一階微分方程

1、第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程的一般形式為F(x,y,y)0或y=f(x,y)，其中F(x,y,y)是x，y，y的已知函數(shù)，f(x,y)是x，y的已知函數(shù)這一節(jié)只介紹幾種較簡單的一階微分方程的解法它們通過求積分就可以找到未知函數(shù)與自變量的函數(shù)關(guān)系，我們稱這種求解微分方程的方法為初等積分法一、 可分離變量的方程形如=f(x)g(y) (10-2-1)或M1(x)M2(y)dy=N1(x)N2(y)dx (10-2-2)的一階微分方程稱為可分離變量方程其中f(x)，g(y)及M1(x)，M2(y)，N1(x)及N2(y)均為已知連續(xù)函數(shù)方程(10-2-1)的求解步驟如下：先將方程(10-2-1)

2、分離變量得=f(x)dx， g(y)0，根據(jù)一階微分形式的不變性，再對上式兩端分別積分=,得通解G(y)=F(x)+C，其中G(y)和F(x)分別是和f(x)的一個原函數(shù)，C為任意常數(shù)若有實數(shù)y0使得g(y0)=0,則y=y0也是方程(10-2-1)的解，此解可能不包含在通解中例1 求解方程解 分離變量得dx兩邊積分得arcsiny=x+C 或 y=sin(x+C)注意 對于給定的C，上述解中x此外，y=1也是方程的兩個特解，但它未包含在通解之中這是由于分離變量時，將作為分母時丟失了兩個特解故所求方程的通解為：arcsinyx+C （C為任意常數(shù)），另外還有兩個特解y1例2 已知某商品的需求量

3、x對價格P的彈性e-3P3，而市場對該商品的最大需求量為1(萬件)，求需求函數(shù)解 需求量x對價格P的彈性e依題意，得-3P3，于是-3P2dP，積分得lnx=-P3+C1，即x= (C=)由題設(shè)知P0時，x=1,從而C=1因此所求的需求函數(shù)為x=例3 根據(jù)經(jīng)驗知道，某產(chǎn)品的凈利潤y與廣告支出x之間有如下關(guān)系：k(N-y），其中k，N都是大于零的常數(shù)，且廣告支出為零時，凈利潤為y0，0y0N，求凈利潤函數(shù)y=y(x)，解 分離變量=kdx，兩邊同時積分得-lnN-y=kx+C1 (C1為任意常數(shù))，因N-y0，所以lnN-y=ln(N-y)，上式經(jīng)整理得y=N-Ce-kx (C=0）將x=0，y

4、=y0代入上式得C=N-y0，于是所求的利潤函數(shù)為y=N-(N-y0)e-kx由題設(shè)可知0，這表明y(x)是x的單調(diào)遞增函數(shù)；另一方面又有=N，即隨著廣告支出增加，凈利潤相應(yīng)地增加，并逐漸趨向于y=N因此，參數(shù)N的經(jīng)濟(jì)意義是凈利潤的最大值二、 齊次微分方程1 齊次微分方程形如= （10-2-3）的一階微分方程，稱為齊次微分方程，簡稱齊次方程對于方程(10-2-3)，通?？赏ㄟ^變量替換u=將方程化為可分離變量的方程來解具體過程如下：令 u= (或y=ux)，其中u是新的未知函數(shù)對y=ux兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得=u+x代入(10-2-3)得u+x=f(u)分離變量并積分得=，即F(u)=ln|x|+C

5、 (C為任意常數(shù))，其中F(u)是的一個原函數(shù)，再將u=代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解F()ln|x|+C上面的推導(dǎo)要求f(u)-u0，如果f(u)-u=0，也就是這時，方程(10-2-3)為這已是一個可分離變量的方程，不必作代換就可求出它的通解為y=Cx例4 求微分方程xy=x2+y2滿足條件y|x=e2e的解解 原方程可化為= +，這是一個齊次方程作代換u=，即y=ux，則u+x代入前一方程得u+x=+u 即 x=，分離變量并積分得u2=2lnx+2C (C為任意常數(shù))，將u替換為，便得原方程的通解：y2=2x2lnx+2Cx2，再將初始條件代入通解得4e2=2e2ln e+

6、2Ce2，求得 C=1，于是，所求的特解為y2=2x2(lnx+1）例5 設(shè)甲、乙兩種商品的價格分別為P1,P2，且價格P1相對于P2的彈性為=，求價格P1與P2的函數(shù)關(guān)系解 將所給方程整理為=這是齊次方程令u=，即P1uP2，則u+P2，代入上式得u+P2u整理得du2兩邊積分得-lnu2lnP2C1 （C1為任意常數(shù)）將u替換為，便得方程的通解(注意到u0,P22)CP1P2（C， C為正數(shù))2 可化為齊次方程的微分方程形如= （10-2-4）的微分方程，當(dāng)C1C2時，就是一個齊次方程當(dāng)C1,C2中至少有一個不為零時，盡管本身不是齊次方程，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q后，可化為齊次方程下面分兩種情

7、況討論：(1) 若a1b2-a2b10,這時方程組有惟一解x=，y=作變量替換則于是方程(10-2-4)化為=這是關(guān)于變量u和v的齊次方程求出其通解后再換回原來的變量x和y，即得原方程的通解(2) 若a1b2-a2b1=0，這時令，即有a1=a2, b1=b2方程(10-2-4)可寫為作變量替換t=a2x+b2y,此時a2+b2，方程(10-2-4)化為a2+b2這是關(guān)于變量t和x的可分離變量的方程例6 求方程的解解 解方程組得x=-2,y=-3作變換x=u-2，y=v-3，原方程化為=這是一個齊次方程，按齊次方程的解法可求得它的通解為ln(u2+v2)+2arctan=C再將u=x+2，v=

8、y+3代入上式，便得原方程的通解為ln(x+2)2+(y+3)2+2arctan=C三、 一階線性微分方程形如yP(x)y=Q(x) （10-2-5）的方程叫做一階線性微分方程其中P(x)，Q(x)為x的已知連續(xù)函數(shù)，Q(x)稱為自由項如果Q(x)0，方程(10-2-5)即為y+P(x)y=0 （10-2-6）該方程稱為一階齊次線性微分方程而當(dāng)Q(x) 0時，方程(10-2-5)稱為一階非齊次線性微分方程也稱(10-2-6)為(10-2-5)所對應(yīng)的齊次方程注意這里所說的齊次方程與上段討論的齊次方程是不同的下面來討論一階非齊次線性方程(10-2-5)的解法先考慮非齊次線性方程(10-2-5)所

9、對應(yīng)的齊次方程(10-2-6)的通解顯然y=0是它的一個解，當(dāng)y0時分離變量得=-P(x)dx兩邊積分得lny= +C1，即y=C （C=）y=0也是方程(10-2-6)的解，這時在上式中取C=0即可于是得到方程(10-2-6)的通解為y=C (C為任意常數(shù)) (10-2-7)再利用“常數(shù)變易法”求非齊次線性方程(10-2-5)的通解由于方程(10-2-5)與(10-2-6)的左端相同，右端不同，方程(10-2-5)的左端比方程(10-2-6)的左端多了一項Q(x)，因此，我們猜想方程(10-2-5)的通解也具有(10-2-7)的形式，而其中的C不可能還是常數(shù)，而是x的某個函數(shù)C(x)于是，可

10、設(shè)方程(10-2-5)的解為y=C(x)， （10-2-8）其中C(x)是待定函數(shù)將(10-2-8)代入方程(10-2-5)，得C(x) +P(x)C(x) =Q(x)化簡，得C(x)Q(x) 上式兩端同時積分，得C(x)= dxC（C為任意常數(shù)）將上式代入(10-2-8)式，得非齊次線性方程(10-2-5)的通解y= dxC (C為任意常數(shù)) （10-2-9）這種將任意常數(shù)變成待定函數(shù)求解的方法，稱為常數(shù)變易法將通解(10-2-9)改寫為y=C+不難看出： 通解由兩部分構(gòu)成，其中第一項是方程(10-2-5)所對應(yīng)的齊次線性方程(10-2-6)的通解，第二項是方程(10-2-5)本身的一個特解

11、對應(yīng)于通解(10-2-9)中C=0的特解這并不偶然，這是線性方程解的結(jié)構(gòu)的一個重要性質(zhì)例7 求方程xy+y=ex (x0)的通解解 所給方程可化為y+ = （10-2-10）先求得方程(10-2-10)對應(yīng)的齊次線性方程的通解為y=，再利用常數(shù)變易法，設(shè)方程(10-2-10)的解為y=，代入方程(10-2-10)得，化簡，得C(x)=ex，積分得C(x)=ex+C，故得方程(10-2-10)的通解為y= (ex+C)（C為任意常數(shù)）這也就是所求方程的通解以上是按“常數(shù)變易法”的思路求解，本題也可直接利用通解公式(10-2-9)求解但是，必須先將方程化為形如方程(10-2-5)的標(biāo)準(zhǔn)形式這里，P

12、(x)= ，Q(x)，代入公式(10-2-9)，得方程的通解為y=(ex+C)例8 求方程y滿足初始條件y(0)=1的特解解 先求出所給方程的通解這個方程乍一看不像一階線性方程，但把它改寫成-x=y2，則是以y為自變量，x為未知函數(shù)的一階線性微分方程利用通解公式(10-2-9)得x=Cy+y3，將初始條件y(0)=1代入上述通解中，得C，故所求方程的特解為x=y+y3例9 已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件f(x)e2x，求f(x)解 因原方程右端函數(shù)可導(dǎo)，所以f(x)可導(dǎo)對方程兩端同時求導(dǎo)，得f(x)=3f(x)+2e2x由一階線性方程的通解公式，得f(x)e3x(-2e-x+C)=e2x+Ce3

13、x例10 設(shè)y=f(x)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A(0，1)，B(1，0)的一段連續(xù)曲線，M(x,y)為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C為M在x軸上的投影，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為，求f(x)的表達(dá)式圖10-2解 參看圖10-2，由題設(shè)得1+f(x)+，求導(dǎo)，得1+f(x)+xf(x)-f(x)=，即f(x)-f(x)= (x0)利用一階線性微分方程的通解公式，得f(x)exx2+1+Cx當(dāng)x=0時，f(0)=1說明上述解在x=0時有意義將條件f(1)=0代入到通解中，得C=-2，于是有f(x)=x2-2x+1形如+P(x)y=Q(x)ya （a0，1） （10-2-11

14、）的方程稱為伯努利(Bernoulli)方程它不是線性方程，但是經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，可將它化成線性方程求解事實上，只要將方程(10-2-11)兩端除以ya，得y-a +P(x)y1-aQ(x)，即P(x)y1-aQ(x)若令y1-az， 則上面這個方程為+P(x)zQ(x) （10-2-12）這是一個線性方程求出這個方程的通解后，用y1-a替換z，便得到伯努利方程的通解例11 求方程y+ =的通解解 這是a的伯努利方程方程兩邊同時除以，得x令zy1-a，則上面的方程化為+這是一階線性微分方程，其通解為z將替換z，得原方程的通解為y= （C為任意常數(shù))習(xí)題10-21 求下列微分方程的通解或在給定

15、的初始條件下的特解：(1) y； (2) xydx+dy=0;(3) (xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0;(4) sinxcos2ydx+cos2xdy=0;(5)；(6) yy+xey=0,y(1)=0;(7) y=e2x-y，2 物體冷卻速度與該物質(zhì)和周圍介質(zhì)的溫差成正比，具有溫度為T0的物體放在保持常溫為a的室內(nèi)，求溫度T與時間t的關(guān)系：3 求下列微分方程的通解或在給定條件下的特解：(1) xy-y-0；(2) y=+sin；(3) 3xy2dy(2y3-x3)dx;(4) x2y+xy=y2， y(1)=1；(5) xy=y(lny-lnx), y(1)=1;(6) (y-x+

16、2)dx=(x+y+4)dy;(7) (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=04 求下列微分方程的通解或在給定初始條件下的特解：(1) y-y=sinx;(2) y-y=xnex；(3) (x-2y)dy+dx=0;(4) (1+xsiny)y-cosy=0；(5) y- =(x+1)ex, y(0)=1;(6) y+，y(0)=;(7) y-=-lnx, y(1)=1;(8) y+2xy=(xsinx)，y(0)=1;(9) y；(10) y5 設(shè)函數(shù)f(x)在1,上連續(xù)，若由曲線y=f(x)，直線x=1,x=t(t1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(t)t2f(t)-f(1)試求y=f(x)所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件y(2)=的特解6 設(shè)某生物群體的出生率為常數(shù)a，由于擁擠及對食物的競爭的加劇等原因，死亡率與當(dāng)時群體中的個體量成正比(比例系數(shù)為b0)如果t=0時生物個體總數(shù)為x0，求時刻t時的生物個