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文檔簡介

1、高二數(shù)學競賽班二試講義 第四講 Schur（舒爾）不等式、Schur（舒爾）分拆 班級 姓名 一、知識要點：定理1Schur不等式：若，為實數(shù)，則， 當且僅當或的置換時，等號成立。 證明：由對稱性可假定，令， 其中，是非負實數(shù)， 則左端 定理2Schur不等式推廣：若，為非負實數(shù)，則 （1）； （2）； （3） 證明：（1）成立（2）由對稱性可假定，令， 其中，是非負實數(shù)， 則左端 分和討論可證明（3）同理可證定理3三元齊三次對稱多項式可以唯一的表示為 ，其中， ， 并且當時，先給出系數(shù)的簡單確定方法：定理4三元齊四次對稱多項式可以唯一的表示為 ， 其中， ， ， 并且當時，先給出系數(shù)的簡單確

2、定方法：定理5三元齊五次對稱多項式可以唯一的表示為 ， 其中， ， ， 并且當時，先給出系數(shù)的簡單確定方法（為虛數(shù)單位）：定理6三元齊六次對稱多項式可以唯一的表示為 ， 其中， ， ， 并且當時，先給出系數(shù)的簡單確定方法（為虛數(shù)單位）：由，將代入解得由，將代入解得二、例題精析例1已知是非負實數(shù)，且滿足。證明： （第25屆IMO）例2已知是正實數(shù)，且滿足。證明： （第41屆IMO）例3設(shè)是正實數(shù)，且滿足。證明：例4設(shè)正實數(shù)滿足證明： （2005，中國西部奧林匹克）例5設(shè)是正實數(shù)證明： （1996，伊朗數(shù)學奧林匹克）例6設(shè)正實數(shù)滿足證明： （第46屆IMO）例7設(shè)正實數(shù)滿足， 求證：的最小值為三、精選習題1設(shè)是正實數(shù)，且證明： 2設(shè)是正實數(shù)證明：3設(shè)是非負實數(shù)證明：4設(shè)是正實數(shù)，且滿足證明：4提示：5設(shè)是非負實數(shù)證明：高二數(shù)學競賽班二試講義 第四講 Schur（舒爾）不等式、Schur（舒爾）分拆 例1化齊次，令所以設(shè)則，例2輪換對稱式。令，于是原不等式等價于所以例3作代換，原不等式化為注意到，故只要證 簡單計算得，則例4原不等式等價于（為了區(qū)別于系數(shù)字母，以下變量用）計算得從而，故例5原不等式等價于 首先，計算再計算，得方程組，解得最后計算得方程組解得故，得證。例6注意到故欲證原不等式，只需證作代換，于是首先

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