李永樂.線性代數(shù)沖刺筆記(打印版)

1、線性代數(shù)沖刺筆記【例題11 B= 03 a , A2- 2AB = E, r(AB 2BA+ 3A)=(A) 1(B) 2(C)3（ D）與a有關(guān)【解】 A(A-2B) = EA 可逆，且 A-1 = A 2BA(A-2B) = (A-2B) A (A A 1= A 1 A)AB = BA那么，AB-2BA+3A = 3A-AB = A(3E- B)又,A可逆，知r(AB- 2BA+ 3A) = r(A(3E- B) = r(3EB)a有|3EB|=0,又3E- B有二階子式不得零，從而 r(3E- B) = 2.【評注】本題考查矩陣逆的概念以及矩陣的乘法.設(shè)矩陣An階，B- n階，若AB =

2、 BA = E,則稱矩陣 A可逆，且B為A的逆矩 陣.由此有A A 1= A 1 A.例題2 Amxn, m, 2,，比是Ax = 0的基礎(chǔ)解系，a是Ax = b的一個解.證明a, a+小 «+ V2,，«+ V線性無關(guān).（II）證明Ax = b的任意一個解都可以由 % 巾，葉或，”十q線性表出.【分析】5，r2,，q是Ax= 0的基礎(chǔ)解系，那么 5，72,，外必定線性無關(guān)，從而證明a, a+q，a+也，a+4線性無關(guān)可以用定義法?！咀C】（I）（用定義，重組，同乘）設(shè) k0 a+ k1 （ a+ 力）+ k2（ a+ +十 kT（ a+ 巾）=0（1）即 （如十k1十k2十

3、十 卜丁）a+ k1小+k2 ?2+十 奸咻=0（2）由 A a= b, A9=0 （i=1,，t）,用 A 左乘（2）,有（k0+k1+k2+ kt）A a+ k1Am + k2Ar2+'"+ ktATt= 0即（k0 + k1 + k2 + kt）b = 0 又 b，0,有 ko+k + k2+ kT= 0 帶入（2）有 kl列1+k2 T12十十ktrt = 0,而m，T2,，比是Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么 巾，r（2,，4必定線性無關(guān)，從而 ki =k2 = kt=0,帶入（3）有 ko =0.所以 k0 = ki = k2= kt = 0a, a+ rl , a+ t

4、）2,， a+ 4 線性無關(guān).（或用秩）Ti,隼，睬線性無關(guān)，a是Ax=b的解 a不能由Ti, r2,，邛線性表出.xi邛+ x2咋+十xtr1t = a無解r（ ni,戈，外）1（中，狙，n, a）1（珀，必，4）=t r（邛，3，加，a） = t + 1r（ a, a+ 印，a+ T2,， a+ n）= t+ 1 a, a+ #，a+ 皿， a+ 維 線性無關(guān).（II）設(shè)0是Ax = b的任意一個解，則 0 a是Ax=0的解.從而 0 a= 11Tl1+ 12 T2+,+ 1tlit .0= a+ ll T1 + l2 巾+十 lt rt0= （1 ll - l2 -lt） a+ li ?

5、1 + l2 rp + ,"+ lt Tt即 0可由 a, a+4,a+， «+ ”表出.【評注】本題考查向量小組的線性相關(guān)的證明和線性表出的證明.考查了方程組基礎(chǔ)解系的概念：設(shè)有向量小組打，邛，毛滿足：（1） A” = 0 （i =1,，t）,即可是 Ax = 0 的解.（2） Ax = 0的任意一個解都可以由邛，邛，毛表出.例題3 Amxn, r（A）=n,如，a2,，as是n維列向量.證明：“1, CC2,，as線性無關(guān)的充分必要條件是 A%, A “2，A as線性無關(guān).【證】必要性（用定義）設(shè) k1A a1 + k2 A a2 +十 ks A as= 0 ,即 A

6、 （k1 a1 + k2 ce+ + ks as） = 0.由Am-，r（A）=nAx=0只有零解.故k1a1+k2a2+ksas=0,又 小，物 ，as線性無關(guān)k0= k = k?=ks=0.從而A a” A c（2 ,，A as線性無關(guān).充分性（用秩）物，）,所以因為 A a，1, A o2 ,，A as=A(«1,s)r(Aai, A % ,Aas) = r(A(ai,紗,%)&r( ci ,由 A % , Ag ，A 0cs線性無關(guān)知 r(A c(i, A a2,，A as) = s.al, 如 ， as線性無關(guān).而 r(ai,a，2,，as)Ws,從而r( ai,a

7、，2,，as)= s【例題4】設(shè)慶=加，a2,co,町Ax=0的通解是1, 2, 1, - 1T+ k1 , 3, 2,0T,B=叫 犯ai,葉啊，產(chǎn)“l(fā) 3源+5aa,ai能否由*出線性表出(II)%能否由ai, “2, 出線性表出(111) Bx= 丫求的通解.【 分析 】 由非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)知道對應(yīng)的齊次方程組的解的結(jié)構(gòu).并且由于系數(shù)矩陣沒有明確給出，所以要從解的結(jié)構(gòu)抽象地求解方程組 .用觀察法得到基礎(chǔ)解系，注意基礎(chǔ)解系是線性無關(guān)的 .【證】(I) Ax= 0解的結(jié)構(gòu)知r(A)=3.1由 A =0ai+ 3 0C2+ 2“3=0% 能由 o2 , «3 線性表出20(II)

8、設(shè) xi al+ X2 o(2 + X3 a3 = 04由(I)知r(ai,a2,c(3)<3,而r(ai,«2,03,a4)=4,知方程組無解，故a4不能由ai,a2,a3線性表出.i2(III)由 A =B %-2 Ct2 + 0C3- «4= p,ii那么B=0,3,a，2,ai,B+c(4= a3,«2,%,ai 2a2 +0,30,4r(B) = 4.從而 n-r(B) = 2.53因為03,% ai,ai 2 0C2+0C304=ai 30C2+ 503i0所以5, 3, i, 0 T是Bx= 丫的一個解.23由(I)知ai+3a2+2"

9、;3=。，從而孫 g , %2a2+鑿一M=0,用觀察法，取另一個向量使得它與2,3, i, 0 T線性無關(guān),i0=0,所以Bx= 丫的通解是a3,22.,“1,ai 2C2+c/q0415, 3, 1, 0 T + k2, 3, 1, 0 T +k2-1, 2, 1, - 1 T,其中 K , k2為任意常數(shù).【評注】本題考查了方程組解的結(jié)構(gòu)以及在方程組矩陣未具體給出的時候如何求解方程組的 通解.根據(jù)題目信息求出系數(shù)矩陣的秩后，會用方程組解的理論拼出解得基本形式，要會 用觀察法得到特解，和線性無關(guān)的解向量 .1 2 3【例題5A = cc1,cq ,03,m，。滿足AB=0.其中B=246

10、,求“1,«2,a3的一個極大線性無關(guān)組，并用它表出其他向量3 6k【分析】從AB= 0要得想到兩方面的信息：(I) r(A) + r(B)&n (II) B的列向量均是 Ax= 0的解.【解】由 AB = 0r(A) + r(B)<3.因為 A，0, B，0 知 1&r(A)W2, K r(A)<2 當(dāng)k ,9時，r(B) = 2,從而r(A)=1,此時極大無關(guān)組為 .由AB=0得12 23 302 14 26 30416 2k 3 0(k 9) a3= 0又 k，9,故c(3 = 0,a.3= 0CC1.當(dāng) k = 9 時，r(B)= 1,從而 r(A

11、)= 1 或 2.若r(A)= 1,則極大無關(guān)組為 內(nèi) ,1由 由 十 2 a2 + 3 “3 «4= 0若r(A)=2,則極大無關(guān)組為2 t 1,3 1 2t 13a1 , cq ( 01, a2必定線性無關(guān)，否則 r(A)= 1)12【例題6設(shè)A=0132, r(A)=2,則A* x=0的通解是n, r (A)n【分析】若 A為 n 階萬陣，則 r (A)1, r (A) n 1 ,從而由 r(A)=2 知 r(A*)=i,又 |A| =0,得 A* a= A A* = |A|E= 00,r (A) < n 1A的列向量是A* x=0解.由解的結(jié)構(gòu)知應(yīng)填 ki口，口，口 T

12、+k2口，口，口 T的形式.【解】而由r(A) = 2知r(A*)= 1,所以通解由n r(B) = 31= 2個解向量構(gòu)成.又|A|=0,得 A* A=A a* = |A|E= 0A 的列向量是 A* x=0 解.即1, 0, - 1 T, 2, 1, aT , 3, 2, 4-a T又2, 1, a T +3, 2, 4 a T= 5, 4, 3 T,顯然1, 0, - 1 T與5, 4, 3 T線性無關(guān),故 k11 , 0, - 1 T+k25, 4, 3T是 A* x = 0 的通解，其中k1，k2為任意常數(shù).【例題7】設(shè)明,如 “3是Ax=b的解，r(A) = 3,若=1 , 2,

13、3, 4 T,為+2b 2, 3, 4, 5 T,則Ax=b的通解是.【解】由r(A)=3知Ax=0的通解由n-r(B)=4-3= 1個解向量構(gòu)成.從而3(“1+ ”2) 2(“2+2"3)是 Ax=0 的解，即1, 0,1, 2 T(如+2圖)一(帽十嶗是Ax=b的解，即1, 1,1, 1 T從而,1,1, 1, 1 T+ k-1, 0,1, 2 T是Ax=b的通解，其中k為任意常數(shù).【評注】由非齊次方程組和齊次方程組解的性質(zhì)知：若a1, 02是Ax=b的解，那么cd 02是Ax= 0的解.而若o1, g分別是幾個解向量的線性組合時，相減時用最小公倍數(shù)的方式選擇系數(shù)做減法.即若 為

14、，慮分別是2個和3個解向量的線性組合(即a1=邛，呢=邯+.+邛，這里 1,邛，邛，邙，邛也是Ax= b的解)時，那么 3 a1 28也是Ax刀 刀 刀去除.因為 A(k1邛 + k2 邛 + k3 邛)=kA 4 + k2A 邛+ k2A 邛=(k+ k2+ k3) b,所以A(k1 邛 + k2 砰 + k3 T3)= bk1k2k3rr1一.即B是Ax= b的解.k1k2k3也可以用減法， 設(shè) 口，理，邛是Ax= b的解，又已知 日=匕印+卜2邛+ kr rr,&=k1邛+ k2邛+ ks-r rp-r,那么 伊一但是Ax= b的解.即由s和s r個解向量構(gòu)成的11【例題8】設(shè)A

15、=1 a3 111只有2個線性無關(guān)的特征向量.求A的特征值與特征向量【解】3階矩陣只有1| 正一A| =1311111a1=0a1=X 入一a)(卜 4) = 013132個線性無關(guān)的特征向量，則特征值必有重根若a= 0,貝U 10.X0E-A x=0,有1 01010,從而 = 1, 0, 1 T, k1a1,其中k1為任意常數(shù)0 0 0X4EA x=0,有1410114,從而電=5, 4,00011 T, k2 a2,其中k2為任意常數(shù)(2)若a= 4,則 為=方=4.X0E-A x=0,有1 01010,從而03=1 , 0, 1 T, k3 a3,其中k3為任意常數(shù)0 0 0X4E-A

16、 x=0,有311141410113110014,從而04 = 1, 4, 1 T, k4a4,其中k4為任意常數(shù)0【例題9】設(shè)A是3階矩陣，且aT0= 1 , A= a升0 T2證明0是A的特征值.(II)證明 什3 a 0是A的特征向量(III)求二次型xTAx的正負慣性指數(shù).1【證】.a片伊a=.2;B B T是秩為1的矩陣.從而 r(A)=r(a T+ 0 T)< r( a 6十 r( 0 T) = 2<3.即| A| =00是A的特征值.(II) A( a+ B)= ( aB T)( a+ B)= a T a+ B T a+ a T 0+ B T B3=a+ a+ - 3

17、= （ a+ B）222又（a+ 0），0,否則 a+ 0= 0 a= - 0aT 0= 0T a= - 1 （a, 0 是 3 維單位列向量）2從而a+0是A的屬于特征值 3的特征向量.2同樣有A（a 0）=（a 0）,且（a 0）,0,從而a 0是A的屬于特征值的特征向量.22（III）由（I）、 （II）知A的特征值是：0, 3 , 1 ,又AT= A （否則A不是二次型的矩陣）p=1, q=122【例題10設(shè)A是3階矩陣,“1 , “2，C3是3維線性無關(guān)的列向量,因是Ax= 0的解,A “2= cq +2 a2，A 03= cq - 3 a2+ 2 oq求A的特征值，特征向量（II）

18、判斷A是否和A相似【分析】由 Aa2=ai+2«2，A “3=叼 一 3 «2+ 2 “3,叼是 Ax = 0 的解，得到 A ai , o2, «3 0,ai +2 a2，cq 3 ”2+ 2 cq=3，c2,01101冽 023 .記 b= 0200200若陽，c2, 03可逆，則必有 A=a1, “2,a3Ba1, “2, ”3 1,現(xiàn)在問題是a1,«2,醐可不可逆呢題目中又給出了“3線性無關(guān)，故三階矩陣”1,如 對必可逆，所以A和B相似.所以求A的特征值和特征向量就轉(zhuǎn)為求B的特征值與特征向量.記A的特征向量為則B的特征向量為Pi1,所以知道了 p

19、-%就可以求出（而問A是否和A相似，由于已經(jīng)求出了 A的特征值，特征向量，則可以從相似對角化的充分必要條件給予推斷.也可以根據(jù)相似的傳遞性，由于上一步中已經(jīng)得到了A和B相似，故若有B和A相似，則有A是否和A相似.011【解】（I） A“1, “2, a3 = 0, ”1+ 2a2, cq 3 “2+ 2 "3 = a1 , a2, 03 023 .002因為叫,吃,cq線性無關(guān)，故叼，“2，”3可逆，從而011a1 , “2，«3 1Aa1，“2，”3 = B= 023 ,即 A 和 B相似.0 02人=0, 2, 2.）知A的特征值為0, 2, 2.由B的特征值為0, 2

20、, 2 （B為上三角矩陣，或者用定義，由| AE B| = M卜2）2= 0由已知，k1a1是A的屬于特征值0的特征向量，其中k1為不等于零的任意常數(shù).1對于B的屬于特征值2的特征向量，有 芻=1, 2,0T=a1，%"32 =叼+2a丸k2«1 + 2被是A的屬于特征值2的0特征向量，其中k2為不等于零的任意常數(shù).（II）由（I）知A只有2個線性無關(guān)的特征向量，故 A不和A相似.【評注】這是特征值與特征向量的另一種考法，由 A02=01+202,A03=0C1 302+ 203要想到相似的信息.這里缺少Aa1,如果有A a的話，就可以構(gòu)成分塊矩陣的乘法，從而可以得到相似的

21、信息，而這里題目中又給出了例是Ax=0的解，所以可以做分塊矩陣的乘法,有 A偽，02, 03 0,0C1 + 202,0C1 302+ 203= 0C1,02,03 00記B= 03 ，若m, 02,網(wǎng)可逆，則必有A= oc1,02,03 B 0C1,02 ,網(wǎng)1,現(xiàn)在問題是0C1,02 , 03可不可逆呢題目中又給出了01 ,02,03線性無關(guān)，故三【例題11設(shè)A2 + 2A=0r(A)= r.證明A和A相似.(II)求| A + 3E.【分析】由岸十2上0上0, -2.即A的特征值是，但是各有幾個是不知道的，還需要具體分析【證】(I)(用秩)r(A) = rA = %, c2,，對中有r個

22、向量線性無關(guān).由A2=-2AA a1 ,c2,，叼=一2如，“2，ona1,分 ，an是A的屬于特征值一2的特征向量- 2有r個線性無關(guān)的特征向量.由0)=知仙降，麗r是Ax=0的基礎(chǔ)解系A(chǔ) 3 = 0 (i=1, 2,nr)特征值0有nr個線性無關(guān)的特征向量.故A和A相似.A=22(II)由知| A+3E| =3.【評注】若矩陣A滿足f(A), f(A)為A的多項式，那么 A的特征值由f( 2)給出，但是各有幾個【例題12】已知A是3階矩陣，各行元素之和為 2,且AB=0,其中B =因為A各行元素之和為2,所以3,若 B=2, 3, 4T,求 An p.2是A的特征值,是對應(yīng)的特征向量，記

23、/1= 1由AB=0,有A即A的特征值是設(shè) x1 “12, 0X2a2 十1 =01 ，記 “2=10,且0有2個線性無關(guān)的特征向量.X3 C3= 3處理B，4個3維向量必相關(guān).112413II I 川 I li-i-i lit-jQj |MV MpwAM 11-ill-1 11 I m ” I卜II 7.H "I0=5a1 5a2 3c3A p= 5A a1 - 5A a2 - 3A a3 = 10 a12nAn 3= An 1A=10 An1a1=10 人 1n1%=5，2”“1=52n2n【例題13】已知求可逆矩陣【解】因為又|正一A|A= 0B=a 相似,P 1AP=B.B相

24、似，所以r(A)=r(B)a= 2.2(入1)=0入=00,1.對人=0,有0EA x= 0,«1=-2, 1, 0T, «2=-3, 0,11T對人=1 有E A x=0,«3=1, 0, 0T1令 P1=%,吃,”3,有 P 11AP1由|正一B|22(人1)=0入=0, 0, 1.對人=0,有0EA x= 0,01= 10T,也=21T對人=1,有E A x=0,出=【21, 01T令P2 =【向也，有P 12BP2由 P 11AP1= P 12BP2P2P1i i11AP1 P12=B,記 P=P112,則 P= P1 P 12=12為所求.【例題14已知

25、a= 12是二次型xTAx= ax12+ ax22+ kx32 2 x1x3 2 X2x3 矩陣 A 的特征向量用坐標變換化二次行為標準型,并寫出所用的坐標變換.【解】二次型的矩陣為k(1)-(2) 2k-2=0(1)k= 1,帶入(3)有人1 = 2,帶入(1)有a=0.ak1k(2)3k(3)11 =X卜 2)(入+ 1)=0入=0, 2, - 1.1對人=0,有0EA x= 0,«2 = 1, T, 0T對人=-1 有E A x=0,112011«3=1, 1, 1T0 00因為正定矩陣不同特征值的特征向量已正交，故只需單位化，得1詁=1 1 3.31V31-V31忑 1T21& o 16 1626X1X2X3令空刃1小y2 ，有 xTAx=yTN=2y12 y32. y3【例題15】已知n階矩陣A, B均正定.證明：AB正定的充分必要條件是 AB可交換，即AB = BA.【分析】設(shè)n階矩陣A為正定矩陣，隱含著潛臺詞：A是對稱的，所以必要性由此推得。正定矩陣是由二次型引出的，即若二次型xTAx,則二次型正定也就是 A正定，二次型負定也就是 A負定，二次型不定也就是 A不士 JE.矩陣正定的充要條件是：(I) A的特征值全大于零.(II) A的順序主子式全大于零.(III) xT，。，有 xTAx>0.從而證明矩陣正定就可以從這些方面