過(guò)關(guān)導(dǎo)數(shù)解幾

1、1.（本題滿分14分）已知函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在處的切線方程;(2)若存在，使得，求的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解: ,由得 ,. -2分(1) 當(dāng)時(shí), ,，,所以函數(shù)的圖像在處的切線方程為,即-4分(2) 存在,使得, ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以的最大值為. -9分f(x) 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 (3) 當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：-11分的極大值，的極小值又，.所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)共有三個(gè)零點(diǎn)。-14分注：證明的極小值也可這樣進(jìn)行:設(shè)，則當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,從

2、而的極小值.證明函數(shù)共有三個(gè)零點(diǎn)。也可這樣進(jìn)行:的極大值，的極小值,當(dāng)無(wú)限減小時(shí)，無(wú)限趨于 當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限趨于故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)共有三個(gè)零點(diǎn)。2、（本小題滿分14分）已知函數(shù)在處取得極值.求的解析式；設(shè)是曲線上除原點(diǎn)外的任意一點(diǎn),過(guò)的中點(diǎn)且垂直于軸的直線交曲線于點(diǎn),試問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn),使得曲線在點(diǎn)處的切線與平行？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由；設(shè)函數(shù),若對(duì)于任意,總存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：,.又在處取得極值.,即,解得,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,. （4分）由知.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn),且,則,又.則由,得,得.故存在滿足條件的點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或. （8分）

3、解法： ,令,得或.當(dāng)變化時(shí),、的變化情況如下表：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減在處取得極小值,在處取得極大值.又時(shí),的最小值為. 對(duì)于任意的,總存在,使得,當(dāng)時(shí),最小值不大于.又.當(dāng) 時(shí),的最小值為,由,得； 當(dāng)時(shí),最小值為,由,得；當(dāng)時(shí),的最小值為.由,即,解得或.又,此時(shí)不存在. 綜上,的取值范圍是. (14分) 解法：同解法得的最小值為. 對(duì)于任意的,總存在,使得,當(dāng)時(shí),有解,即在上有解.設(shè),則得, 或,得或. 或時(shí),在上有解,故的取值范圍是. 解法：同解法得的最小值為. 對(duì)于任意的,總存在,使得,當(dāng)時(shí),有解,即在上有解.令,則,.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),得,不成立,不存在；當(dāng)時(shí),.令,時(shí)

4、,在上為減函數(shù),. 綜上,的取值范圍是.3、（本小題滿分14分）已知函數(shù)是函數(shù)的極值點(diǎn). （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)滿足的條件；（3）直線是函數(shù)與函數(shù) 的圖象在處的公切線，若，求的取值范圍.（本小題滿分14分）解：（1）,1分由已知得，解得a=1 2分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 3分當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為 4分（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，. 6分要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，m=0或； 7分當(dāng)b=0時(shí)，； 8分當(dāng). 9分（3） 時(shí)，兩式相除得，整理得 12分令則 在遞減僅在取等號(hào)， 在遞減 14分4、（本小題14分

5、）已知函數(shù)在上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù).（I）求、的表達(dá)式；（II）求證:當(dāng)時(shí),方程有唯一解；(III）當(dāng)時(shí),若當(dāng)時(shí)恒成立,求的取值范圍.解: （I）依題意,即,.上式恒成立, 1分又,依題意,即,.上式恒成立, 2分由得. 3分 4分（II）由(1)可知,方程,設(shè),令,并由得解知 5分令由 6分列表分析:(0,1)1(1,+¥)-0+遞減0遞增知在處有一個(gè)最小值0, 7分當(dāng)時(shí),0,在(0,+¥)上只有一個(gè)解.即當(dāng)x0時(shí),方程有唯一解.8分（III）設(shè), 9分在為減函數(shù) 又 11分所以：為所求范圍. 121、（本小題滿分14分）已知圓:交軸于、兩點(diǎn),曲線是以為長(zhǎng)軸,

6、離心率為的橢圓,其左焦點(diǎn)為,若是圓上一點(diǎn),連結(jié),過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn).()求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；()若點(diǎn)的坐標(biāo)為求證:直線與圓相切；()試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請(qǐng)證明；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:()因?yàn)?所以c=1,則b=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 5分()P(1,1),直線OQ的方程為y=-2x, 點(diǎn)Q(-2,4)7分,又,即OPPQ,故直線PQ與圓O相切 10分()當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線PQ與圓O保持相切 11分證明:設(shè)(),則,所以,所以直線OQ的方程為所以點(diǎn)Q(-2,) 12分所以,又 13分所以,即OPPQ,

7、故直線PQ始終與圓O相切. 14分2、（本小題滿分14分）已知圓直線（）求圓的圓心坐標(biāo)和圓的半徑；（）求證:直線過(guò)定點(diǎn)；（）判斷直線被圓截得的弦何時(shí)最長(zhǎng),何時(shí)最短?并求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值,以及最短長(zhǎng)度.（I）圓：可變?yōu)椋?分由此可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3分（）由直線可得4分對(duì)于任意實(shí)數(shù)，要使上式成立，必須5分解得：6分所以直線過(guò)定點(diǎn)7分()當(dāng)圓心在直線上，圓截得的弦為直徑，此時(shí)弦最長(zhǎng)；8分當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線與垂直時(shí)，直線被圓截得的弦為最短。9分由條件得：10分解得11分連結(jié)，在直角三角形中，12分13分14分3（本小題滿分14分）已知圓：及定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足2，&

8、#183; （1）若，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若動(dòng)圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點(diǎn)，是否存在一組正實(shí)數(shù)，使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實(shí)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由解：（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，或點(diǎn)與點(diǎn)重合 2分又點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，的軌跡方程是 6分解：（2）不存在這樣一組正實(shí)數(shù)，下面證明： 7分由題意，若存在這樣的一組正實(shí)數(shù)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)之為，故直線的方程為： ，設(shè)，中點(diǎn)，則，兩式相減得：9分注意到，且 ， 則 ， 又點(diǎn)在直線上，代入式得：因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)在所給橢圓內(nèi)，故，這與矛盾，所以所求這組正實(shí)數(shù)不存在 13分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則此時(shí)，代入式得，這與

9、是不同兩點(diǎn)矛盾綜上，所求的這組正實(shí)數(shù)不存在 14分yP xBAC04（本小題14分）如圖，已知點(diǎn)P(3，0)，點(diǎn)A、B分別在x軸負(fù)半軸和y軸上，且0，當(dāng)點(diǎn)B在y軸上移動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)C的軌跡為E(1)求曲線E的方程；(2)已知向量(1，0)，(0，1)，過(guò)點(diǎn)Q(1，0)且斜率為的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)M、N，若D(1，0)，且0，求k的取值范圍20. 解: (1)設(shè)A(a，0)(a0，B(0，b)，C(x，y)則(xa，y)，(a，b)，(3，b)，0， 消去a、b得：y24x , a0，x3a0. 故曲線E的方程為y24x (2)設(shè)R(x，y)為直線l上一點(diǎn)，由條件知)即(x1，y)(1，k)，消去得l的方程為：yk(x1) 由Þk2x22(k22)xk20 (*)直線l交曲線E與不同的兩點(diǎn)M、N0 Þ 1k1 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則(x11，y1)，(x21，y2)M、N在直線yk(x1