五下第三單元因數(shù)與倍數(shù)講解與培優(yōu)

1、第三單元 因數(shù)與倍數(shù)一、因數(shù)與倍數(shù)如果整數(shù)a(a0)和整數(shù)b(b0)相乘得到的整數(shù)c，那么a,b是c的因數(shù)（因數(shù)又叫約數(shù)）；c是a,b的倍數(shù)。例1:2×9=18可以說：2是18的因數(shù)，18是2的倍數(shù)；9是18的因數(shù)，18是9的倍數(shù)。注：1、因數(shù)與倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的相互關(guān)系，是相互依存的，不能單獨(dú)說某個(gè)數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)。所以不能單獨(dú)說2是因數(shù)，18是倍數(shù)。 2、研究因數(shù)與倍數(shù)時(shí)，所說的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)。練習(xí)：（1）說出下面哪個(gè)數(shù)是因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是倍數(shù)。 3×7=21 4×8=32 13×9=117（2）7×8=56，（ ）和（ ）是（ ）的因數(shù)

2、； （ ）是（ ）和（ ）的倍數(shù)。 判斷：7和8是因數(shù)，56是倍數(shù)。（ ）（3）判斷：a×b=c,整數(shù)a、b、c0，那么a,b是因數(shù)；c是倍數(shù)。（ ）二、找一個(gè)數(shù)的因數(shù)方法：列乘法算式使積就是這個(gè)數(shù)，兩個(gè)乘數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)，為了做到不重復(fù)、不遺漏，可以從1開始列起。成對記錄比較簡便。例題：30的因數(shù)有：1,30,2,15,3,10,5,6.注：一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)是1；最大的因數(shù)是它本身；一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。練習(xí)：（1）找出下列各數(shù)的因數(shù)：72 42 25 63（2）32的因數(shù)有：（ ），最小的因數(shù)是（ ），最大的因數(shù)是（ ）。三、找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)方法：用這個(gè)數(shù)分別去乘1,2,3所

3、得的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。例題：4的倍數(shù)有：4,8,12,16,20,24（若無限制條件，一定要加省略號）注：一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它本身；沒有最大的倍數(shù)；一個(gè)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。一個(gè)數(shù)的本身既是它的最大的因數(shù)，又是它的最小的倍數(shù)。練習(xí)：（1）找出下列個(gè)數(shù)的倍數(shù)：7 11 5 6（2）2的倍數(shù)中，最小的一位數(shù)是（ ）；最小的兩位數(shù)是（ ）。 寫出既是8的倍數(shù)，又是72的因數(shù)： （3）一個(gè)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ），最小的倍數(shù)是（ ）。（4）一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)是（ ），最大的因數(shù)是（ ）。（5）一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)都是9，這個(gè)數(shù)是（ ）。（6）一個(gè)數(shù)最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)和是16，這個(gè)數(shù)是多少？寫出這個(gè)數(shù)的倍

4、數(shù)。（7）媽媽買回30個(gè)蘋果，他把蘋果放入藍(lán)子中讓小明拿，約定既不許一次那完，也不許一個(gè)一個(gè)地拿，且每次拿的個(gè)數(shù)相同，拿到最后正好一個(gè)不剩。小明共有幾種拿法？每種拿法每次各拿幾個(gè)？小明將40顆棋子裝入盒中，然后從中拿棋子，不許一次那完，且每次拿的個(gè)數(shù)相同，拿到最后正好一個(gè)不剩。有幾種拿法？每次各拿幾個(gè)？（8）判斷：一個(gè)數(shù)的因數(shù)一定比它的倍數(shù)小。（ ） A×B=C(A,B,C均為自然數(shù)），則A是C的因數(shù)，C是B的倍數(shù)。（ ） 任何數(shù)最小的因數(shù)都是1.（ ） 一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)都有無限個(gè)。（ ）培優(yōu)：爸爸今年40歲，小明和爺爺?shù)哪挲g分別是爸爸年齡的因數(shù)和倍數(shù)，并且爺爺?shù)哪挲g是小明年齡的1

5、0倍，小明和爺爺今年各多少歲？四、5和2的倍數(shù)的特征1、5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是5或0。2、2的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是2、4、6、8或0.既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0.3、自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。也可以說個(gè)位是2/4/6/8/0的數(shù)是偶數(shù)，個(gè)位是1/3/5/7/9的數(shù)是奇數(shù)。4、偶數(shù)與奇數(shù)的個(gè)數(shù)都是無限的，沒有最大的偶數(shù)或奇數(shù)。 最小的偶數(shù)是0，最小的奇數(shù)是1。練習(xí)：（1）23中，里填（ ）既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)。 （2）1/3/25/39/48/50/329/1320中奇數(shù)有（ ），偶數(shù)有（ ），2的倍數(shù)有（ ），5的倍數(shù)有（ ），既是2的

6、倍數(shù)又是5的倍數(shù)有（ ）。 （3）30以內(nèi)5的倍數(shù)有（ ）。 （4）五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是75，這5個(gè)數(shù)分別是（ ）； 三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是72，這三個(gè)偶數(shù)分別是（ ）。五、3的倍數(shù)的特征1、3的倍數(shù)，它各位上數(shù)的和一定是3的倍數(shù)。如果一個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)，那么，它各位上數(shù)的和也不是3的倍數(shù)。練習(xí)：（1）1，4,9,18,36,45,89,100中，偶數(shù)是（ ）；奇數(shù)是（ ）；2的倍數(shù)是（ ）；5的倍數(shù)是（ ）；3的倍數(shù)是（ ）；既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)是（ ）；既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)是（ ）；既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)是（ ）。（2）3的倍數(shù)中，最大的一位數(shù)是（ ），最小的兩位數(shù)是（ ）；1000以

7、內(nèi)最大的3的倍數(shù)是（ ）；35加上（ ）或減去（ ）是3的倍數(shù)。（3）一個(gè)三位數(shù)同時(shí)是2,3,和5的倍數(shù)，這個(gè)三位數(shù)最小是（ ），最大是（ ）；能被2、3、5除都余1的最小自然數(shù)是（ ）；在1100中，同時(shí)是2,3,5的倍數(shù)有（ ）。（4）按要求在里填上合適的數(shù)字。既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)：5，13，24既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)：35，74，70，7既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)：18，15,20，4既是2和5的倍數(shù)又是3的倍數(shù)：4，20，4（5）用0,4,3,2四個(gè)數(shù)，按要求組成一個(gè)兩位數(shù)。組成的數(shù)是2的倍數(shù)：組成的數(shù)既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)：組成的數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)：（6）桌子上放著

8、7個(gè)茶杯，全部底朝上。每次翻轉(zhuǎn)2個(gè)，經(jīng)過多少次杯口全部朝上？（7）有36個(gè)蘋果，把它放在13個(gè)盤子里，每個(gè)盤子里只能放奇數(shù)個(gè)，這件事你能辦到嗎？（8）判斷：自然數(shù)中，不是奇數(shù)就是偶數(shù)。（ ）個(gè)位上是0/3/6/9的數(shù)一定是3的倍數(shù)。（ ）所有的自然數(shù)都是整數(shù)。（ ）解析：錯(cuò)。整數(shù)包含正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0；而自然數(shù)只有0和正整數(shù)。用2,1,3組成的三位數(shù)一定是3的倍數(shù)。（ ）偶數(shù)是2的倍數(shù)，奇數(shù)是3的倍數(shù)。（ ）培優(yōu)：1、在重填上合適的數(shù)，使它是9的倍數(shù)。（1）67 （2）43 （3）582、一盒羽毛球，5個(gè)5個(gè)的取，最后剩下1個(gè)；3個(gè)3個(gè)的取，最后剩下1個(gè)；2個(gè)2個(gè)地取，最后還是剩下1個(gè)。這盒羽

9、毛球最少有多少個(gè)？六、質(zhì)數(shù)與合數(shù)1、一個(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。（只有2個(gè)因數(shù)）2、一個(gè)數(shù)除了1和它本身還有別的因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作合數(shù)。（有2個(gè)以上的因數(shù)）3、1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。（1的因數(shù)只有一個(gè)）注意：質(zhì)數(shù)與合數(shù)的個(gè)數(shù)都是無限的，沒有最大的質(zhì)數(shù)或合數(shù)。 最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。 2是唯一一個(gè)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)。 自然數(shù)（0除外）可以分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1.練習(xí)：（1）判斷：2既不是素?cái)?shù)，又不是合數(shù)。（ ） 9是奇數(shù)也是素?cái)?shù)。（ ） 一個(gè)自然數(shù)（0除外），如果不是素?cái)?shù)就是合數(shù)。（ ）（2）最小的自然數(shù)是（ ），最小的素?cái)?shù)是（ ），最小的合數(shù)是（ ）

10、，最小的奇數(shù)是（ ）。10以內(nèi)的素?cái)?shù)有（ ），合數(shù)有（ ）。20以內(nèi)既是合數(shù)又是奇數(shù)的數(shù)有（ ）。50以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)與最小的合數(shù)乘積是（ ）。有兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和是8，兩個(gè)數(shù)的積是15，這兩個(gè)數(shù)是（ ）和（ ）。既不是質(zhì)數(shù)，又不是偶數(shù)的最小自然數(shù)是（ ）；既是質(zhì)數(shù)，又是偶數(shù)的最小自然數(shù)是（ ）；既是奇數(shù)，又是質(zhì)數(shù)的最小自然數(shù)是（ ）；既是偶數(shù)，又是合數(shù)的最小自然數(shù)是（ ）。既是奇數(shù)又是合數(shù)的最小自然數(shù)是（ ）。一個(gè)四位數(shù)，千位上既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，百位上是最小的合數(shù)，十位上是最小的質(zhì)數(shù)，個(gè)位上既是奇數(shù)又是合數(shù)，這個(gè)數(shù)是（ ）。一個(gè)合數(shù)至少有（ ）個(gè)因數(shù)。一個(gè)三位數(shù)既有因數(shù)2，又是5

11、的倍數(shù)，百位上是最小的質(zhì)數(shù)，十位上是最大的一位奇數(shù)，這個(gè)數(shù)是（ ）。（3）在括號里填上合適的素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）。8=（ ）+（ ） 9=（ ）+（ ） 12=（ ）+（ ）15=（ ）+（ ） 18=（ ）+（ ） 24=（ ）+（ ）七、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)1、如果一個(gè)數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，這個(gè)因數(shù)就是它的質(zhì)因數(shù)。· 1沒有質(zhì)因子。· 5只有1個(gè)質(zhì)因子，5本身。（5是質(zhì)數(shù)。）· 6的質(zhì)因子是2和3。(6 = 2 × 3)· 2、4、8、16等只有1個(gè)質(zhì)因子：2（2是質(zhì)數(shù)，4 = 2，8 = 2，如此類推。）· 10有2個(gè)質(zhì)因子：2和5。(10 =

12、 2 × 5)2、把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫作分解質(zhì)因數(shù)。方法：短除法或塔形分解法。練習(xí)：（1）先找出下面的合數(shù)，再把它們分解質(zhì)因數(shù)。11 20 36 49 53 72（2）下面的式子，（ ）是分解質(zhì)因數(shù)。A、54=2×3×9 B、42=2×3×7 C、15=3×5×1 D、20=4×5（3）兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是22，積是85，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)是（ ）和（ ）。（4）一個(gè)三位數(shù)，它的個(gè)位上是最小的質(zhì)數(shù)，十位上是最小的合數(shù)，百位上是最小的奇數(shù)，這個(gè)三位數(shù)是（ ），它同時(shí)是質(zhì)數(shù)（ ）和（ ）的倍數(shù)。八、公因數(shù)與最大公因

13、數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。方法：找出小數(shù)的因數(shù)，在小數(shù)的因數(shù)中篩選大數(shù)的因數(shù)。例1：找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。6和15 8和16 1和20 30和6 8和9 9和25. 注意：1、公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。2、幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)中最大的一個(gè)，叫作這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。最大公因數(shù)只有1個(gè)。3、不同的兩個(gè)數(shù)至少有1個(gè)公因數(shù)1。4、用短除法可以找出最大公因數(shù)，共有的質(zhì)因數(shù)的積就是最大公因數(shù)。練習(xí)：（1）25和40的因數(shù)，公因數(shù)分別填在下面的圈里。 25的因數(shù) 40的因數(shù) （2）在每個(gè)分?jǐn)?shù)后面的括號中寫上 分子、分母的最大公因數(shù)。 （ ） （ ） 25和40的公因數(shù) （ ） （ ）例2、找出每

14、組數(shù)的最大公因數(shù)。A：5和15 8和16 10和20 3和9發(fā)現(xiàn)：倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是小數(shù)。反之，最大公因數(shù)是小數(shù)，這兩個(gè)數(shù)就是倍數(shù)關(guān)系。B、9和7 1和7 11和12 3和11發(fā)現(xiàn)：互質(zhì)關(guān)系，最大公因數(shù)是1.反之，最大公因數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)就互質(zhì)。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)或最大公因數(shù)是1時(shí)，我們就說這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。練習(xí)：（1）寫出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。12和24（ ）；18和19（ ）；5和17（ ）；14和42（ ）；8和9（ ）；11和4（ ）；12和6（ ）；6和8（ ）；13和39（ ）；35和7（ ）。（2）一個(gè)數(shù)既是12的因數(shù)又是18的因數(shù)，這個(gè)數(shù)最大是（ ）。 4A=B(A、B0)，A

15、和B的最大公因數(shù)是（ ）。 如果a=2×3×5，b=2×3×7，那么a和b的最大公因數(shù)是（ ）。（3）判斷：兩個(gè)合數(shù)的最大公因數(shù)不可能是1.（ ） 兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)一定比這兩個(gè)數(shù)小。（ ） 3和4沒有公因數(shù)。（ ） A是B的倍數(shù)，那么A、B的最大公因數(shù)是A。（ ） 兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)的因數(shù)。（ ）例3、(1)王先生準(zhǔn)備將家里的貯藏室鋪上地板。貯藏室長16分米，寬12分米，如果都使用整塊的地磚，可以選擇邊長是幾分米的地磚？邊長最大是幾分米？ 在一張長40厘米，寬32厘米的長方形鐵皮上剪同樣大小且面積最大的正方形，不能有剩余，剪出的正方形邊長是多少厘

16、米？ 在一間長6米、寬4米的教室里鋪同樣大小的正方形地板，已知市場上有邊長6分米和5分米的正方形地磚，選哪種型號比較合適？為什么？（2）兩根彩帶，一根長15厘米，另一根長20厘米，把它們剪成同樣長的小段，沒有剩余，每小段最長多少厘米？ 兩根鐵絲，一根16厘米，一根28厘米，把它們剪成同樣長的小段，沒有剩余，每小段最長多少厘米？（3）趙阿姨買回一條50分米長的紅彩帶和一條43分米長的綠彩帶，分別把它們裁成同樣長的小段，結(jié)果紅彩帶剩余2分米，綠彩帶剩余3分米。所裁成的小段最長是多少分米？分別能裁成多少段這樣長度相等的小段？（4）五（2）班男生30人，女生25人，把它們分成若干小組，如果每組中男生人

17、數(shù)相同，女生人數(shù)也相同，最多可以分成幾個(gè)小組？每組中的男生和女生各多少人？（5）有36支鉛筆和40本練習(xí)本平均獎(jiǎng)給幾個(gè)三好學(xué)生，結(jié)果鉛筆多1支，練習(xí)本多2本，得獎(jiǎng)的三好學(xué)生至少有多少人？（6）按要求寫出兩個(gè)數(shù)，使最大公因數(shù)是1兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)：（ ）和（ ）兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)：（ ）和（ ）一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)：（ ）和（ ）九、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。方法：先寫出較大的數(shù)的倍數(shù)，再從中找出哪些也是較小數(shù)的倍數(shù)。例1、3和4的公倍數(shù)有哪些？其中最小的是幾？注意：1、公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，所以在沒有限制的條件下在后面要加省略號。2、幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)中最小的一個(gè)叫做這個(gè)數(shù)的最

18、小公倍數(shù)。最小公倍數(shù)只有1個(gè)。3、找最小公倍數(shù)可以用短除法，所有質(zhì)因數(shù)的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。練習(xí)：找出下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)。10和4 6和8 5和10 4和9 12和10 16和44、兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)的積。例2、找出下列每組數(shù)的最小公倍數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（1）5和6 11和8 3和4 7和4發(fā)現(xiàn)：互質(zhì)關(guān)系，最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的積。反之，最小公倍數(shù)是積，這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。（2）3和6 7和21 4和8 1和10發(fā)現(xiàn)：倍數(shù)關(guān)系，最小公倍數(shù)是大數(shù)。反之最小公倍數(shù)是大數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系。練習(xí)：（1）找出下列每組數(shù)的最小公倍數(shù)（注意利用互質(zhì)和倍數(shù)關(guān)系快速計(jì)算，或用短除法）3和7 13和39 5和22 4和12 2和16 12和48 9和47和14 14和56 77和44 24和36 （2）判斷：兩個(gè)不同合數(shù)的最小公倍數(shù)一定不是這兩個(gè)數(shù)的乘積。（ ） 兩個(gè)不同素?cái)?shù)的最小公倍數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)的乘積。（ ） 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)一定比這兩個(gè)數(shù)都大。（ ） 兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。（ ） 如果A÷B=7，那么A，B的最