低到30？分析：題目簡(jiǎn)

4、單，因?yàn)轭}目的第一句話已經(jīng)告訴了我們模型的建立方法。解：設(shè)物體的溫度函數(shù)為，由題意。對(duì)應(yīng)的齊次方程為，分離變量得，解得。設(shè)原方程的解為，代入原方程得，解得。又得，得。由題意，解得小結(jié)：類似這類題目，一般都是給我們一個(gè)嶄新的場(chǎng)景，然后讓我們自己構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，比如說這道題目，是溫度和時(shí)間的模型，而且這道題目的第一句話就已經(jīng)提示你了用什么變量怎么去建立這個(gè)模型，所以還是比較簡(jiǎn)單的。2.3不容易建模的題目一場(chǎng)降雪開始于午前某時(shí)刻，并持續(xù)到下午，雪量穩(wěn)定，某人從中午開始清掃某街的人行道，他的鏟雪速度和清掃面寬度均不變，到下午2點(diǎn)他掃了兩個(gè)街區(qū)，到下午4點(diǎn)他又掃了一個(gè)街區(qū)，問雪是什么時(shí)候開始下的？

5、第一感覺：看到題目感覺少了好多條件。讀了之后云里霧里。解：設(shè)午前至中午降雪量為,單位時(shí)間降雪量為，時(shí)刻行進(jìn)的路程為因其行進(jìn)速度與降雪量成反比，故有解得。又由得由得，由得從而，即設(shè)，則，。小結(jié)：類似這種題目，一些關(guān)鍵的信息是需要我們來提取的，比如說行進(jìn)速度與降雪量成反比，而且，這種題目給的信息感覺特別少，若要建模需要假設(shè)的東西特別多，這是這類題目的一個(gè)困難點(diǎn)。遇到這類題目，我們要好好讀題，可以適當(dāng)簡(jiǎn)化信息（比如這道題目還可以將街道考慮為一條直線，即清掃面寬度為0.并且設(shè)一個(gè)街區(qū)的長(zhǎng)度為1），這樣的話建模就容易多了。3 解決常微分方程應(yīng)用的歸納解決常微分方程的應(yīng)用方面問題的最難的地方就是建立模型，

6、這點(diǎn)對(duì)我們的要求最高，我們要根據(jù)實(shí)際的問題建立適當(dāng)?shù)奈⒎址匠?，這需要我們對(duì)問題有深刻的理解，并進(jìn)行必要的假設(shè)，忽略一些次要的因素，選取變量，建立起變量之間的關(guān)系。所以，在日常生活中遇到常微分方程之類的問題的時(shí)候，第一，讀題目時(shí)，我們應(yīng)該格外仔細(xì)，注意題目中所有的條件，并判斷它們是否可以利用，做出相應(yīng)的刪選；第二，抓住各個(gè)變量之間的關(guān)系，特別是XX與XX呈正比，這些是建立常微分方程的必要條件！第三，找到變量變化的初始值，這是對(duì)常微分方程求解的關(guān)鍵；第四，對(duì)做起來比較困難的題目做出總結(jié)和歸納，看自己哪些地方需要增加練習(xí)，并做好整理。希望這對(duì)大家有所作用。4 常微分方程的實(shí)際應(yīng)用如常微分方程的應(yīng)用，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是為了解決生活中的問題，做應(yīng)用題知識(shí)面向?qū)嶋H的一小部分，我們還應(yīng)該看看些實(shí)際問題的例子。這些實(shí)際的例子比一般的題目更復(fù)雜，但也是最有用的，也可以激發(fā)我們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。如果有空的話可以看看常微分方程及其應(yīng)用的P91