2020普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試天津卷文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2020年普通高等學(xué)校招生天津卷文史類數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共 150分，考試用時120 分鐘,第I卷1至2頁，第n卷3至10頁.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利！第I卷(選擇題 共60分)注意事項(xiàng)：1 .答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號、科目涂寫在答題卡上2 .每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號 .答在試卷上的無效.參考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A + B) =P(A)+P(B),如果事件 A、B相互獨(dú)立，那么 P(A B) =P(A) P(B).

2、柱體(棱柱、圓柱)的體積公式V柱體=Sh其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高*一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的.1 .設(shè)集合P =% , 2,3, 4,5,6, Q =4亡R2 Ex E6 那么下列結(jié)論正確的是A. P Q = PB. P Q QC. P Q = QD. P Q = Px T2 .不等式22的解集為xA. -1, 0B. -1 ,二)C.(-二，-1D.(一二，,-1 (0 , ,二)3 .對任意實(shí)數(shù)a、b、c,在下列命題中，真命題是A. " ac > bc”是“ a > b ”的必

3、要條件B. " ac = bc”是“ a = b ”的必要條件C. " ac > bc”是“ a > b ”的充分條件D. " ac = bc”是“ a = b ”的充分條件4 .若平面向量b與向量a = (1, - 2)的夾角是180口，且b = 3而，則b =A. (-3,6)B. (3, -6) C. (6,-3) D. (-6,3)22x y5.設(shè)P是雙曲線 二一<=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線萬程為 3x2y = 0, F1、F2a 9分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn) .若PF1 =3,則PF2 =A. 1 或 5B. 6C. 7D. 96.若

4、函數(shù)f (x) =loga x(0 <a <1)在區(qū)間a , 2a上的最大值是最小值的3倍，則a =A 二 八.4B 2 B.21C.41D.27.若過定點(diǎn) M ( -1, 0)且斜率為k的直線與圓2+4x + y2-5 = 0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是A. 0 :二 k5B. 一5 :二 k ：二 0C. 0 :二 k ：二.13 D. 0 :二 k ： 5AB. 一個圓，但要去掉兩個點(diǎn)D.半圓，但要去掉兩個點(diǎn)BC8.如圖，定點(diǎn)A和B都在平面口內(nèi)，定點(diǎn)P更a, PB_La, C是口內(nèi)異于A和B的 P 動點(diǎn)，且PC _L AC.那么，動點(diǎn)C在平面ot內(nèi)的軌跡是A.

5、一條線段，但要去掉兩個點(diǎn)C. 一個橢圓，但要去掉兩個點(diǎn)9.函數(shù)y =3x'(1 <x <0)的反函數(shù)是A. y = 1 log 3 x (x 0)B.y = -1log 3X (x 0)D.C. y = 1 , log 3 x (1 M x : 3)y = -1 log 3 x (1 M x : 3)10.函數(shù)y =2sin(2x) (x w 0 ,叫)為增函數(shù)的區(qū)間是6冗A. 0, 3nB.,12二 5二-C.一 ,3611.如圖，在長方體ABCD A1B1cl D1 中，AB = 6 , AD = 4 ,分別過BC、A1D1的兩個平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記

6、為 Vi =Vaea -DFD1 , V2 = VeBE1Al-FCF1D1 , V3 = VB1E1B-C1F1C *右Vi :V2 :V3 =1:4: 1 ,則截面A1EFD1的面積為AA1A. 4.10B. 8 3C. 4.13D. 16.若f (x)的最小正周期是江，且當(dāng)12 .定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)冗 x0,2時,f (x) =sin x ,一 5二、則f (一)的值為31A.21B.一2C.D.-32020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷) 數(shù)學(xué)(文史類)第n卷(非選擇題共90分)注意事項(xiàng)：1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫

7、清楚題號一三總分171819202122得分.填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分,把答案填在題中橫線上.13 .某工廠生產(chǎn) A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品.產(chǎn)品數(shù)量之比依次為 2：3： 5.現(xiàn)用分層抽 樣方法抽出一個容量為 n的樣本，樣本中 A種型號產(chǎn)品有 16件,那么此樣本的容量 n = 幅14 .已知向量a = (1,1), b= (2,3),若kA 2b與a垂直，則實(shí)數(shù)k等于.15 .如果過兩點(diǎn) A(a,0)和B(0,a)的直線與拋物線 y = x2 - 2x-3沒有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是16 .從0, 1, 2, 3, 4, 5中任取3個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，

8、其中能被5整除的三位數(shù)共有 個.(用數(shù)字作答)三.解答題：本大題共 6小題，共74分,解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)一一 ,二,1已知 tan(一 )：422 sin 2- - cos - (1)求tans的值；(2)求的值*1 cos2：18 .(本小題滿分12分)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽*(1)求所選3人都是男生的概率；(2)求所選3人中恰有1名女生的概率；(3)求所選3人中至少有1名女生的概率.19 .(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱 PD_L底面ABCD , PD =DC , E是PC的

9、中點(diǎn).(1)證明PA平面EDB ; (2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值.20 .(本小題滿分12分)設(shè) 加是一個公差為d(d#0)的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S10 =110且a1，a2, a4成 等比數(shù)列.(1)證明a1 =d ； (2)求公差d的值和數(shù)列an的通項(xiàng)公式.21 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x) = ax3+cx+d(a = 0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時f(x)取得極值一 2.(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)證明對任意x1, x21s (-1,1),不等式f (x1) - f (x2) < 4恒成立.22 .(本小題滿分14分)橢圓的中心是原點(diǎn)

10、 O,它的短軸長為2 J2 ,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c, 0) (O 0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A, OF| =2FA ,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若OP OQ=0,求直線PQ的方程.2020年普通高等學(xué)校招生天津卷文史類數(shù)學(xué)參考解答.選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分.1. D2. A3. B4. A5. C6. A7. A8. B9. D10. C11. C12. D二.填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算.每小題4分,滿分16分.13. 8014. -115.(-二16. 36.解答題17.本小題考查兩角和正切公式，倍角的正弦、

11、余弦公式等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力.滿分12分.(1)斛：tan( 4+ 0(31tan tan41 tan 二1 -tan tan ;1 一 tan 二, n由 tan(二)1 -tan ;解得tan ：(2)解法sin 2工2 .一cos .2 .2sin，cos 二cos -解法二：由cos2 :1 cos2：(1), a得 sin 二61-cos：32cos：12=- cos 二99cos： = -co s：910cos2：2=2cos - -1sin2: =2sin： cos：二cos"32 .sin2 -cos - 代人得 5 101 cos2：18.本小題考查等可能事

12、件的概率計(jì)算及分析和解決實(shí)際問題的能力，滿分12分*C31(1)解：所選3人都是男生的概率為T=C635 C1C2(2)解：所選3人中恰有1名女生的概率為C63(3)解：所選3人中至少有1名女生的概率為c2c2c2c4C；PA平面 EDB.ABCD的邊長為a.EF / PD F為DC的中點(diǎn)內(nèi)的射影，故/EBF為直線EB在RUBCF中,BF=.BC2 CF2a2+(2)21 EF = - PD2在 RtAEFB 中tan EBFEFBF2.5一 a219.本題考查直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推 理論證能力，滿分12分.方法一：(1)證明：連結(jié) AC、AC交BD

13、于O.連結(jié)EO底面ABCD是正方形.點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).在APAC中，EO是中位線 PA/ EO而EO二平面EDB且PA尖平面EDB ,所以，(2)解：作EF _L DC交CD于F,連結(jié)BF,設(shè)正方形 PD，底面 ABCD PD _L DC . .EF _LB面 ABCD , BF 為 BE 在底面 ABCD 與底面ABCD所成的角.所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)DC =a(1)證明：連結(jié) AC , AC交BD于G,連結(jié)EG.依題意得A(a , 0,0) , P(0,0 , a),a a、E(0 , 一 , 一)底面ABCD是正方形2

14、 2G是此正方形的中心，故點(diǎn) G的坐標(biāo)為(a , a , 0)2 2a a PA = (a,0, - ： ) EG -(- ,0,-)PA=2EG 這表明 PAEG而EG匚平面EDB且PA彳平面EDB PA/平面EDB(2)解：依題意得 B(a,a,0), C(0,a,0)a取DC的中點(diǎn)F(0 , - , 0) 連結(jié)EF, BF-a a, FE =(0,0,-), FB=(a，5，0), DC=(0,a,0)FE FB = 0, FEEF _1底面 ABCD與底面ABCD所成的角.DC =0 FE _L FB , FE _L DC在 RtAEFB 中,FEFB2 N 2、, 5a ()=a22

15、. . tanEBF 網(wǎng)FB25a2所以，EB與底面ABCD所成的角的正切值為5BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故NEBF為直線EB20 .本小題主要考查等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和推理論證能力，滿分12分.(1)證明：因a1, a2, a4成等比數(shù)列，故a2=aia4而Qn是等差數(shù)列，有a2=aI+d, a4=a1+3d是(a1 d)2 =a1(a1 3d)即 a： 2a1d d2 = a12 3a1d化簡得a1 =d10 9(2)解：由條件 s10 =110和 §0 =10al +d ,得到 10al +45d =1102由(

16、1), a1 =d，代入上式得55d =110故 d=2, an =a1+(n1)d =2n因此，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n, n = 1,2, 3，.21 .本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力，滿分 12分.(1)解：由奇函數(shù)的定義，應(yīng)有f(_x) = f(x), xwR即一ax3 cx+d =ax3 cx d d =0因此，f(x) =ax3 cx f (x) =3ax2 ca a + c = -2由條件f (1) = 2為f (x)的極值，必有f '(1) = 0 ,故3a + c = 0,解得 a = 1 , c = 3因此，f (x) =x3 -3x , f '(x) =3x2 3 = 3(x +1)(x 1)f ( -1) = f (1) =0當(dāng)xW(g,1)時，f '(x) A0,故f(x)在單調(diào)區(qū)間(由，1)上是增函數(shù)當(dāng)xW(1,1)時，f'