小學數(shù)學圖形與幾何

1、小學數(shù)學圖形與幾何話題一吳正憲（北京教育科學研究院）王彥偉（北京東城區(qū)教師研修中心）張 杰（北京東城區(qū)教育研修學院）2011 版課標終于要公布了，新課標 修訂后有哪些變化。這一講主要講“圖形與幾何”這個領(lǐng)域的變化。新課標在圖形與幾何領(lǐng)域有幾個核心概念。主要有 空間觀念、幾何直觀、推理能力等 ?？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。更直觀的理解如下圖：幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學問題，變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測

2、結(jié)果，探索思路預(yù)測結(jié)果。案例：打電話如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學，用打電話的方式，每分鐘通知 1 人，給你 3 分鐘的時間，能使多少人收到通知？大膽的猜測一下。下面是學生借助圖形研究的例子。這些學生都能夠利用線段、點以圖形的形式，來描述打電話來通知這件事情，設(shè)計方案。通過這個數(shù)圖就把這個復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，很簡明很直觀的呈現(xiàn)出來，而且從這個圖本身，就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，就是一分鐘通知一個人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍，否則你算是算不出來，看圖就看出來了。通過線段、點，以及圖形，把通知過程很簡捷的表現(xiàn)出來，把它們之間的關(guān)系，揭示得非常清楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。推

3、理能力 的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。通過對一線教師的訪談，查閱資料，把老師們的困惑集中起來，歸結(jié)為四個大話題。討論話題：1如何在觀察、操作中“認識圖形” 抽象出圖形特征，發(fā)展空間觀念？2如何以

4、“圖形的測量”為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認識度量單位及其實際意義，了解掌握測量的基本方法，并在具體問題中進行恰當?shù)墓罍y？從而發(fā)展 學生的空間觀念與推理能力？3如何通過“圖形的運動”探索發(fā)現(xiàn)，體會研究圖形性質(zhì)的不同方法，發(fā)展學生幾何直觀能力和空間觀念，提高學生研究圖形性質(zhì)的興趣？4如何通過學習“確定圖形位置”的方法，發(fā)展學生的空間觀念和推理能力？話題一、圖形的認識抽象圖形特征，發(fā)展空間觀念問題一、新的課程標準在圖形的認識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？這次新課標修訂后圖形的認識部分都包括哪些內(nèi)容？有什么新的變化？課標修訂前后立體圖形的認識部分內(nèi)容的對比： 修訂前修訂后第一學段（ 1

5、 ）通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等 立體圖形 。（ 2 ） 辨認從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡單物體的形狀。 參見例 1 （ 3 ）辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。（ 4 ）通過觀察、操作， 能用自己的語言描述 長方形、正方形的特征。（ 5 ）會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。（ 6 ）結(jié)合生活情境認識角，會辨認直角、銳角和鈍角。（ 7 ）能對簡單幾何體和圖形進行分類。 1. 能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等 幾何體 。2. 能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體 （參見例 11 ）。3. 能辨認長方形、正方形、

6、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。4. 通過觀察、操作， 初步認識 長方形、正方形的特征。5. 會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。6. 結(jié)合生活情境認識角，了解直角、銳角和鈍角。7. 能對簡單幾何體和圖形進行分類（參見例 20 ）。 第二學段（ 1 ） 了解兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點。（ 2 ） 能區(qū)分直線、線段和射線。（ 3 ）體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。（ 4 ）知道周角、平角的概念及周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。（ 5 ）結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。（ 6 ）通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形

7、和圓，會用圓規(guī)畫圓。（ 7 ）認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是 180 。（ 8 ）認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。（ 9 ）通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的 展開圖。（ 10 ）能辨認 從不同方位看到的物體的形狀和相對位置。 參見例 1 1 結(jié)合實例了解線段、射線和直線。2體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。3知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。4結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。5通過觀察、操作，認識平行四邊形、

8、梯形和圓 ，知道扇形， 會用圓規(guī)畫圓。6認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是 180 。7認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。8能辨認 從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖 （參見例 32 ）。9通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的展開圖。 從這個表中可以看到，課表修訂前后在圖形的認識部分只有一些細小的變化，圖形與幾何這一模塊原稱空間與圖形，變“空間與圖形”為“圖形與幾何”；重提幾何直觀、推理能力、運算能力、邏輯思維能力，用詞更加規(guī)范，體現(xiàn)了課標的嚴肅。 的”圖形與幾何”第一、二學

9、段仍分為四部分，具體表示有所變動，（ 1 ）圖形的認識，（ 2 ）測量，（ 3 ）圖形的運動（修改稿：圖形與變換），（ 4 ）圖形與位置。圖形的運動”強調(diào)了圖形的運動是研究圖形性質(zhì)的一種有效方法。運動也是一種基本的數(shù)學思想。第二學段的內(nèi)容標準刪除“兩點確定一條直線”和“兩條直線確定一個點”?！皥D形與幾何”領(lǐng)域，將幾何學習的視野拓寬到學生生活的空間，強調(diào)空間和圖形知識的現(xiàn)實背景，從第一學段開始使學生接觸豐富的幾何世界。新標準突出用觀察、描述、制作、從不同的角度觀察物體、認識方向、制作模型等活動，發(fā)展學生的空間觀念和圖形設(shè)計與推理（合情推理與演繹推理）的能力。新標準在第二學段還增加了知道扇形這一內(nèi)

10、容。扇形的認識，大綱（修訂版）教材作為選學內(nèi)容，數(shù)學課程標準中沒有認識扇形的要求。認識扇形在課標修改稿中確實沒有做要求，但在 “ 統(tǒng)計與概率 ” 部分卻明確提出了通過實例認識扇形統(tǒng)計圖的內(nèi)容標準，考慮到知識的系統(tǒng)性、邏輯性和連貫性，以及學生認識扇形統(tǒng)計圖的需要，課標修訂稿在認識圓的基礎(chǔ)上，增加了初步認識扇形。簡單說對圖形認識的要求主要包括兩個方面：一是對圖形自身特征的認識。二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認識。在三個學段中，認識同一個或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從 “ 辨認 ” 到 “ 初步認識 ” ，再從 “ 認識 ” 到 “ 探索并證明 ” 。例如，對于長方體、正方體、圓柱

11、和球等幾何體，第一學段要求 “ 辨認 ” ；第二學段要求 “ 認識 ” ；第三學段要求了解其中一些幾何體的側(cè)面展開圖。又如，對于平行四邊形，第一學段要求 “ 辨認 ” ；第二學段要求 “ 認識 ” ；第三學段要求 “ 探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理 ” 。再如，三角形內(nèi)角和的例子：關(guān)于 “ 視圖 ” ，第一學段要求 “ 能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體 ” ；第二學段要求 “ 能辨認從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖 ” ；第三學段要求 “ 會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體 ”

12、 。這種要求的層次性，既體現(xiàn)了從整體到局部的認識過程；也符合學生的認知特點，逐漸深入、循序漸進。對圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認識，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的認識。第一學段的 “ 了解直角、銳角和鈍角 ” ；第二學段的 “ 體會兩點間所有連線中線段最短 ” ； “ 了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系 ” ； “ 了解 三角形兩邊之和大于第三邊” ；第三學段的 “ 會比較線段的長短 ” ， “ 能比較角的大小 ” 等，都是對圖形大小關(guān)系的研究 。點與直線的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等，是義務(wù)教育階段幾種主要的圖形位置關(guān)系；

13、軸對稱、中心對稱、平移也反映了圖形與圖形之間的位置關(guān)系。圖形的全等、相似都是研究研究圖形之間關(guān)系的課程內(nèi)容，全等研究的是圖形的形狀、大小關(guān)系；圖形的相似研究的是圖形的形狀之間的關(guān)系；而圖形的位似則還涉及到了圖形的位置關(guān)系。在兒童的不同學段上，形象思維的發(fā)展是有層次的，荷蘭范 . 希爾夫婦對學生幾何思維水平的研究說明了從直觀辨認到探索特征是兒童的對圖形的形象思維規(guī)律。他們將學生的圖形認知水平主要分為五級：水平 1 ：直觀化；水平 2 ：描述 / 分析；水平 3 ：抽象 / 關(guān)聯(lián)；水平 4 ：演繹 / 形式化推理；水平 5 ：嚴密 / 元數(shù)學。一二三水平在小學體現(xiàn)，四五水平是在中學體現(xiàn)的。這和我們

14、課標的要求也是一致。圖形認識的教學先明確兩點：一是這部分內(nèi)容屬于圖形認識的哪個水平，前后繼知識各是什么；二是多數(shù)學生現(xiàn)在的形象思維處于一個什么階段，要通過你的教學達到什么階段。問題二、小學階段對于 “ 圖形的認識 ” 這一內(nèi)容，教材是遵循怎樣一個編排體系的？第一， 現(xiàn)在的教材，在圖形的認識當中，是先講立體，再講平面，再回到立體。從歷史發(fā)展過程上看，實際上我們中國小學的傳統(tǒng)教材，最初是按點、線、面、體的邏輯關(guān)系講的。到了上個世紀 90 年代以后，義務(wù)大綱出現(xiàn)就發(fā)生變化了，先講立體以后再講平面，然后又回到立體。為什么當時要改？因為當時很多老師都反映，高年級孩子，對幾何立體圖形，本身的識圖的能力比較

15、低，認識起來比較困難。這部分是個難點，分階段安排可以分散難點。第二，實際上一個人是生活在三維空間當中，一個嬰兒從出生落地，他所有接觸的東西，看到的東西，實際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在這個過程中兒童積累了很多立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實物的模型的。那在這種情況之下，低年級孩子，剛開始初步的認識立體圖形是有可能的。所以一是有必要，二是有可能，再加上兒童的空間觀念的形成，必然是有一個長期的反復(fù)的積累的過程，不能一次到位。所以當時的義務(wù)大綱就打破了傳統(tǒng)的一步到位，先講立體圖形，要求直觀認識，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形?，F(xiàn)在教材也

16、一樣，先講立體，后講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求辨認，到第二學段要求是認識。 也就是 現(xiàn)在教材是 “ 體形體 ” 的混合螺旋編排結(jié)構(gòu)問題三、怎樣通過圖形的認識教學，培養(yǎng)學生的空間觀念？第一、通過對實物的觀察與操作認識圖形第一學段要求 “ 能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體 ” 、 “ 通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征 ” ；第二學段要求 “ 結(jié)合實例了解線段、射線和直線 ” 、 “ 結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系 ” 等，這些要求的共同特點是通過觀察與操作認識圖形，直觀地、整體地認識立體圖形和平面圖形。從對實物的

17、觀察與操作過程中來認識圖形的特征和性質(zhì)，既符合學生認識事物的規(guī)律，也符合數(shù)學課程的目標要求。這樣的過程有助于學生發(fā)展能力，初步體會數(shù)學的思想方法，發(fā)展積極的情感與態(tài)度。人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球 都給我們以長方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象?；谶@樣的生活經(jīng)驗，學生可以從認識立體圖形開始， “ 通過實物和模型等辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體 ” 。 “ 辨認 ” 是認識的低級階段，但與以往的經(jīng)驗有所不同，它要經(jīng)歷從實物到幾何圖形的抽象過程。從不同的角度觀察長方體、正方體、圓柱體、球的表面，抽象出長方形、正方形、圓等平面圖形。像這樣從具體到抽象，從實物到

18、圖形，從整體到局部的安排，揭示了立體圖形與平面圖形的關(guān)系，也符合學生的認知特點。第二學段要求 “ 結(jié)合實例了解線段、射線和直線 ” 、 “ 結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系 ” 。射線和直線涉及到了無限的概念，與長方體、正方體、長方形、正方形等相比，在現(xiàn)實中沒有 “ 直線 ” 的實物原型，這就需要學生進行抽象與想象。認識線段要容易一些，因為現(xiàn)實生活中有 “ 線段 ” 的實物原型。類似的，學生理解兩條直線平行的位置關(guān)系也比較困難，可以利用兩根鐵軌作為實物原型來描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實，都揭示了平行線的本質(zhì)，但鐵軌無法總是筆直的延伸，所以在從實

19、物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學生發(fā)展抽象能力和空間觀念。 第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，發(fā)展空間觀念新教材內(nèi)容編排上增加了 “ 視圖和投影、展開與折疊 ” 等內(nèi)容。視圖和投影，過去小學沒有，現(xiàn)在小學數(shù)學幾何和圖形當中，增加了觀察物體，這部分在課標上有兩個要求。第一個學段的要求是根據(jù)具體事物照片或直觀圖，辨認從不同角度觀察到的簡單物體的形狀，這是辨認。很多教材里面是這樣，有的是拿個實物，有的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角度去看，看的時候，孩子們就發(fā)現(xiàn)，不同角度看到的熊貓不一樣。第二個學段的要求能辨認從不同方向，方向是從前面、側(cè)面或者上面來觀察，從不同方向看到物體的形狀圖，這個形狀圖實際上就是一個平面圖，就是從水平方向?qū)ξ矬w所做的一個投影，也就是拍照。例如拍照的結(jié)果，雖然不是真正意義上的視圖，但是它