數(shù)學(xué)建模(馬氏鏈模型)PPT課件

1、第十二章第十二章 馬氏鏈模型馬氏鏈模型12.1 健康與疾病健康與疾病12.2 鋼琴銷售的存貯策略鋼琴銷售的存貯策略12.3 基因遺傳基因遺傳12.4 等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu)12.5 資金流通資金流通馬氏鏈模型馬氏鏈模型 系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的. 從一時(shí)期到下時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移從一時(shí)期到下時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移. 下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率. 已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）描述一類重要的描述一類重要的隨機(jī)隨機(jī)動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)(過程過程)的模型的模型.馬氏鏈馬氏鏈

2、 (Markov Chain)時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程通過有實(shí)際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)通過有實(shí)際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì).例例1. 人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對(duì)特人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對(duì)特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為為0.8, 而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為 健康與疾病健康與疾病 人的健康狀態(tài)隨著時(shí)間的推移會(huì)隨機(jī)地發(fā)生轉(zhuǎn)變?nèi)说慕】禒顟B(tài)隨著時(shí)間的推移會(huì)隨機(jī)地發(fā)生轉(zhuǎn)變. 保險(xiǎn)公司要對(duì)

3、投保人未來的健康狀態(tài)作出估計(jì)保險(xiǎn)公司要對(duì)投保人未來的健康狀態(tài)作出估計(jì), 以制以制訂保險(xiǎn)金和理賠金的數(shù)額訂保險(xiǎn)金和理賠金的數(shù)額 .若某人投保時(shí)健康若某人投保時(shí)健康, 問問10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率年后他仍處于健康狀態(tài)的概率., 1 , 0, 2 , 1,),(1njiiXjXPpnnij轉(zhuǎn)移概率Xn+1只取決于只取決于Xn和和pij, 與與Xn-1, 無關(guān)無關(guān)8 . 011p2 . 011112pp7 . 021p3 . 012122pp年疾病第年健康第狀態(tài)nnXn, 2, 1, 1 , 0, 2 , 1),()(niiXPnani狀態(tài)概率狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移具狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有有

4、無后效性無后效性 2121111)()() 1(pnapnana0.72221212)()() 1(pnapnana12 n 0a2(n) 0 a1(n) 1設(shè)投保設(shè)投保時(shí)健康時(shí)健康給定給定a(0), 預(yù)測預(yù)測 a(n), n=1,2,設(shè)投保設(shè)投保時(shí)疾病時(shí)疾病a2(n) 1 a1(n) 0 n時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值, 穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān)穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān).22212122121111)()()1()()()1(pnapnanapnapnana3 0.778 0.222 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 0.3 0.23 0.223 7/9 2

5、/9 狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移0.30.7121230.10.080.65例例2. 健康和疾病狀態(tài)同上，健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1 健康健康, Xn=2 疾病疾病333232131332322212123132121111)()()()1()()()()1()()()()1(pnapnapnanapnapnapnanapnapnapnanap11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡為第死亡為第3種狀態(tài)，記種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病健康與疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p3

6、1=0, p32=0, p33=1 n 0 1 2 3 a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 設(shè)投保時(shí)處于健康狀態(tài)，預(yù)測設(shè)投保時(shí)處于健康狀態(tài)，預(yù)測 a(n), n=1,2, 不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3 ； 一旦一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 則對(duì)于則對(duì)于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即從狀態(tài)即從狀態(tài)3不會(huì)轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)不會(huì)轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài).狀態(tài)狀態(tài)與與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移00150 0.1

7、293 0.0326 0.8381 ,),()(1021nkiiXPnani狀態(tài)概率),(1iXjXPpnnij轉(zhuǎn)移概率),(,1021nkXn狀態(tài)馬氏鏈的基本方程馬氏鏈的基本方程1)(1nakiikippkjijij, 2 , 1, 1, 01）（非負(fù)，行和為轉(zhuǎn)移概率矩陣1kkijpPPnana)()1(kipnanakjjiji,2, 1,)()1(1基本方程基本方程狀態(tài)概率向量)(,),(),()(21nanananaknPana)0()(wwPw滿足馬氏鏈的兩個(gè)重要類型馬氏鏈的兩個(gè)重要類型 1. 正則鏈正則鏈 從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移 能以正概率到達(dá)另外任一

8、狀態(tài)能以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài) (如例如例1) .0,NPN正則鏈Pnana)() 1()()(,nwnaw正則鏈3 . 07 . 02 . 08 . 0. 1 P例)9/2 , 9/7(w2211213 . 02 . 07 . 08 . 0wwwwww11kiiww滿足121ww217 . 02 . 0ww w 穩(wěn)態(tài)概率穩(wěn)態(tài)概率QRIPrr0馬氏鏈的兩個(gè)重要類型馬氏鏈的兩個(gè)重要類型 2. 吸收鏈吸收鏈 存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會(huì)離開存在吸收狀態(tài)（一旦到達(dá)就不會(huì)離開 的狀態(tài)的狀態(tài)i, pii=1）,且且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有 限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)吸收狀態(tài)限次轉(zhuǎn)移能

9、以正概率到達(dá)吸收狀態(tài) (如例如例2).有有r個(gè)吸收狀態(tài)的吸收鏈個(gè)吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式R有非有非零元素零元素01)(ssQQIMTe)1 , 1 , 1 (Meyyyyrk),(21yi 從第從第 i 個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個(gè)吸收狀態(tài)個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個(gè)吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù).12.2 鋼琴銷售的存貯策略鋼琴銷售的存貯策略 鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金. 一家商店根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，平均每周的鋼琴需求為一家商店根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，平均每周的鋼琴需求為1架架.存貯策略存貯策略：每周末檢

10、查庫存量，僅當(dāng)庫存量為零時(shí)，：每周末檢查庫存量，僅當(dāng)庫存量為零時(shí)，才訂購才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購架供下周銷售；否則，不訂購. 估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大? 以及每周的平均銷售量是多少以及每周的平均銷售量是多少?背景與問題背景與問題問題分析問題分析 顧客的到來相互獨(dú)立，需求量近似服從泊松分布，其顧客的到來相互獨(dú)立，需求量近似服從泊松分布，其參數(shù)由需求均值為每周參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計(jì)算需求概率架確定，由此計(jì)算需求概率. 存貯策略是周末庫存量為零時(shí)訂購存貯策略是周末庫存量為零時(shí)訂購3架架 周末的庫存周末的庫存量可能是量

11、可能是0, 1, 2, 3，周初的庫存量可能是，周初的庫存量可能是1, 2, 3.用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫存狀態(tài)的變化用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫存狀態(tài)的變化.動(dòng)態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會(huì)（需求超動(dòng)態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機(jī)會(huì)（需求超過庫存）的概率不同過庫存）的概率不同. 可按穩(wěn)態(tài)情況（時(shí)間充分長以后）計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)可按穩(wěn)態(tài)情況（時(shí)間充分長以后）計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量的概率和每周的平均銷售量. 模型假設(shè)模型假設(shè) 鋼琴每周需求量服從泊松分布，平均每周鋼琴每周需求量服從泊松分布，平均每周1架架.存貯策略存貯策略：當(dāng)周末庫存量為零時(shí)，訂購：當(dāng)周末庫存

12、量為零時(shí)，訂購3架，周初架，周初到貨；否則，不訂購到貨；否則，不訂購.以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性無后效性.在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量平均銷售量, 作為該存貯策略的評(píng)價(jià)指標(biāo)作為該存貯策略的評(píng)價(jià)指標(biāo).模型建立模型建立 Dn第第n周需求量，均值為周需求量，均值為1的泊松分布的泊松分布 1()e / ! (0,1,2,)nP DkkkSn第第n周初庫存量周初庫存量(狀態(tài)變量狀態(tài)變量 )狀態(tài)轉(zhuǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律移規(guī)律 nnnnnnnSDSDDSS, 3,1368. 0)0()

13、11(111nnnDPSSPp0) 12(112nnSSPp632. 0) 1() 13(113nnnDPSSPp3 , 2 , 1nSDn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0333231232221131211pppppppppP狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣 448. 0) 3() 0() 33(133nnnnDPDPSSPp 模型建立模型建立 Pnana)()1(3 , 2 , 1),()(iiSPnani狀態(tài)概率狀態(tài)概率 )452. 0 ,263. 0

14、,285. 0(),(321wwww馬氏鏈的基本方程馬氏鏈的基本方程448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0P正則鏈正則鏈 穩(wěn)態(tài)概率分布穩(wěn)態(tài)概率分布 w 滿足滿足 wP=w已知初始狀態(tài)，可預(yù)測第已知初始狀態(tài)，可預(yù)測第n周初庫存量周初庫存量Sn=i 的概率的概率0,NPN正則鏈02Pn, 狀態(tài)概率狀態(tài)概率 )452. 0 ,263. 0 ,285. 0()(na第第n周失去銷售機(jī)會(huì)的概率周失去銷售機(jī)會(huì)的概率 )(nnSDPn充分大時(shí)充分大時(shí) inwiSP )(模型求解模型求解 452. 0019. 0263. 0080. 0285. 02

15、64. 0從長期看，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性大約從長期看，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性大約 10%.1. 估計(jì)失去銷售機(jī)會(huì)的可能性估計(jì)失去銷售機(jī)會(huì)的可能性)()(31iSPiSiDPninnD 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019321) 3()2() 1(wDPwDPwDP)452. 0 ,263. 0 ,285. 0(w存貯策略的評(píng)價(jià)指標(biāo)存貯策略的評(píng)價(jià)指標(biāo)0.105模型求解模型求解 第第n周平周平均售量均售量),(311innijniSjDPjR452. 0977. 0263. 0896. 0285. 0632. 0)( )()(311iSPiSiDiPiS

16、jDPjninnnnij 從長期看，每周的平均銷售量為從長期看，每周的平均銷售量為 0.857(架架) n充分大時(shí)充分大時(shí) inwiSP )(需求不超過存量需求不超過存量,需求被售需求被售需求超過存量需求超過存量,存量被售存量被售2. 估計(jì)每周的平均銷售量估計(jì)每周的平均銷售量),(iSiDiPnn存貯策略的評(píng)價(jià)指標(biāo)存貯策略的評(píng)價(jià)指標(biāo)每周平均需求量每周平均需求量1架架0.857敏感性分析敏感性分析 當(dāng)平均需求在每周當(dāng)平均需求在每周1 (架架) 附近波附近波動(dòng)時(shí)，最終結(jié)果有多大變化。動(dòng)時(shí)，最終結(jié)果有多大變化。 設(shè)設(shè)Dn服從均值服從均值 的泊松分布的泊松分布 ()e/ !, (0,1,2,)knP

17、Dkkk22e01 eee1 (1)ee/2e1 (/2)eP 狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣 1.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第第n周周(n充分大充分大)失去銷售機(jī)會(huì)的概率失去銷售機(jī)會(huì)的概率 )(nnSDPP當(dāng)平均需求當(dāng)平均需求( =1.0)增長增長(或減少或減少)10%時(shí)，時(shí)，失去銷售機(jī)會(huì)的概率失去銷售機(jī)會(huì)的概率P將增長將增長(或減少或減少)約約15% .12.3 基因遺傳基因遺傳背景背景 生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定. 基因分基因分優(yōu)勢基因優(yōu)勢基因d 和和劣勢基因劣勢基因r 兩種兩種. 每種外部表征由兩個(gè)基因

18、決定每種外部表征由兩個(gè)基因決定, 每個(gè)基因每個(gè)基因 可以是可以是d, r 中的任一個(gè)中的任一個(gè). 形成形成3種基因類型：種基因類型： dd 優(yōu)種優(yōu)種D, dr 混種混種H, rr 劣種劣種R. 基因類型為優(yōu)種和混種基因類型為優(yōu)種和混種, 外部表征呈外部表征呈優(yōu)勢優(yōu)勢； 基因類型為劣種基因類型為劣種, 外部表征呈外部表征呈劣勢劣勢. 生物繁殖時(shí)后代隨機(jī)地（等概率地）繼承生物繁殖時(shí)后代隨機(jī)地（等概率地）繼承 父、母的各一個(gè)基因，形成它的兩個(gè)基因父、母的各一個(gè)基因，形成它的兩個(gè)基因. 父母的基因類型決定后代基因類型的概率父母的基因類型決定后代基因類型的概率.完全完全優(yōu)勢優(yōu)勢基因基因遺傳遺傳父母基因類

19、型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合父母基因類型組合后代各種后代各種基因類型基因類型 的概率的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011 / 21 / 200101 / 41 / 21 / 401 / 21 / 23種基因類型：種基因類型：dd優(yōu)種優(yōu)種D, dr混種混種H, rr劣種劣種R完全優(yōu)勢基因遺傳完全優(yōu)勢基因遺傳P(D DH)=P(dd dd,dr)=P(d dd)P(d dr)P(R HH)=P(rr dr,dr)=P(r dr)P(r dr)=1 1/2=1/2=1/2 1/2=1/4隨機(jī)繁殖隨機(jī)繁殖 設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等

20、，設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等， 基因類型的分布相同基因類型的分布相同 (記作記作D:H:R). 每一雄性個(gè)體以每一雄性個(gè)體以D:H:R的概率與一雌性個(gè)體的概率與一雌性個(gè)體 交配，其后代隨機(jī)地繼承它們的各一個(gè)基因交配，其后代隨機(jī)地繼承它們的各一個(gè)基因. 設(shè)初始一代基因類型比例設(shè)初始一代基因類型比例 D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 記記p=a+b, q=b+c, 則群體中優(yōu)勢則群體中優(yōu)勢 基因和劣勢基因比例基因和劣勢基因比例 d:r=p:q (p+q=1).假設(shè)假設(shè)建模建模狀態(tài)狀態(tài)Xn=1,2,3 第第n代的一個(gè)體屬于代的一個(gè)體屬于D, H, R狀態(tài)概率狀態(tài)概率 ai(n)

21、第第n代的一個(gè)體屬于狀態(tài)代的一個(gè)體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率的概率.討論基因類型的演變情況討論基因類型的演變情況)()(1父基因類型后代基因類型iXjXPpnnijpddXddXPpnn)1)( 1(111）（父為后代為基因比例基因比例 d:r=p:qqddXdrXPpnn)1)(2(112）（父為后代為0)1)(3(113）（父為后代為ddXrrXPpnn2/2/ 1)2)( 1(121ppdrXddXPpnn）（父為后代為2/12/12/1)2)(2(122qpdrXdrXPpnn）（父為后代為qpqpqpP02/2/ 12/0轉(zhuǎn)移概率矩陣轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨機(jī)繁殖

22、隨機(jī)繁殖),2 ,()1 ()2(),2 ,()0()1 (2222qpqpPaaqpqpPaa12,cbacbqbap馬氏鏈模型馬氏鏈模型, 1 , 0,)() 1(nPnana),2 ,()0(cbaaqpqpqpP02/2/ 12/0),2 ,()0(22qpqpwPwa任意，穩(wěn)態(tài)分布自然界中通常自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為基因類型為D和和H, 優(yōu)勢表征優(yōu)勢表征綠色，綠色，基因類型為基因類型為R, 劣勢表征劣勢表征黃色黃色.解釋解釋“豆科植物的莖，綠色豆科植物的莖，綠色:黃色黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機(jī)繁殖隨機(jī)繁殖近親

23、近親繁殖繁殖在一對(duì)父母的大量后代中在一對(duì)父母的大量后代中, 雄雌隨機(jī)配對(duì)繁殖，雄雌隨機(jī)配對(duì)繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過程。討論一系列后代的基因類型的演變過程。狀態(tài)定義為配對(duì)的基因類型組合狀態(tài)定義為配對(duì)的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6配對(duì)基因組合為配對(duì)基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率1) (111DDXDDXPpnn4/12/12/1) (131DHXDDXPpnn2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 1000010000001P馬氏鏈模型馬氏鏈模型TMey

24、654,325,326,6543/ 83/ 46/ 13/ 23/ 43/ 83/ 13/ 43/ 43/ 83/ 43/ 43/ 23/ 46/ 13/ 8)(1QIM2/ 14/ 1004/ 104/ 14/ 18/ 14/ 116/ 116/ 101000004/ 102/ 104/ 1000010000001PI0RQ狀態(tài)狀態(tài)1(DD), 2(RR)是吸收態(tài)，是吸收態(tài)，馬氏鏈?zhǔn)俏真滖R氏鏈?zhǔn)俏真湶徽摮醪徽摮跏既绾危?jīng)若干代近親繁殖，始如何，經(jīng)若干代近親繁殖，將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.計(jì)算從任一非吸收態(tài)計(jì)算從任一非吸收態(tài)出發(fā)，平均經(jīng)過幾代出發(fā)，平均經(jīng)過幾代被吸收態(tài)吸收被吸收

25、態(tài)吸收.純種純種(優(yōu)種和劣種優(yōu)種和劣種)的的某些品質(zhì)不如混種，某些品質(zhì)不如混種，近親繁殖下大約近親繁殖下大約56代就需代就需重新選種重新選種.近親繁殖近親繁殖12.4 等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu)社會(huì)系統(tǒng)中需要適當(dāng)且穩(wěn)定的等級(jí)結(jié)構(gòu)社會(huì)系統(tǒng)中需要適當(dāng)且穩(wěn)定的等級(jí)結(jié)構(gòu). 描述描述等級(jí)結(jié)構(gòu)的等級(jí)結(jié)構(gòu)的演變過程演變過程，預(yù)測未來的結(jié)構(gòu)，預(yù)測未來的結(jié)構(gòu). 確定為達(dá)到某個(gè)理想結(jié)構(gòu)應(yīng)確定為達(dá)到某個(gè)理想結(jié)構(gòu)應(yīng)采取的策略采取的策略.引起等級(jí)結(jié)構(gòu)變化的因素：引起等級(jí)結(jié)構(gòu)變化的因素： 系統(tǒng)內(nèi)部等級(jí)間的系統(tǒng)內(nèi)部等級(jí)間的轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)移：提升和降級(jí)：提升和降級(jí). 系統(tǒng)內(nèi)外的系統(tǒng)內(nèi)外的交流交流：調(diào)入和退出：調(diào)入和退出(退休、調(diào)離等退休、調(diào)離

26、等).用馬氏鏈模型描述確定性的轉(zhuǎn)移問題用馬氏鏈模型描述確定性的轉(zhuǎn)移問題 (將轉(zhuǎn)移將轉(zhuǎn)移比例視為概率比例視為概率).年總?cè)藬?shù)ttntNkii1)()()()()(tNtntaii基本模型基本模型1)(, 0)(1tatakiiia(t)等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)等級(jí) i=1,2,k（如助教、講師、教授）（如助教、講師、教授）數(shù)量分布數(shù)量分布 n(t)=(n1(t), n2(t), ,nk(t)ni(t) t 年屬于等級(jí)年屬于等級(jí)i 的人數(shù)，的人數(shù)， t =0,1, 比例分布比例分布 a(t)=(a1(t), a2(t), ,ak(t)轉(zhuǎn)移矩陣轉(zhuǎn)移矩陣 Q=pijk k, pij 是每年從是每年從i 轉(zhuǎn)

27、至轉(zhuǎn)至j 的比例的比例),(21krrrr調(diào)入比例T1( )( )( )kiiiW tw n tn t wt年退出總?cè)藬?shù)退出的比例每年從，退出比例iwwwwwik),(21基本模型基本模型kiwpwpiijkjiij,1011的人數(shù)年調(diào)入年調(diào)入總?cè)藬?shù)，ittRrttRi)()(ri 每年調(diào)入每年調(diào)入 i 的比例的比例 (在總調(diào)入人數(shù)中在總調(diào)入人數(shù)中)1,01kiiirrpij 每年從每年從i 轉(zhuǎn)至轉(zhuǎn)至j 的比例的比例)()()() 1(tWtRtNtN總?cè)藬?shù))()() 1(1tRrtnptnjkijiijj人數(shù)等級(jí)基本模型基本模型1111kjiijkiiwpr)(tnwjjrtRQtntn)(

28、)() 1(T( )( )( )( )( )R tW tM tn t wM t)() 1()(tNtNtM總?cè)藬?shù)增量T(1)( )()( )n tn tQw rM t r)(,)(,)()(tRrtWwpQtNtnij調(diào)入退出轉(zhuǎn)移總?cè)藬?shù)分布 基本模型基本模型)(),0(),(,tnntMrwQ可預(yù)測已知 rwQPTrtMPtntn)()()1(基本模型基本模型T(1)( )()( )n tn tQw rM t r1, 1,11kiikjiijijrwppQ（隨機(jī)矩陣）的行和為1P0)() 1()(tNtNtM若總?cè)藬?shù)不變T(1)( )( )()a ta t Pa tQw r等級(jí)結(jié)構(gòu)一致與馬氏鏈

29、基本方程Pnana)()1(等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu)a(t) 狀態(tài)概率狀態(tài)概率P轉(zhuǎn)移概率矩陣轉(zhuǎn)移概率矩陣T1()(,).kraa Qw raaa若存在 使，稱為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)kiiirrr11, 0應(yīng)滿足用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制TPQw rPtata)()1(1,1kjiijijwppQ問題：給定問題：給定Q, 哪些等級(jí)結(jié)構(gòu)可哪些等級(jí)結(jié)構(gòu)可以用合適的調(diào)入比例保持不變以用合適的調(diào)入比例保持不變T()aa Qw rkiir11可驗(yàn)證0raQaTaaQrawa為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)aaQa8 . 0003 . 06 . 0004 . 05 . 0Q用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)

30、定控制323212118 . 03 . 06 . 04 . 05 . 0aaaaaaaaaQa求穩(wěn)定結(jié)構(gòu)求穩(wěn)定結(jié)構(gòu) a=(a1,a2,a3) (a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)5 . 1:1:1:5 . 13212312aaaaaaa交點(diǎn)與a*B(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A例例 大學(xué)教師大學(xué)教師(助教、講師、教授助教、講師、教授)等級(jí)等級(jí) i=1,2,3，已知每年轉(zhuǎn)移比例，已知每年轉(zhuǎn)移比例)428. 0 ,286. 0 ,286. 0(*a23125 . 1 aaaa可行域可行域A穩(wěn)定域穩(wěn)定域B),(0101iikii

31、eerr記kjijiikiiimiMmmmmiM121),(行元素和的第記行的第記ikikiiiimrMerrM11用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制研究穩(wěn)定域研究穩(wěn)定域B的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)T()aawrM為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)aaQa尋求尋求a aQ 的另一種形式的另一種形式T()aa Q w rTaaQraw1)(QIMT()aawrM對(duì)行求和T11()kiiiawrkiiikiiirmra11用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制kiiisba100iibr.1, 01是穩(wěn)定結(jié)構(gòu)時(shí)且的線性組合，為系數(shù)的能表為以當(dāng)abbsbakiiiii穩(wěn)定域穩(wěn)定域B是是k維空間中以維空間中以 si 為頂點(diǎn)

32、的凸多面體為頂點(diǎn)的凸多面體研究穩(wěn)定域研究穩(wěn)定域B的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)kjjjiiirrb1iiimskiib11可驗(yàn)證kiiikiiirmra11用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制用調(diào)入比例進(jìn)行穩(wěn)定控制8 . 0003 . 06 . 0004 . 05 . 0Q例例50075. 35 . 20322)(1QIMiiijijiiiiimsmimmmmiM/,),(31321行和行的第5,25. 6, 7321)428. 0 ,286. 0 ,286. 0(1s) 1 , 0 , 0(),6 . 0 , 4 . 0 , 0(32ss1, 0,332211iibbsbsbsba(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)

33、 0.2860.286S1S2S3B穩(wěn)定域穩(wěn)定域B是以是以si為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形的權(quán)重等級(jí)iaaaaDikiiii,)(),(12)2()1()2()1(用調(diào)入比例進(jìn)行用調(diào)入比例進(jìn)行動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)問題：給定問題：給定Q和初始結(jié)構(gòu)和初始結(jié)構(gòu) a(0), 求一系列的調(diào)入求一系列的調(diào)入比例比例 r, 使盡快達(dá)到或接近理想結(jié)構(gòu)使盡快達(dá)到或接近理想結(jié)構(gòu)Ba *逐步法：對(duì)于逐步法：對(duì)于Q和和 a(0), 求求 r使使 a(1)盡量接近盡量接近 a*, 再將再將 a(1)作為新的作為新的a(0), 繼續(xù)下去繼續(xù)下去.間的距離定義兩個(gè)結(jié)構(gòu)),(),()()()()()()(22121111kkaa

34、aaaa1,0),)(0()1 (.),1 (min1*kiiiTrrrrwQaatsaaD模型模型8 . 0003 . 06 . 0004 . 05 . 0Q例例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)a(0)0.2860.286a*1,0),)(0()1 (.),1 (min1*kiiiTrrrrwQaatsaaD)8 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0() 1 ()0 , 5 . 0 , 5 . 0(ara(1)1i設(shè)權(quán)重用調(diào)入比例進(jìn)行用調(diào)入比例進(jìn)行動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)求求r 使使a(1)盡量接近盡量接近a*)428. 0 ,286. 0 ,286. 0(),1 , 0 , 0()0(

35、* aa設(shè)設(shè)7423560.6390.36100.1650.1650.6700.7470.25300.2070.2070.5860.8270.17300.2350.2350.5310.8830.11700.2530.2530.4950.9220.07800.2640.2640.4720.9490.0510r(t), a(t) 的計(jì)算結(jié)果的計(jì)算結(jié)果a(7)已接近已接近a*觀察觀察r(t)的特點(diǎn)的特點(diǎn)0.2720.2720.457用調(diào)入比例進(jìn)行用調(diào)入比例進(jìn)行動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)10.50.50r(t)a(t)t)428. 0 ,286. 0 ,286. 0(),1 , 0 , 0()

36、0(* aa設(shè)設(shè)等等 級(jí)級(jí) 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 等級(jí)結(jié)構(gòu)的演變、預(yù)測和控制在社會(huì)系統(tǒng)中有等級(jí)結(jié)構(gòu)的演變、預(yù)測和控制在社會(huì)系統(tǒng)中有 廣泛應(yīng)用廣泛應(yīng)用. 討論總?cè)藬?shù)和內(nèi)部轉(zhuǎn)移比例不變情況下討論總?cè)藬?shù)和內(nèi)部轉(zhuǎn)移比例不變情況下, 用調(diào)入用調(diào)入 比例控制級(jí)結(jié)構(gòu)的變化比例控制級(jí)結(jié)構(gòu)的變化. 建立等級(jí)結(jié)構(gòu)演變過程的基本方程建立等級(jí)結(jié)構(gòu)演變過程的基本方程, 預(yù)測未來結(jié)構(gòu)預(yù)測未來結(jié)構(gòu). 討論各種推廣情況：總?cè)藬?shù)按照一定比例增長；討論各種推廣情況：總?cè)藬?shù)按照一定比例增長； 調(diào)入比例有界；調(diào)入比例固定而用內(nèi)部轉(zhuǎn)移比例調(diào)入比例有界；調(diào)入比例固定而用內(nèi)部轉(zhuǎn)移比例 控制級(jí)結(jié)構(gòu)的變化控制級(jí)結(jié)構(gòu)的變化.12.5 資金流通資金流通背背

37、景景 各地區(qū)之間資金每年按一定比例相互流通各地區(qū)之間資金每年按一定比例相互流通. 各地區(qū)每年有資金流出并不再回來各地區(qū)每年有資金流出并不再回來. 銀行計(jì)劃每年向各地區(qū)投放或收回一定銀行計(jì)劃每年向各地區(qū)投放或收回一定 資金資金, 使各地區(qū)的資金分布趨向穩(wěn)定使各地區(qū)的資金分布趨向穩(wěn)定. 建立模型描述各地區(qū)資金分布的變化規(guī)律建立模型描述各地區(qū)資金分布的變化規(guī)律. 討論什么情況下分布趨向穩(wěn)定討論什么情況下分布趨向穩(wěn)定. 確定銀行應(yīng)投放或收回多少資金確定銀行應(yīng)投放或收回多少資金.問問題題問題分析問題分析資金流通資金流通與與“等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu)”進(jìn)行類進(jìn)行類比比等級(jí)結(jié)構(gòu)等級(jí)結(jié)構(gòu) 地區(qū)間的資金流通地區(qū)間的資金流通 等級(jí)間的成員轉(zhuǎn)移等級(jí)間的成員轉(zhuǎn)移 資金流出地區(qū)資金流出地區(qū) 成員退出系統(tǒng)成員退出系統(tǒng) 銀行向地區(qū)投放資金銀行向地區(qū)投放資金 從外部向系統(tǒng)調(diào)入成員從外部向系統(tǒng)調(diào)入成員銀行投放資金可為銀行投放資金可為負(fù)值（收回資金）負(fù)值（收回資金）調(diào)入成員數(shù)量不能為負(fù)值調(diào)入成員數(shù)量不能