概率論試題含答案)

1、第一部分 基本題一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（每道選擇題選對(duì)滿分，選錯(cuò)0分）1. 事件表達(dá)式AUB的意思是 ( )(A) 事件A與事件B同時(shí)發(fā)生(B) 事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生(C) 事件B發(fā)生但事件A不發(fā)生(D) 事件A與事件B至少有一件發(fā)生答：選D，根據(jù)AUB的定義可知。2. 假設(shè)事件A與事件B互為對(duì)立，則事件AIB( )(A) 是不可能事件(B) 是可能事件(C) 發(fā)生的概率為1(D) 是必然事件答：選A，這是因?yàn)閷?duì)立事件的積事件是不可能事件。3. 已知隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且都服從

2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則X2Y2服從 ( )(A) 自由度為1的c2分布(B) 自由度為2的c2分布(C) 自由度為1的F分布(D) 自由度為2的F分布答：選B，因?yàn)閚個(gè)相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和服從自由度為n的c2分布。4. 已知隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，XN(2,4),YN(-2,1), 則( )(A) X+YP(4)(B) X+YU(2,4)(C) X+YN(0,5)(D) X+YN(0,3)答：選C，因?yàn)橄嗷オ?dú)立的正態(tài)變量相加仍然服從正態(tài)分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+YN(0,5)。5. 樣本(

3、X1,X2,X3)取自總體X，E(X)=m, D(X)=s2, 則有( ) (A) X1+X2+X3是m的無(wú)偏估計(jì)(B) 是m的無(wú)偏估計(jì)(C) 是s2的無(wú)偏估計(jì)(D) 是s2的無(wú)偏估計(jì)答：選B，因?yàn)闃颖揪凳强傮w期望的無(wú)偏估計(jì)，其它三項(xiàng)都不成立。6. 隨機(jī)變量X服從在區(qū)間(2,5)上的均勻分布，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)的值為( )(A) 2(B) 3(C) 3.5(D) 4答：選C，因?yàn)樵?a,b)區(qū)間上的均勻分布的數(shù)學(xué)期望為(a+b)/2。二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分。把答案填在題中橫線上）1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 則P(AIB)= _答：填0.18

4、, 由乘法公式P(AIB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。2. 三個(gè)人獨(dú)立地向一架飛機(jī)射擊，每個(gè)人擊中飛機(jī)的概率都是0.4，則飛機(jī)被擊中的概率為_答：填0.784，是因?yàn)槿硕疾恢械母怕蕿?.63=0.216, 則至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。3. 一個(gè)袋內(nèi)有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)黑球，任取3個(gè)球恰為一紅、一白、一黑的概率為_答：填0.25或，由古典概型計(jì)算得所求概率為。4. 已知連續(xù)型隨機(jī)變量 則PX1.5=_答：填0.875，因PX1.5。5. 假設(shè)XB(5, 0.5)(二項(xiàng)分布), YN(2, 36), 則E(X+Y)=_答：填4.5，因E(X)=50

5、.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.56. 一種動(dòng)物的體重X是一隨機(jī)變量，設(shè)E(X)=33, D(X)=4，10個(gè)這種動(dòng)物的平均體重記作Y，則D(Y)_答：填0.4，因?yàn)榭傮wX的方差為4，10個(gè)樣本的樣本均值的方差是總體方差的1/10。三、有兩個(gè)口袋，甲袋中盛有兩個(gè)白球，一個(gè)黑球，乙袋中盛有一個(gè)白球，兩個(gè)黑球。由甲袋任取一個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥〕鲆粋€(gè)球，求取到白球的概率。（10分）解：設(shè)從甲袋取到白球的事件為A，從乙袋取到白球的事件為B，則根據(jù)全概率公式有四、已知隨機(jī)變量X服從在區(qū)間(0,1)上的均勻分布，Y2X +1，求Y的概率密度函數(shù)。（1

6、0分）解：已知X的概率密度函數(shù)為Y的分布函數(shù)FY(y)為因此Y的概率密度函數(shù)為五、已知二元離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下表所示： YX-112-10.10.20.320.20.10.1(1) 試求X和Y的邊緣分布率(2) 試求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X與Y的相關(guān)系數(shù)rXY(滿分10分)解：(1)將聯(lián)合分布表每行相加得X的邊緣分布率如下表：X-12p0.60.4將聯(lián)合分布表每列相加得Y的邊緣分布率如下表：Y-112p0.30.30.4(2) E(X)=-10.6+20.4=0.2, E(X2)=10.6+40.4=2.2,D(X)=E(X2)-E(X)2=2.2-0

7、.04=2.16E(Y)=-10.3+10.3+20.4=0.8, E(Y2)=10.3+10.3+40.4=2.2D(Y)= E(Y2)-E(Y)2=2.2-0.64=1.56E(XY)=(-1)(-1)0.1+(-1)10.2+(-1)20.3+2(-1)0.2+210.1+220.1= =0.1-0.2-0.6-0.4+0.2+0.4=-0.5cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.5-0.16=-0.66六、設(shè)某種電子管的使用壽命服從正態(tài)分布。從中隨機(jī)抽取15個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，算出平均使用壽命為1950小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s為300小時(shí)，以95%的置信概率估計(jì)整批電子管平均使用壽命

8、的置信區(qū)間。 (滿分10分)解：已知樣本均值, 樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=300, 自由度為15-1=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出, 因此平均使用壽命的置信區(qū)間為，即(1784, 2116)。附：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表F(x)0.90.950.9750.99x1.2815511.6448531.9599612.326342t分布表Pt(n)ta(n)=a a N0.10.050.025141.34501.76132.1448151.34061.75312.1315161.33681.74592.1199第二部分 附加題附加題1設(shè)總體X的概率密度為其中q-1為未知參數(shù)，又設(shè)x1,x2,L,xn是X的一組樣本觀測(cè)值，求參數(shù)q的最大似然估計(jì)值。（滿分15分）解：似然函數(shù)令，解出q的最大似然估計(jì)值為附加題2設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分