20182019數(shù)學(xué)北師大版選修21練習(xí)6 距離的計(jì)算 1

1、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)已知AB，BC，CD為兩兩垂直的三條線段，且它們的長(zhǎng)都為2，則AD的長(zhǎng)為()A4B2C3D2解析：選D.法一：取以AB、BC、CD為棱的正方體，易得|AD|2|AB|2|BC|2|CD|2，|AD|2.法二：取基底，則，2()22222·2·2·12.|AD|2.已知直線l過(guò)定點(diǎn)A(2，3，1)，且方向向量為n(0，1，1)，則點(diǎn)P(4，3，2)到l的距離為()A.BC.D解析：選A.(2，0，1)，|，則點(diǎn)P到直線l的距離d .如圖，已知平面、平面的夾角為120°，AC在內(nèi)，BD在內(nèi)，且ACAB，BDAB，ABACBDa，則CD的長(zhǎng)是() Aa

2、B2aC3aD4a解析：選B.因?yàn)椋詜2()·()|2|2|22(···)a2a2a22a2cos 60°4a2，所以|2a，CD2a.正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為()A1BC.D解析：選B.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易求得平面ACD1的一個(gè)法向量為n(1，1，1)，故所求距離為C1到平面ACD1的距離，d.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則平面AB1D1到平面BDC1的距離為()A.aBaC.aDa解析：選D.明顯A1C平面AB1D1，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，D

3、C為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則面AB1D1的一個(gè)法向量為n(1，1，1)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，(0，a，0)，則兩平面間的距離為d|·|a.平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90°，BAA1DAA160°，則AC1的長(zhǎng)為_(kāi)解析：取基底，則，2()22222·2·2·1222322×2×3cos 60°2×1×3cos 60°23.故|.答案：三棱錐S­ABC中，SA平面ABC，ABAC，且

4、ASABAC2，D是SA的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到BC的距離為_(kāi)解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，(2，0，1)，(2，2，0)，在上的投影長(zhǎng)為，故D到BC的距離為 .答案：已知ABC­A1B1C1是各條棱長(zhǎng)均等于a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面AB1D的距離為_(kāi)解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(a，a，0)，B1(a，a)，D(0，a，)，C1(0，a，a)，設(shè)平面AB1D的法向量為n(x，y，z)，則，即.，取z2，則y1，x，n(，1，2)，(0，0，)，則點(diǎn)C1到平面AB1D的距離為a

5、.答案：a在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD­ABCD，且ABAD1，BB2，M，N分別是AD，DC的中點(diǎn)，求直線AC與直線MN的距離解：依據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知ACMN，故兩直線間的距離為點(diǎn)M到直線AC的距離由題意得(1，1，0)，(0，2)所以點(diǎn)M到直線AC的距離d .如圖，在四棱錐S­ABCD中，ADBC且ADCD，平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2，E為BS的中點(diǎn)，CE，AS.求點(diǎn)A到平面BCS的距離解：如圖，以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD、OC所在直線分別為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)A(xA，yA，zA)，因平面COD平面ABCD，ADCD，故

6、AD平面COD，即點(diǎn)A在xOz平面上，因此yA0，zA|1.又x12|23，xA0，解得xA.從而A(，0，1)因ADBC，故BC平面CSD，即平面BCS與平面yOz重合，從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為xA.能力提升在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分別為線段BD1，CC1上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值為()A.BC.D解析：選D.PQ的最小值即為異面直線CC1，BD1間的距離，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，D1(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，所以(1，1，1)，(0，0，1)，設(shè)Q(1，1，z)，z0，1，令(

7、0，1)，則(，)，(1，)，(，1，z)，z，即P(，)，Q(1，1，)，故|PQ|.在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面為直角梯形，ABCD且ADC90°，AD1，CD，BC2，AA12，E是CC1的中點(diǎn)，則A1B1到平面ABE的距離是_解析：取DD1的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EFCDAB，A、B、E、F四點(diǎn)共面，又A1B1平面ABEF，A1B1到平面ABE的距離等于A1到平面ABEF的距離法一：在矩形ADD1A1中，AA12，AD1，A1FAF，又平面ADD1A1平面ABEF，A1F平面ABEF，A1F.法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)

8、，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，E(0，1)，F(xiàn)(0，0，1)(1，0，1)，(1，0，1)，(0，0)，又·0，·0，(1，0，1)為平面ABEF的一個(gè)法向量，(0，0，2)，A1到平面ABEF的距離為.答案：如圖所示，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，C1C的中點(diǎn)，DGDD1，過(guò)E，F(xiàn)，G的平面交AA1于點(diǎn)H，求A1D1到平面EFGH的距離解：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意可知E(1，1，)，F(xiàn)(0，1，)，G(0，0，)，D1(0，0，1).(

9、1，0，0)，(0，1，)，設(shè)平面EFGH的法向量n(x，y，z)，則n·0且n·0，即令z6，可得n(0，1，6)又(0，1，)，A1D1到平面EFGH的距離為.4已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，BCA90°，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又知BA1AC1.(1)求證：AC1平面A1BC；(2)求點(diǎn)C1到平面A1AB的距離解：(1)證明：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，則DEBC，因?yàn)锽CAC，所以DEAC，且A1D平面ABC，以射線DE，DC，DA1分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，設(shè)A1(0，0，t)，C1(0，2，t)，其中t0，則(0，3，t)，(