正多邊形和圓的計(jì)算

1、. . . .圓和正多邊形的有關(guān)計(jì)算(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2015·涼山州期末)O的內(nèi)接正三角形和外切正方形的邊長之比是()A.32B.11C.12D.23【解析】選A.如圖所示,連接CO,過點(diǎn)O作OECD于點(diǎn)E,四邊形AMNB是O的外切正方形,O切AB于點(diǎn)C,CFD是O的內(nèi)接正三角形,設(shè)圓的外切正方形的邊長為a,則CO=a2,OCE=30°,CE=a2·cos30°=3a4,O的內(nèi)接正三角形的邊長為2EC=3a2,3a2a=32.2.(2015·廣州越秀區(qū)期末)如圖,AB與O相切于點(diǎn)B,OA=2,OAB=3

2、0°,弦BCOA,則劣弧BC的弧長是()A.2B.3C.4D.6【解析】選B.連接OB,OC,AB為O的切線,ABO=90°,在RtABO中,OA=2,OAB=30°,OB=1,AOB=60°,BCOA,OBC=AOB=60°,又OB=OC,BOC為等邊三角形,BOC=60°,則劣弧BC的長為60×1180=3.3.如圖,O為正五邊形ABCDE的外接圓,O的半徑為2,則AB的長為()A.5B.25C.35D.45【解析】選D.如圖所示,O為正五邊形ABCDE的外接圓,O的半徑為2,AOB=360°5=72°

3、;,AB的長為:72×2180=45.【知識拓展】正n邊形的有關(guān)計(jì)算(1)邊長:an=2Rn·sin180°n.(2)周長:Pn=n·an.(3)邊心距:rn=Rn·cos180°n.(4)面積:Sn=12an·rn·n.(5)每一個內(nèi)角的度數(shù)為(n-2)×180°n.(6)每一個外角的度數(shù)為360°n.(7)中心角的度數(shù)為360°n.4.如圖,正方形ABCD中,分別以B,D為圓心,以正方形的邊長a為半徑畫弧,形成樹葉形(陰影部分)圖案,則樹葉形圖案的周長為()A.aB.2a

4、C.12aD.3a【解析】選A.四邊形ABCD是正方形,B=D=90°.則扇形ABC的弧長為l=90×a180=12a,同理可求扇形ADC的弧長為12a,樹葉形圖案的周長為12a×2=a.【一題多解】選A.由題意知樹葉形圖案的周長為以a為半徑的圓周長的一半,樹葉形圖案的周長為12×2a=a.【互動探究】若求陰影部分的面積呢?提示:S陰影=2×90××a2360-12a2=-22a2.二、填空題(每小題4分,共12分)5.如圖所示,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,若O的半徑為4,則陰影部分的面積等于_.【解析】正六邊形的六條半徑

5、把正六邊形分成六個全等的等邊三角形,陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的面積,即為圓面積的13.陰影部分的面積為423=163.答案:163如圖,在扇形OAB中,AOB=90°,半徑OA=6,將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在AB上點(diǎn)D處,折痕交OA于點(diǎn)C,求整個陰影部分的周長和面積.【解析】連接OD,將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊,點(diǎn)O恰好落在AB上點(diǎn)D處,OB=BD,OC=CD.又OD=OB,OBD是等邊三角形,C陰影部分=90××6180+AC+CD+BD=3+12.OBD是等邊三角形,DBC=OBC=30°.在RtOCB中,tanOBC=O

6、COB=OC6,OC=tan30°×6=23.S陰影=S扇形OAB-2SOCB=90××62360-2×6×232=9-123.6.如圖,在ABC中,AB=4cm,BC=2cm,ABC=30°,把ABC以點(diǎn)B為中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長線上的點(diǎn)C處,那么AC邊掃過的圖形(圖中陰影部分)的面積是_cm2.【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可知,AC邊掃過的圖形(圖中陰影部分)的面積=扇形BAA與扇形BCC的面積差,為150360×(42-22)=5(cm2).答案:57.(2015·

7、;密云期末)如圖,邊長為1的正方形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,點(diǎn)B在x軸上.將正方形ABCD沿x軸正方向作無滑動滾動,當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時(shí),D點(diǎn)的坐標(biāo)是_,D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長度是_;當(dāng)點(diǎn)D第2014次落在x軸上時(shí),D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長度是_.【解析】如圖,正方形ABCD每滾動4次為一個周期,當(dāng)點(diǎn)D第一次落在x軸上時(shí),正方形ABCD滾動2次,D點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0);D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長度是90×2180+90×1180=2+12.每一個周期中D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長度是90×2180+90×1180×2=22+1,當(dāng)

8、點(diǎn)D第2014次落在x軸上時(shí),D點(diǎn)經(jīng)過的路徑的總長度是:2013×22+1+2+12=1 0072+4 0272.答案:(3,0)2+121 0072+4 0272三、解答題(共22分)8.(6分)(2015·官渡期末)如圖,已知O的半徑為8cm,點(diǎn)A為半徑OB延長線上一點(diǎn),射線AC切O于點(diǎn)C,BC的長為83.求AOC的度數(shù)和線段AC的長.【解析】設(shè)AOC=n°n·8180=83,解得:n=60,AOC=60°.AC切O于點(diǎn)C,ACO=90°,A=90°-AOC=30°,AO=2OC=16,AC=AO2-OC2=1

9、62-82=83.9.(7分)(2015·南昌期末)如圖,邊長為4cm的等邊ABC與O等高(即高與直徑相等),O與BC相切于點(diǎn)C,O與AC相交于點(diǎn)E.求:(1)CE的長.(2)陰影部分的面積.【解析】(1)連接OC,并過點(diǎn)O作OFCE于F,且ABC為等邊三角形,邊長為4,故高為23,即OC=3,又ACB=60°,O與BC相切,OCBC,故有OCF=30°,在RtOFC中,可得OF=32,FC=32,即CE=3.(2)連接OE,S陰影=S扇形OCE-SOCE=120×(3)2360-12×3×32=-334.【知識拓展】與直角三角形有關(guān)

10、的計(jì)算公式(1)直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半(R=c2).(2)直角三角形內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半(r=a+b-c2).(3)直角三角形兩條直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高的乘積,即12ab=12ch.10.(9分)(2015·龍巖期末)如圖,ABC中,AB=AC,以AB為直徑的O,交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DEAC,垂足為E.(1)求證:BD=DF.(2)求證:DE為O的切線.(3)若CE=2,BAC=60°,求由DC,CF與DF所圍成圖形的面積S.【解析】(1)連接AD.AB為O的直徑,ADB=90°,即ADBC.AB=AC,C

11、AD=BAD,BD=DF,(2)連接OD.AB為O的直徑,AO=BO.ADBC,AB=AC,CD=DB.OD是ABC的中位線,ODAC,DEAC,ODDE.OD是半徑,DE為O的切線.(3)連接OF.AB=AC,OF=OA,BAC=60°,ABC,AFO都是等邊三角形.AFO=C=60°.OFCD.ODAC,四邊形DCFO是平行四邊形.OD=OF,四邊形DCFO是菱形.C=FOD=60°,OD=DC=CF.DEAC,DC=2CE=4=OD=CF,DE=CD2-CE2=23.S=S四邊形DCFO-S扇形FOD=4×23-60×42360=83-8

12、3.【備選習(xí)題】1.(2014·內(nèi)蒙古中考)如圖,菱形ABCD的對角線BD,AC分別為2,23,以點(diǎn)B為圓心的弧與AD,DC相切,則陰影部分面積為()A.23-B.43-C.23-33D.43-33【解析】選A.如圖,連接AC,BD,相交于點(diǎn)O,設(shè)以B為圓心的弧與AD相切于E點(diǎn),連接BE,則BEAD,菱形ABCD的對角線BD,AC分別為2,23,S菱形ABCD=12·AC·BD=12×23×2=23,在RtAOD中,tanDAO=ODOA=13=33,DAO=30°,ABC=120°,DAB=2DAO=60°,AB

13、D是等邊三角形,BE=OA=3,S扇形=120360··(3)2=,陰影部分的面積是S菱形ABCD-S扇形=23-.2.(2014·河北中考)如圖,將長為8cm的鐵絲AB首尾相接圍成半徑為2cm的扇形,則S扇形=_cm2.【解析】由題意可知扇形的弧長為:l=4cm,所以S扇形=12lr=12×4×2=4cm2.答案:43.(2014·荊門中考)如圖,在ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,AB的長為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C,交AD于點(diǎn)E,延長BA與A相交于點(diǎn)F.若EF的長為2,則圖中陰影部分的面積為_.【解析】連接AC,設(shè)A的半徑為R,CD切

14、A于點(diǎn)C,ACCD,即ACD=90°,在ABCD中,ABCD,BAC=ACD=90°,AB=AC,BAC是等腰直角三角形,B=45°,ADBC,FAD=B=45°,又EF的長為2,45·R180=2,解得R=2,D=B=45°,ACD也是等腰直角三角形,即AC=CD=R=2,CAD=45°,S陰影=SACD-S扇形ACE=12×2×2-45··22360=2-2.答案:2-24.(2014·撫順中考)如圖,在矩形ABCD中,E是CD邊上的點(diǎn),且BE=BA,以點(diǎn)A為圓心、AD長

15、為半徑作A交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作A的切線BF,切點(diǎn)為F.(1)請判斷直線BE與A的位置關(guān)系,并說明理由.(2)如果AB=10,BC=5,求圖中陰影部分的面積.【解析】(1)過點(diǎn)A作AGBE,垂足為G,連接AE.四邊形ABCD是矩形,ABCD,BAE=AED.又BE=BA,BAE=AEB,即BAE=AEG.AEG=AED.又AGE=ADE=90°,AE=AE,AEGAED(AAS).AG=AD.直線BE與A相切.(2)連接AF,BF與BG都是A的切線,由切線長定理得,ABFABG,BAF=BAG,于是S陰影=SABF-S扇形AMF=SABG-S扇形AMG.由(1)知,AG=AD,AG=

16、AD=BC=5.在RtABG中,AG=5,AB=10,ABG=30°,BAG=60°.BG=AB·cosABG=10×32=53.S陰影=SABG-S扇形AMG=12×53×5-60×25360=2532-256.5.(2014·昆明中考)如圖,在ABC中,ABC=90°,D是邊AC上的一點(diǎn),連接BD,使A=21,E是BC上的一點(diǎn),以BE為直徑的圓O經(jīng)過點(diǎn)D.(1)求證:AC是O的切線.(2)若A=60°,O的半徑為2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留根號和).【解析】(1)連接OD,OB=OD,則1=BDO,DOC=21=A,在RtABC中,A+C=90°,即DOC+C=90°ODC=90°,即ODDC.AC為O的切線.(2)當(dāng)A=60°時(shí),即在RtOCD中,C=30°,OD=r=2.DOC=60°,CD=23.SODC=12OD×DC=23,S扇形=60××22360=23,S陰影=SODC-S扇形=23-23.1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管