最新近世代數(shù)知識點

1、近世代數(shù)知識點第一章 基本概念1.1 集合A的全體子集所組成的集合稱為 A的幕集，記作2A.1.2 映射 證明映射： 單射：元不同，像不同；或者 像相同，元相同。 滿射：像集合中每個元素都有原像。Remark：映射滿足結(jié)合律！1.3 卡氏積與代數(shù)運算 (a,b )1 a A,b B 此集合稱為卡氏積，其中(a,b )為有序元素對，所以一般A*B不等于 B*A.集合到自身的代數(shù)運算稱為此集合上的代數(shù)運算。1.4等價關(guān)系與集合的分類等價關(guān)系： 1 自反性：?a A,a a;2對稱性：?a,b R, ab=>b a R;3傳遞性：?a,b,c R,ab,b c =>a c RRemark

2、：對稱+傳遞工自反 一個等價關(guān)系決定一個分類，反之，一個分類決定一個等價關(guān)系 不同的等價類互不相交，一般等價類用 a 表示。第二章 群2.1 半群1. 半群=代數(shù)運算 +結(jié)合律，記作( S, )Remark: i. 證明代數(shù)運算： 任意選取集合中的兩個元素， 讓兩元素間做此運算， 觀察運算后的結(jié)果是否還在定義的集合中。ii. 若半群中的元素可交換，即 a b=b a, 則稱為交換半群。2. 單位元i. 半群中左右單位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能 都不存在；若都存在，則左單位元 =右單位元 =單位元。ii. 單位元具有唯一性，且在交換半群中：左單位元 =右單位元 =單位元iii

3、. 在有單位元的半群中，規(guī)定 a0=e.3. 逆元i. 在有單位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,則a為可逆元。ii. 逆元具有唯一性，記作 a-1 且在交換半群中，左逆元 =右逆元 =可逆元。iii. 若一個元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，則a1=a2,且為a的逆元。4. 子半群i. 設(shè)S是半群，工T S,若T對S的運算做成半群，則T為S的一個 子半群ii. T是S的子半群？a,b T,有ab T2.2 群1 群=半群+單位元+逆元=代數(shù)運算 +結(jié)合律+單位元+逆元 Remark： i .若代數(shù)運算滿足交換律，則稱為交換群或 Abel 群.ii. 加群=代數(shù)運算為加法 +交換群

4、iii. 單位根群Um=m=1,數(shù)域P上全體n階可逆（滿秩）矩陣集合 GL（n,P）, 數(shù)域 P 上全體 n 階的行列式為 1 的矩陣集合 SL（n,p）.2. 群=代數(shù)運算 +結(jié)合律 +左（右）單位元 +左（右）逆元 =代數(shù)運算 +結(jié)合律 +單位元+逆元=代數(shù)運算 +結(jié)合律 +?a,b G,ax=b,ya=b 有解3. 群的性質(zhì)i. 群滿足左右消去律ii. 設(shè)G是群，則?a,b Gax=b,ya=b在G中有唯一解iii. e 是 G單位元e 2=eiv. 若G是有限半群，滿足左右消去律，則G是一個群4. 群的階群G的階，即群G中的元素個數(shù)，用表示。若為無限群，則=Remark：i. 克萊因四

5、元群是一個 Abel 群ii.四階群只有克萊因四元群和模 4 的剩余類群2.3 元素的階1. 定義：設(shè)G是一個群，a G,使得am=e成立的最小正整數(shù)m稱為元素a的 階，記作=口若m不存在，則2. 階的性質(zhì)G是一個群，a G, =mni. a=e mn;h kii. a=a m ;012m-1iii. e=a ,a ,a ,a 兩兩不同；iv. ?r Z, ar =Remark: i. ?r Z, ar =m (m,r)=l；ii.若 m=st,s,t N,則 as =t. ，i. an=e n=0;h ii. a =a;iii. a-2,a-1,a °,a 1,a2兩兩不等iv.

6、?r Z0,ar =.Remark:若 a < , b < ,貝U ab < ?()定理：有限群中的元素的階均有限。Remark定理的逆不成立，即群中所有的元素的階都有限，但群不一定是有 限群，例如n次單位根群。單位根群是一個無限交換群。3. 循環(huán)群定義：設(shè)G是群，若在G中存在一個元素a，使得G中的任意元素都是a 的幕，則稱該群為循環(huán)群，a為該循環(huán)群的生成元。記G=（a）.Remark:生成元不一定唯一，例如（Z,+）,1，-1都是生成元。定理：設(shè)G=（ a）是一個循環(huán)群，（1）（2）若若,則G是含m個元素的有限群，且G=a0,a1,a2-am-1.，則G疋無限群，且G-2 -1 0 1 2 a ,a ,a ,a ,a定理：設(shè) G=（ a）是一個循環(huán)群，（1）若,則G有（m）個生成元：ar ,（r,m）-1（2）（3）若，則G有兩個生成兀：a,a 1（4）(5)若，ar是G的生成元ar =m;( 6 )(7)設(shè)p是素數(shù)，則P階循環(huán)群G=(a)有p-1個生成元：a,a2ap-1Remark(m)表示小于m且與m互素的非負整數(shù)的個數(shù)素數(shù)階群一定是循環(huán)群。定理：設(shè)G是m階群,則G是循環(huán)群 G有m階元2.4 子群定義：設(shè)G是半群，工H G,若 H對G的運算構(gòu)成群，則稱H是G的子群，記 為 H G.1. 子群的性質(zhì)(1)(2) 傳遞性：H K, K G則H G;(