梅涅勞斯定理及例題拓展

1、梅涅勞斯定理及例題拓展梅涅勞斯介紹：在證明點(diǎn)共線時(shí)，有一個(gè)非常重要的定理，它就是梅涅勞斯定理，梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍。下面的定理就是他首先發(fā)現(xiàn)的。這個(gè)定理在幾何學(xué)上有很重要的應(yīng)用價(jià)值。定理：設(shè)D、E、F依次是三角形ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足證明：（此定理需要分四種情況討論，但有兩種可以排除）先來說明兩種不可能的情況情況一：當(dāng)三點(diǎn)均在三角形邊上時(shí)，由基本事實(shí)可知三點(diǎn)不可能共線（只能組成內(nèi)接三角形的三角形。情況二：當(dāng)一點(diǎn)在三角形一邊上，另兩點(diǎn)分別在三角形另兩邊的延長線上時(shí)，如圖是三角

2、形ABC直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，平移直線DE即可發(fā)現(xiàn)不能可兩點(diǎn)同時(shí)在延長線上情況三：當(dāng)兩點(diǎn)分別在三角形兩邊上，另一點(diǎn)在三角形另一邊的延長線上時(shí)，如圖是三角形ABC直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，D、E、F三點(diǎn)共線可過C作CMDE交AB于M，于是所以情況四：三點(diǎn)分別在三角形三邊的延長線上時(shí)，如圖是三角形ABC直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，同情況三D、E、F三點(diǎn)共線可過C作CMDE交AB于M，于是所以設(shè)D、E、F依次是三角形ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足拓展（1題）在任意三角形PQR中，A2,A4分

3、別是PR,PQ延長線上的點(diǎn)，做射線A4A2,A6是射線A4A2上的一點(diǎn)，做射線A6Q，A1是射線A6Q上的一點(diǎn)，連結(jié)A1A2交射線PR于X，作射線A4A3交射線PQ于點(diǎn)A3，交射線A1A6于點(diǎn)Y，連結(jié)A1A3交射線PR于點(diǎn)A5，連結(jié)A6A5交射線PQ于點(diǎn)Z，求證X,Y,Z三點(diǎn)共線（該命題又為一六邊形相間各頂點(diǎn)分別在兩直線上求證：它的三對(duì)對(duì)邊（所在直線）的交點(diǎn)共線）這個(gè)定理為帕波斯定理（2題）給定ABC內(nèi)兩點(diǎn)O,O',連結(jié)AO,AO'交BC于點(diǎn)X,X',BO,BO'交AC于Y,Y',CO,CO'交AB于Z,Z'.設(shè)YZ'與Y'Z交于點(diǎn)P,ZX'與Z'X交于點(diǎn)Q,XY'與X'Y交于點(diǎn)R.求證O,O',P,Q,R五點(diǎn)共線（3題）在任意三角形ABC中，E是直線AC上的一點(diǎn)，D是直線BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)是直線DE上一點(diǎn)，G是直線AC上一點(diǎn)，作直線BG交直線DF于點(diǎn)Q，作直線CF交直線AB于點(diǎn)P，作直線GF交直線AB于點(diǎn)H作直線DH交直線AC于點(diǎn)R,求證P,Q,R三點(diǎn)共線（4題）一直線截ABC三邊BC,CA,AB或延長線X,Y,Z。證明：這三點(diǎn)的等截點(diǎn)X',Y',Z'共線。（在三角形任意一邊所在直線上，設(shè)有兩點(diǎn)與此邊的中點(diǎn)等距，則稱這兩個(gè)點(diǎn)互為等截點(diǎn)）（5題）