數(shù)學(xué)建模作業(yè) 求解常微分方程和人口模型問題

1、姓名胡家煒評分實驗報告實驗報告課程名稱： 數(shù)學(xué)建模 課題名稱： 求解常微分方程與人口模型 專 業(yè)： 信息與計算科學(xué) 姓 名： 胡家煒 班 級： 123132 完成日期： 2016 年 6 月 10 日 一求解微分方程的通解(1). dsolve('2*x2*y*Dy=y2+1','x') ans = (exp(C3 - 1/x) - 1)(1/2) -(exp(C3 - 1/x) - 1)(1/2) i -i(2). dsolve('Dy=(y+x)/(y-x)','x') ans = x + 2(1/2)*(x2 + C12)(

2、1/2) x - 2(1/2)*(x2 + C12)(1/2)(3). dsolve('Dy=cos(y/x)+y/x','x') ans =(pi*x)/2-x*log(-(exp(C25 + log(x) - i) /(exp(C25 + log(x)*i - 1)*i(4). dsolve('(x*cos(y)+sin(2*y)*Dy=1','x') ans = -asin(x/2 + lambertw(0, -(C30*exp(- x/2 - 1)/2) + 1)(5). dsolve('D2y+3*Dy-y=ex

3、p(x)*cos(2*x)','x') ans = C32*exp(x*(13(1/2)/2 - 3/2) + C33*exp(-x*(13(1/2)/2 + 3/2) + (13(1/2)*exp(x*(13(1/2)/2-3/2)*exp(5*x)/2(13(1/2)*x)/2)* (2*sin(2*x) - cos(2*x)*(13(1/2)/2 - 5/2)/(13*(13(1/2)/2 - 5/2)2 +4)-(13(1/2)*exp(x*(13(1/2)/2+3/2)*exp(5*x)/2 +(13(1/2)*x)/2)*(2*sin(2*x)+cos(2*

4、x)*(13(1/2)/2+5/2) /(13*(13(1/2)/2 + 5/2)2 + 4)（6）dsolve('D2y+4*y=x+1+sin(x)','x') ans = cos(2*x)*(cos(2*x)/4 - sin(2*x)/8 + sin(3*x)/12 - sin(x)/4 + (x*cos(2*x)/4 - 1/4) + sin(2*x)*(cos(2*x)/8 - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/4 + cos(x)/4 + (x*sin(2*x)/4 + 1/8) + C35*cos(2*x) + C36*sin(2*x)

5、二求初值問題的解（1）. dsolve('x2+2*x*y-y2+(y2+2*x*y-x2)*Dy=0','y(1)=1','x') ans = (x*(- 4*x2 + 4*x + 1)/x2)(1/2)/2 + 1/2(2). dsolve('D2x+2*n*Dx+a2*x=0','x(0)=x0','Dx(0)=V0') ans = (exp(-t*(n - (-(a + n)*(a - n)(1/2)*(V0 + n*x0 + x0*(-(a + n)*(a - n)(1/2)/(2*(-(

6、a + n)*(a - n)(1/2) - (exp(-t*(n + (-(a + n)*(a - n)(1/2)*(V0 + n*x0 - x0*(-(a + n)*(a - n)(1/2)/(2*(-(a + n)*(a - n)(1/2)三給出函數(shù)f(x)=sinx+cosx在x=0點的7階taylor展開式以及在x=1處的5階taylor展開式。（1）. sym x;taylor(exp(x)*sin(x)+2x*cos(x),7,0)ans = (log(2)2/48 - log(2)4/48 + log(2)6/720 - 1/80)*x6 + (log(2)/24 - log(2

7、)3/12 + log(2)5/120 - 1/30)*x5 + (log(2)4/24 - log(2)2/4 + 1/24)*x4 + (log(2)3/6 - log(2)/2 + 1/3)*x3 + (log(2)2/2 + 1/2)*x2 + (log(2) + 1)*x + 1(2). sym x;taylor(exp(x)*sin(x)+2x*cos(x),5,1)ans = 2*cos(1) + exp(1)*sin(1) - (x - 1)2*(cos(1) - cos(1)*exp(1) + 2*log(2)*sin(1)-cos(1)*log(2)2)+(x-1)3*(s

8、in(1)/3+(cos(1)* exp(1) /3-cos(1)*log(2)-(exp(1)*sin(1)/3+(cos(1)*log(2)3)/3 - log(2)2* sin(1) + (x - 1)4*(cos(1)/12 - (exp(1)*sin(1)/6 + (log(2)*sin(1)/3 - (cos(1)*log(2)2)/2 + (cos(1)*log(2)4)/12 - (log(2)3*sin(1)/3) + (x - 1)*(cos(1)*exp(1) - 2*sin(1) + 2*cos(1)*log(2) + exp(1)*sin(1)四判別下列級數(shù)的斂散性，

9、若收斂求其和.（1）. sym n;symsum(1/(2*n-1),n,1,inf) ans = Inf 因此不收斂（2）. sym n;symsum(tan(pi/(2*n*sqrt(n+1),n,1,inf) ans = sum(tan(pi/(2*n*(n + 1)(1/2), n = 1.Inf)limit(tan(pi/(2*n*(n + 1)(1/2)/(1/n2),n,inf) ans = Inf因此不收斂(3). sym n;symsum(-1)*(n/2)*(1/(n*sqrt(n+1),n,1,inf) ans = -sum(1/(n + 1)(1/2), n = 1.I

10、nf)/2limit(1/(n + 1)(1/2)/(1/n2),n,inf) ans = Inf因此不收斂(4). sym n;symsum(-1)n*(1/(n*log(n),n,1,inf) ans =sum(-1)n/(n*log(n), n = 1.Inf) limit(-1)n*(1/(n*log(n)/(1/n2),n,inf) ans = NaN因此不收斂五求冪級數(shù)的和函數(shù)syms x n;symsum(-1)n*xn/sqrt(n2-n),n,2,inf) ans = sum(-1)n*xn)/(n2 - n)(1/2), n = 2.Inf)六求函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)syms

11、x n;symsum(-1)n*sin(pi/(2n)*xn,n,1,inf)ans = sum(-1)n*xn*sin(1/2n*pi), n = 1.Inf) 七 人口模型一、實驗名稱建立適合的擬合模型，預(yù)測人口增長二、 實驗?zāi)康恼J(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，運用專用的擬合函數(shù)polyfit求解，并作出較準(zhǔn)確的預(yù)報三、實驗原理對于情況較復(fù)雜的實際問題（因素不易化簡，作用機(jī)理不詳）可直接使用數(shù)據(jù)組建模 ,尋找簡單的因果變量之間的數(shù)量關(guān)系， 從而對未知的情形作預(yù)報。擬合模型的組建是通過對有關(guān)變量的觀測數(shù)據(jù)的觀察、分析和選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)方式得到的 擬合模型組建的實質(zhì)是數(shù)據(jù)擬合的精度和數(shù)

12、學(xué)表達(dá)式簡化程度間的一個折中。四、 實驗題目建立Logistic人口阻滯增長模型 ，利用表1中的數(shù)據(jù)分別根據(jù)從1954年、1963年、1980年到2005年三組總?cè)丝跀?shù)據(jù)建立模型，進(jìn)行預(yù)測我國未來50年的人口情況.并把預(yù)測結(jié)果與國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告中提供的預(yù)測值進(jìn)行分析比較。分析那個時間段數(shù)據(jù)預(yù)測的效果好?并結(jié)合中國實情分析原因。建立模型阻滯增長模型（Logistic模型）阻滯增長模型的原理：阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻滯作用，對指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率的影響上，使得隨著人口數(shù)量的增加而下降。若將表示為的函數(shù)。則它應(yīng)是

13、減函數(shù)。于是有： （1）對的一個最簡單的假定是，設(shè)為的線性函數(shù)，即 （2）設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量，當(dāng)時人口不再增長，即增長率，代入（2）式得，于是（2）式為              （3）將（3）代入方程（1）得：             （4）解得： （5）模型求解用Matlab求解，程序如下：t=1954:1:2005;x=60.2,61.5,62.8

14、,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.

15、988,130.756;x1=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743

16、,127.627,128.453,129.227,129.988;x2=61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756;dx=(x2-x1)/x2;a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm和rx0=61.5;f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-195