第二節(jié)序列相關(guān)性(serialcorrelation)

1、第二節(jié) 序列相關(guān)性(serial correlation)v如果隨機(jī)干擾項(xiàng)不滿(mǎn)足序列不相關(guān)性，稱(chēng)為存在序列相關(guān)性。（一）序列相關(guān)性v對(duì)于模型Yi 0 1 X1i 2 X2i k Xki i，i 1, , n 在其他假設(shè)條件仍成立的情況下，如果出現(xiàn)Covi , j Ei j 0， i j， 或21211Var =Cov , ninEEsm mm ms驏=桫 LMLML22=ssI則稱(chēng)隨機(jī)干擾項(xiàng)序列相關(guān)。2112nnv其中1111nnrr驏= 桫LMLML如果Ei i1 0， i 1,n 1， 則稱(chēng)一階序列相關(guān)或自相關(guān)(autocorrelation)，自相關(guān)可以寫(xiě)成i i1 i, 1 1 其中稱(chēng)

2、為自相關(guān)系數(shù)， i 滿(mǎn)足Ei 0，Vari 2，Cov(i, is) 0 (s 0) 由于序列相關(guān)性經(jīng)常出現(xiàn)在以時(shí)間序列為樣本的模型中，因此，本節(jié)將用下標(biāo)t代表i。 （二）實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的序列相關(guān)性v1. 經(jīng)濟(jì)變量固有的慣性 多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列具有慣性的特點(diǎn)，表現(xiàn)在時(shí)間序列數(shù)據(jù)不同時(shí)間的和前后關(guān)聯(lián)上。例如，以絕對(duì)收入假設(shè)為理論，以時(shí)間序列為樣本建立居民總消費(fèi)函數(shù)模型：Ct 0 1 Yt t，t 1, , n 由于消費(fèi)習(xí)慣等因素的慣性，隨機(jī)干擾項(xiàng)出現(xiàn)相關(guān)，從而產(chǎn)生序列相關(guān)性。在這個(gè)例子中，隨機(jī)干擾項(xiàng)之間還表現(xiàn)為正相關(guān)。v2.模型設(shè)定偏差 模型設(shè)定偏差是指所設(shè)定的項(xiàng)目不“正確”，主要表現(xiàn)為模型中沒(méi)有

3、包括重要的解釋變量，或模型函數(shù)形式有偏差。例如，本來(lái)應(yīng)該估計(jì)的模型為：Yt 0 1 X1t 2 X2t 3 X3t t， 但在模型設(shè)定中作了下面回歸：Yt 0 1 X1t 2 X2t t， 其中 t 3 X3t t。于是在X3確實(shí)影響Y的情況下，這種模型設(shè)定的偏差導(dǎo)致序列相關(guān)性。v3.數(shù)據(jù)的“生成” 在實(shí)際經(jīng)濟(jì)模型中，有些數(shù)據(jù)可能由以知的數(shù)據(jù)生成。因此，新生成的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)就有聯(lián)系，從而表現(xiàn)出序列相關(guān)性。 例如：季度數(shù)據(jù)季度數(shù)據(jù)來(lái)自月度數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單平均，這種平均的計(jì)算減弱了每月數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，從而使隨機(jī)干擾項(xiàng)出現(xiàn)序列相關(guān)。 還有就是兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間的“內(nèi)插內(nèi)插”技術(shù)往往導(dǎo)致隨機(jī)項(xiàng)的序列相關(guān)性。（三）

4、序列相關(guān)的后果v參數(shù)估計(jì)量非有效參數(shù)估計(jì)量非有效 當(dāng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型出現(xiàn)序列相關(guān)時(shí)，普通最小二乘法參數(shù)估計(jì)量仍然具有線(xiàn)性性、無(wú)偏性，但不具有有效性。v變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義 在變量的顯著性檢驗(yàn)時(shí)，要構(gòu)造t 統(tǒng)計(jì)量。這是建立在具有相同的方差 2 ，而用無(wú)偏估計(jì) 的基礎(chǔ)上的，如果不相關(guān)性不滿(mǎn)足， 2的估計(jì)就有偏差， t 檢驗(yàn)無(wú) 意義。v模型的預(yù)測(cè)失效模型的預(yù)測(cè)失效2s)（四）序列相關(guān)性的檢驗(yàn)v序列相關(guān)性檢驗(yàn)的基本思想是：首先采用普通最小二乘法估計(jì)模型，得到隨機(jī)干擾項(xiàng)的“近似估計(jì)量” ，OLS( )ttteYY=-)%然后分析這些“近似估計(jì)量”之間的相關(guān)性以達(dá)到判斷隨機(jī)干擾項(xiàng)

5、是否具有序列相關(guān)性。te %1.圖示法v由于殘差 可以作為t的估計(jì)，因此，如果t存在序列相關(guān)，必然會(huì)在 上反映出來(lái)，因此可以利用 的變化圖形來(lái)判斷隨機(jī)干擾項(xiàng)是否存在序列相關(guān)性。te %te %(a) 正序列相關(guān)性(正自相關(guān))te %te %te %te %1.圖示法(b) 負(fù)序列相關(guān)性(負(fù)自相關(guān))2. 回歸檢驗(yàn)法v以 為被解釋變量，以各種可能相關(guān)的量，如 等為解釋變量，建立各種方程：te %12,.,tttpeee-%1,2,.,ttteetnre-=+=%1122,3,.,tttteeetnrre-=+=%L L L L對(duì)方程的估計(jì)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說(shuō)

6、明描寫(xiě)存在序列相關(guān)性。3.杜賓-瓦森(Durbin-Watson)檢驗(yàn)vD-W檢驗(yàn)的基本假設(shè)是：（1）解釋變量的非隨機(jī)的；（2）隨機(jī)干擾項(xiàng)為一階自回歸形式：t t 1 t。（3）回歸模型不含滯后應(yīng)變量作為解釋變量，即不應(yīng)出現(xiàn)下面形式： Yt 0 1 X1t 2 X2t k Xkt Yt1 i，（4）回歸模型包含截距項(xiàng)。vD-W檢驗(yàn)的原假設(shè)是：H0： 0，即不存在一階自相關(guān)。檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：21221()D.W.ntttntteee-=-=%在檢驗(yàn)時(shí)，計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量，再根據(jù)樣本容量n 和解釋變量的個(gè)數(shù)k 查D.W.分布表，得到臨界值d1和du，然后根據(jù)下面準(zhǔn)則判斷模型的自相關(guān)的狀態(tài)： 若0 D.W

7、. d1，則存在正相關(guān)； 若d1 D.W. du，則不能確定； 若du D.W. 4 du，則無(wú)自相關(guān)； 若4 du D.W. 4 d1，則不能確定； 若4 d1 D.W. 4 ，則存在負(fù)相關(guān)。vD.W.值在2的附近，模型不存在一階自相關(guān)。證明如下：展開(kāi)D.W.統(tǒng)計(jì)量得到21221()D.W.Ttttntteee-=-=%2211222212TTTtttttttTtteeeee-=+-=邋%當(dāng)n較大時(shí)，2221221TTTtttttteee-=換邋%v所以1221D.W.2 12(1)TtttTtteeer-=驏=- 桫%其中11222212TTttttttTTtttteeeeeer-=邋邋%

8、為一階自相關(guān)模型1ttteere-=+%的參數(shù)估計(jì)4.拉格朗日乘數(shù)(Lagrange multiplier)檢驗(yàn)v對(duì)于模型 Yt 0 1 X1t 2 X2t k Xkt t， t 1, , n， 如果懷疑隨機(jī)干擾項(xiàng)存在p階序列相關(guān)：t 1t1 2t2 ptp t，拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)就檢驗(yàn)回歸方程Yt 0 1 X1t 2 X2t k Xkt 1t1 2t2 ptp t ，是否滿(mǎn)足約束條件H0： 1 2 p 0返回v如果約束條件H0成立，則統(tǒng)計(jì)量LM nR2的漸進(jìn)分布為 LM nR2 2(p)， 其中n，R2分別為下面輔助回歸的樣本容量和可決系數(shù)：01122tttkkteXXXbbbb=+%L112

9、2ttptpteeerrre-+%L給定顯著性水平，查表得到臨界值2(p)，如果統(tǒng)計(jì)量LM nR2的值大于臨界值，則拒絕約束條件成立的原假設(shè)，表明可能存在p 階序列相關(guān)性。 這里 是原模型用最小二乘法得到的殘差te %五、序列相關(guān)的補(bǔ)救v廣義最小二乘法v廣義差分法 1. 廣義最小二乘法v對(duì)于模型Y X 其中12nYYY驏 = 桫YM112111222212111kknnknXXXXXXXXX驏= 桫XLLMMMMML01kbbb驏= 桫M21121221222212Var =Cov , nnnnnssssssssss驏= 桫 LLMMMMLv如果存在序列相關(guān)性，同時(shí)存在異方差性，即 是一個(gè)對(duì)稱(chēng)

10、正定矩陣，因此存在可逆矩陣D，使得 DD v用D1乘以Y X ，得到：D1Y D1X D1 令Y* D1Y， X* D1X， * D1 ，則 Y* X* *v這個(gè)模型具有同方差性和隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)性，事實(shí)上1111*() ()EEE-=* D DDD1212()ss-=DDD DIv于是可以用OLS法估計(jì)模型Y* X* *記參數(shù)估計(jì)量為 ，則*)1*()-=*X XX Y)11111()()-= X DD XX DD Y111-= X XX Y這就是原模型Y X 的廣義最小二乘估計(jì)量，是無(wú)偏的、有效的。在使用廣義最小二乘法時(shí)，必須要知道2 ，但要估計(jì)2 是困難的。通常是對(duì)隨機(jī)干擾項(xiàng)施加一定的結(jié)

11、構(gòu)。v常用的假設(shè)是隨機(jī)干擾項(xiàng)為一階自回歸形式：t t 1 t，1 1 可以證明：2221Var1temssr=-2221Cov,1ssttsem mrsr sr-=-1222212Var =Cov , 1111nnnnerrrrssrrr-驏=- 桫 LLMMMMLv于是221222100001000010001100010000100001rrrrrrrrrrrrr-驏-+-+=-+-+-桫LLLMMMMMMMLLLv可以得到2.廣義差分法v對(duì)于模型Yt 0 1 X1t 2 X2t k Xkt t，t 1, n， 如果隨機(jī)干擾項(xiàng)存在p階序列相關(guān)：t 1t1 2t2 ptp t，可以將原模型變

12、為：Yt 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1,t 1X1, t1 2X1, t2 pX1, tp ) k(Xk, t 1Xk, t1 2Xk, t2 pXk, tp ) t ， t p 1, p 2, , n。上面模型稱(chēng)為廣義差分模型。不存在序列相關(guān)性。v如果已知 1， 2， p，則可以用普通最小二乘法得到原模型參數(shù)的估計(jì)量，參數(shù)估計(jì)量具有無(wú)偏性、有效性。v值得指出的是，廣義差分法就是在廣義最小二乘法模型Y* X* *中去掉前p個(gè)觀測(cè)值后在用普通最小二乘法得到原模型參數(shù)的估計(jì)量。v例如，在一階序列相關(guān)的情況下，廣義差分法是對(duì)下面的差分模型進(jìn)行OLS回歸： Yt Y

13、t1 0 (1 ) 1 (X1t X1t1) k(Xkt Xk,t1) t ， t 2, 3, , n?；験t* 0 (1 ) 1X1t* kXkt* t ， t 2, 3, , n。 這一變換就相當(dāng)與在Y* X* *中去掉第一個(gè)觀測(cè)值后在用普通最小二乘法得到原模型參數(shù)的估計(jì)量?；蛳喈?dāng)與在D1中去掉第一行后左乘Y X 得到。v在大樣本中，廣義差分法與廣義最小二乘法的估計(jì)結(jié)果相近，但在小樣本中，觀測(cè)值的丟失可能會(huì)影響估計(jì)結(jié)果。因此，在廣義差分法中，有時(shí)需要彌補(bǔ)這一損失。例如，在一階序列相關(guān)情況下，對(duì)第一個(gè)觀測(cè)值可以進(jìn)行下面的普萊斯-溫斯特變換(Prais-Winsten transformati

14、on)：*2*211111,1,1,.,jjYYXXjkrr=-=-=3. 隨機(jī)干擾項(xiàng)相關(guān)系數(shù)的估計(jì)v廣義最小二乘法和廣義差分法都需要知道相關(guān)系數(shù)1， 2， p，這通常需要估計(jì)。估計(jì)的思路一般是采用普通最小二乘法估計(jì)原模型，得到隨機(jī)干擾項(xiàng)的“近似估計(jì)量”，然后利用這些“近似估計(jì)量”得到隨機(jī)干擾項(xiàng)相關(guān)系數(shù)的估計(jì)量。（1）科克倫-奧科特(Cochrane-Orcutt)迭代法v（a）采用最小二乘法估計(jì)原模型，得到隨機(jī)干擾項(xiàng)的“近似估計(jì)” ，建立方程1122tttptpteeeerrre-=+%L,1,2,.,tetn=%12,.,pr rr) )（b）用OLS法估計(jì)該方程，得到返回（c）將 代入Y

15、t 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ，用OLS法估計(jì)該方程，得到12,.,pr rr) )12,.,kb bb) ) )v（d）將 代入原模型，得到新的隨機(jī)干擾項(xiàng)的“近似估計(jì)量” 。v重復(fù)上面的步驟(a)，得到1， 2， p的第二次估計(jì)。v重復(fù)上面的步驟，可以得到1， 2， p的多次迭代值。v關(guān)于迭代的次數(shù)，一般是事先給出一個(gè)精度，當(dāng)相鄰兩次的1， 2， p的估計(jì)值小于這一精度時(shí)，迭代結(jié)束。12,.,kb bb) ) )（2）杜賓(Durbin)兩步法v這種

16、方法仍然是先估計(jì)1， 2， p，再對(duì)差分模型進(jìn)行估計(jì)。 第一步v將差分模型Yt 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。變?yōu)閅t 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。 采用普通最小二乘法估計(jì)這個(gè)方程，得到1， 2， p的估計(jì)12,.,pr rr) )返回第二步v將

17、 代入 Yt 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。 采用普通最小二乘法估計(jì)這個(gè)方程，得到參數(shù) 的估計(jì)量，記為 于是 12,.,pr rr) )0121(1.),.,pkbrrrbb-)*012,.,kbbbb)*00121.pbbrrr=-)*,1,.,jjjkbb=)返回1返回24.廣義差分法在Eview中的實(shí)現(xiàn)v將 Yt 1Yt1 2Yt2 pYtp 0 (1 1 2 p) 1 (X1t 1X1t1 2X1t2 pX1tp

18、 ) k(Xkt 1Xk,t1 2Xk,t2 pXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。改寫(xiě)成 Yt 0 1X1t 2X2t kXkt 1 (Yt1 0 1X1,t1 kXk,t1 ) p (Ytp 0 1X1,tp kXk,tp ) t ， t p 1, p 2, , n。 v即 Yt 0 1X1t 2X2t kXkt 1 t1 2 t2 p tp t ， t p 1, p 2, , n。 如果同時(shí)選擇常數(shù)項(xiàng)，X1, X2, , Xk, AR(1) , AR(2) , , AR(p) 作為解釋變量，就可以得到0 , 1 , 2 , , k , 1, 2 , , p 的估計(jì)值。

19、其中AR(l) 為l階自回歸。在估計(jì)過(guò)程中自動(dòng)完成1, 2 , , p 的迭代，并顯示總迭代次數(shù)。六、案例中國(guó)商品進(jìn)口模型（例4.2.1）v根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，商品進(jìn)口主要由進(jìn)口國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，以及商品進(jìn)口價(jià)格指數(shù)與國(guó)內(nèi)價(jià)格指數(shù)之比所決定。由于無(wú)法取得商品進(jìn)口價(jià)格指數(shù)，我們只研究中國(guó)商品進(jìn)口M與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP的關(guān)系。1.通過(guò)OLS法建立中國(guó)商品進(jìn)口方程22152.910.02GDP(2.32)(20.12)0.948,0.946,SE154.9,D.W.0.629ttMRR=+=)返回2. 進(jìn)行序列相關(guān)性檢驗(yàn)v從殘差項(xiàng) 與時(shí)間及 的關(guān)系圖可以看出，隨機(jī)干擾項(xiàng)存在正序列相關(guān)。te %1ttee-

20、%與-400-200020040078 8082 848688 9092 949698 00RESID-400-2000200400-400-2000200400RESIDRESID1vD.W.檢驗(yàn)在5%顯著性水平下，n 24， k 2，查表得到d1 1.27，du 1.45。由于D.W. d1 ，所以存在正相關(guān)。拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)v含2階滯后殘差項(xiàng)的輔助回歸為011122GDPttttteeebbrre-=+%vLM=220.6821=15，而顯著性為5%，自由度為2的2分布的臨界值為5.991，于是原模型具有2階序列相關(guān)性。01112233GDPtttttteeeebbrrre-=+%v含3

21、階滯后殘差項(xiàng)的輔助回歸為3.運(yùn)用廣義差分法進(jìn)行自相關(guān)處理(1)采用杜賓兩步法估計(jì)v第一步，估計(jì)模型*01122tttMMMbrr-=+*12132GDPGDPGDPttttbbbe-+LS / Dependent Variable is MSample(adjusted): 1980 2001Included observations: 22 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C 78.08449 44.46252 1.756187 0.0982M(-1) 0.938262 0.1412

22、49 6.642597 0.0000M(-2)-0.468658 0.265785-1.763298 0.0969GDP 0.054776 0.009311 5.882785 0.0000GDP(-1)-0.096395 0.018566-5.191885 0.0001GDP(-2) 0.053583 0.010106 5.302080 0.0001R-squared 0.991335 Mean dependent var 890.0591Adjusted R-squared 0.988627 S.D. dependent var 661.6499S.E. of regression 70.5

23、6180 Akaike info criterion 8.739979Sum squared resid 79663.49 Schwarz criterion 9.037536Log likelihood -121.3564 F-statistic 366.0891Durbin-Watson stat 2.306923 Prob(F-statistic) 0.000000回歸結(jié)果第二步 作差分變換*12(0.9380.469)ttttMMMM-=-*12GDPGDP(0.938GDP0.469GDP)tttt-=-建立方程*01GDPtttMbbm=+回歸結(jié)果LS / Dependent Va

24、riable is M*Sample(adjusted): 1980 2001Included observations: 22 after adjusting endpointsVariable CoefficientStd. Errort-StatisticProb. C 86.17772 31.24358 2.758254 0.0121GDP* 0.020397 0.001239 16.46400 0.0000R-squared 0.931286 Mean dependent var 475.5505Adjusted R-squared 0.927851 S.D. dependent var 356.5176S.E. of regression 95.76278 Akaike info criterion 9.210256Sum squared resid 183410.2 Schwarz criterion 9.309442Log likelihood -130.5295 F-statistic 271.0634Durbin-Watson stat 1.583222 Prob(F-statistic) 0.000000v在5%