關(guān)于用等式性質(zhì)解方程的幾個(gè)問(wèn)題

1、曹培英數(shù)學(xué)課程改革推進(jìn)到小學(xué)高年級(jí)之后， 部分教師對(duì)教材，依據(jù)等式性質(zhì)解方 程的意義不很理解，對(duì)由此生成的一些問(wèn)題感到困惑，總覺(jué)得還是原來(lái)依據(jù)四則 運(yùn)算關(guān)系解方程，便于教、便于學(xué)。本文僅就與此相關(guān)的一些問(wèn)題，談?wù)剛€(gè)人的 有關(guān)認(rèn)識(shí)與體會(huì)，供大家參考。一、為什么要用等式基本性質(zhì)解方程在我國(guó)，九年制義務(wù)教育已經(jīng)基本普及，小學(xué)由原先具有相對(duì)獨(dú)立性降低為 九年義務(wù)教育的一個(gè)學(xué)段。順應(yīng)著基礎(chǔ)教育的這一發(fā)展，新一輪課程改革中推出 的各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)，都將小學(xué)、初中視為一個(gè)整體，予以通盤(pán)考慮，這是一大進(jìn)步。數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)然也不例外。可以說(shuō)，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的研制、頒布為我 們研究和踐行中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接， 提

2、供了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求等多方面的支 撐和保障。我們應(yīng)該基于這樣的背景，展開(kāi)有關(guān)的討論。其實(shí)解方程的依據(jù)，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，應(yīng)該是方程的同解定理。但由于中小學(xué)數(shù) 學(xué)的理論要求不高，再說(shuō)在陳述等式的第一條性質(zhì)時(shí)，只要指出等式兩邊都乘或 除以同一個(gè)不等于零的數(shù)，這兩條等式的基本性質(zhì)就可以作為同解定理來(lái)使用。 所以，多年以來(lái)，即使是中學(xué)數(shù)學(xué)教材，也大多采用等式的基本性質(zhì)作為解方程 的依據(jù)。這樣處理可以避開(kāi)“同解方程”等概念，減少教學(xué)的麻煩。過(guò)去，在小學(xué)教學(xué)解方程，依據(jù)的是四則運(yùn)算之間的關(guān)系，如“加數(shù)= =和- -另一個(gè)加數(shù)”，“因數(shù)= =積寧另一個(gè)因數(shù)”等等。由于這些關(guān)系小學(xué)生在學(xué)習(xí) 加減法、乘除法時(shí)早就不斷

3、有所感知，積累了比較豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，所以到小 學(xué)中高年級(jí)再加以概括就顯得水到渠成，運(yùn)用這些關(guān)系解未知數(shù)只出現(xiàn)在等式一 邊的簡(jiǎn)易方程也比較自然。但是，這種“算術(shù)”的解方程思路畢竟走不了多遠(yuǎn)，一到中學(xué)就被徹底拋棄， 取而代之的是等式的基本性質(zhì)。而且小學(xué)依據(jù)四則運(yùn)算關(guān)系解方程教得越多，練 得越鞏同，初中方程教學(xué)的負(fù)遷移就越明顯，入門(mén)障礙就越大。當(dāng)然，負(fù)遷移的 程度也取決于初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)策略與教學(xué)藝術(shù)， 但在整體上存在負(fù)遷移是一 個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)。實(shí)際上.除了小學(xué)數(shù)學(xué)教師，成年人有幾個(gè)還記得小學(xué)依據(jù)四則運(yùn)算關(guān)系解 方程的那些套路呢？既然一到中學(xué)就被取代，并將徹底遺忘.為什么就不能改變，尋找一條新的 可

4、持續(xù)發(fā)展的出路呢？現(xiàn)在，為了減少過(guò)渡性的、很快被淘汰的知識(shí)，為了避免中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)各 自教一套，避免中學(xué)“另起爐灶”，為了促進(jìn)學(xué)習(xí)的正遷移，將等式基本性質(zhì)作 為小學(xué)解方程的依據(jù)，使中小學(xué)解方程的思路得到基本統(tǒng)一， 解釋趨于一致。這 是一項(xiàng)很有意義的改革，值得我們?yōu)橹畤L試、探索，積累經(jīng)驗(yàn)。上海市的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，從上世紀(jì) 9090 年代起就引進(jìn)了等式基本性質(zhì)。起初 也有一些教師感覺(jué)不適應(yīng)，特別是部分有經(jīng)驗(yàn)的老教師曾有抱怨。 幾年以后，熟 悉了、習(xí)慣了，也就接受了這一改革。更為重要的原因是，小學(xué)生沒(méi)有先人為主 的成見(jiàn)，他們對(duì)以天平為直觀形象載體的等式性質(zhì)， 感到新奇、有趣，樂(lè)意接受， 也容易理解。

5、這是改革能夠成功的必要條件。 當(dāng)然，課程改革應(yīng)當(dāng)是一種自上而 下與自下而上相結(jié)合的互動(dòng)過(guò)程， 因此， 教師對(duì)改革的認(rèn)同情況和承受能力， 也 是必須考慮的。通過(guò)實(shí)踐還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，以等式基本性質(zhì)為依據(jù)，有利于凸顯等量關(guān)系，有 助于滲透初步的方程思想和初步的數(shù)學(xué)建模思想。這些則是改革初衷之外的收 獲了。無(wú)須諱言，上海市前十年的小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材與本文討論主題相關(guān)的改革， 也有值得反思之處。 如為了徹底排除依據(jù)等式基本性質(zhì)解方程的障礙， 提前教學(xué) 正負(fù)數(shù)四則運(yùn)算，安排成三個(gè)“循環(huán)圈”；為了解決應(yīng)用題難教、難學(xué)問(wèn)題，強(qiáng) 調(diào)列方程解決問(wèn)題， 期望在小學(xué)階段就用方程解法取代算術(shù)解法。 實(shí)踐表明， 操 之過(guò)急，

6、利弊參半。僅就算術(shù)解法而言，它是列方程的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng) 用最廣泛的數(shù)學(xué)方法之一。 如果認(rèn)為有中學(xué)以上學(xué)歷的成年人， 解應(yīng)用題時(shí)首選 方程解法，算術(shù)解法早忘了，那是一種誤解。事實(shí)上，成年人只在面對(duì)教科書(shū)、 習(xí)題集中的“實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)列方程的條件反射。而在日常生活中，人 人幾乎天天都在本能地使用算術(shù)方法解決那些只需簡(jiǎn)單四則運(yùn)算的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。 正 因?yàn)槿绱耍M管小學(xué)生用算術(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題的反復(fù)練習(xí)會(huì)給初中學(xué)習(xí)列方程 解決問(wèn)題帶來(lái)一定的負(fù)遷移，我們卻不能“因噎廢食”，過(guò)早拋棄算術(shù)解法。這 與解方程用等式基本性質(zhì)取代四則運(yùn)算關(guān)系具有質(zhì)的差異，不宜相提并論。二、不出形如 a-x=ba-x=

7、b 與 a a* x=bx=b 的方程，可行嗎考慮到在小學(xué)階段依據(jù)等式基本性質(zhì)解形如如a-x=ba-x=b 與 a a*x=bx=b 的方程不那么方便，因此目前多數(shù)教材采取了不出這兩種類(lèi)型方程的處理策略。 這也是一些 教師感到疑惑的問(wèn)題。 歷史地看，在小學(xué)數(shù)學(xué)中引進(jìn)方程由來(lái)已久。 最初的目的： 一是針對(duì)應(yīng)用題教學(xué)的難點(diǎn)， 旨在化難為易， 提高學(xué)生分析問(wèn)題、 解決問(wèn)題的能 力；二是加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，為中學(xué)較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)方程的知識(shí)作鋪墊。 應(yīng)該說(shuō)，兩方面的目的，至今仍未過(guò)時(shí)。然而，在以往的教學(xué)實(shí)踐中，由于種種 主客觀的原因 常常異化為一招一式的解題教學(xué)。 雖說(shuō)教師也會(huì)對(duì)算術(shù)解法與方 程解法的

8、特點(diǎn)加以對(duì)比； 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)應(yīng)用題的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法， 但大 家更多關(guān)注的還是方程的類(lèi)型、 列方程解的應(yīng)用題的類(lèi)型。 換句話說(shuō)， 以往我們 更為關(guān)注的是知識(shí)點(diǎn)。如今，新一輪課程改革強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程的經(jīng)歷與體驗(yàn)，這一與時(shí)俱進(jìn)的過(guò)程觀 已被越來(lái)越多的教師所認(rèn)同。既然如此，方程與實(shí)際問(wèn)題就都只是“例子”，且 都是讓學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程、獲得體驗(yàn)的“載體”。也就是說(shuō)，如今我們更為關(guān)注的是 知識(shí)的“過(guò)程 并由此演繹、推論。既然是“例子”，就不必求全，少了 a-x=ba-x=b 與 a a* x=bx=b 這兩個(gè)例子，本應(yīng)坦然，沒(méi)什么好大驚小怪的。但是，長(zhǎng)期工作在教 學(xué)第一線的教師又深知例子 、“知識(shí)點(diǎn)”的重要

9、性，不敢掉以輕心，這也 是有道理的。本來(lái)嘛，“例子 承載“過(guò)程”，知識(shí)的“點(diǎn) 與知識(shí)的“過(guò)程”相 輔相成，很難說(shuō)孰輕孰重。 再者，舍棄了兩個(gè)“例子” ，總感覺(jué)不全面、 有缺失， 過(guò)去教得駕輕就熟，學(xué)生掌握也沒(méi)有困難，為什么就不要了呢 ? ?因此有必要作進(jìn)一步的分析。在小學(xué)，形如 a-x=ba-x=b 的方程與形如 a+x=ba+x=b 的方程，不論是依據(jù)四則運(yùn)算的關(guān) 系解，還是依據(jù)等式基本性質(zhì)解，都是有區(qū)別的。但是到了初中，學(xué)了有理數(shù)的 四則運(yùn)算之后，它們的區(qū)別幾乎可以忽略不計(jì)，因?yàn)?a-x=ba-x=b 可以看做 a+a+（-x-x ） =b=b。所以即使小學(xué)不出現(xiàn)形如 a-x=ba-x=b

10、 的方程，中學(xué)也不必補(bǔ)充例子作為新授內(nèi)容 來(lái)教?？梢?jiàn)，我們大可不必因?yàn)樯倭诉@個(gè)例子而不放心、放不下。再說(shuō)，形如 a a 寧 x=bx=b 的方程，它本來(lái)就屬于分式方程。我們知道。解分式方 程需要去分母，去分母有可能帶來(lái)“增根”。所以，解分式方程，哪怕你確信整 個(gè)求解過(guò)程準(zhǔn)確無(wú)誤， 也要“驗(yàn)根”即判斷你所得到的是原方程的解還是增根。 這層意思超出了小學(xué)數(shù)學(xué)“驗(yàn)算”的內(nèi)涵，在小學(xué)是不大可能滲透的。因此，把 這個(gè)“例子 讓給中學(xué)，以免生成誤解，是合情合理的。這樣一來(lái)，剩下形如 x+a=b,x+a=b, x-a=bx-a=b , ax=bax=b, x x 寧 a=ba=b 的方程，求解思路就趨 于統(tǒng)

11、一：，x+a=bx+a=b， x-a=bx-a=b ，都是在方程兩邊加上或減去 a a；ax=bax=b，x x 寧 a=ba=b，都是在方程兩邊乘或除以 a a（a a 工 0 0）。、因此，過(guò)去四種情況，四條依據(jù)，需要安排四道例題；現(xiàn)歸結(jié)為兩條依據(jù)， 只需兩道例題，有利于學(xué)生舉一反三。而且，回避上述兩種形式的方程，并不影 響學(xué)生列方程解決實(shí)際問(wèn)題。因?yàn)楫?dāng)能列出形如 a-x=ba-x=b 與 a a*x=bx=b 的方程時(shí)，總 能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，改寫(xiě)成形如 x+b=ax+b=a 與 bx=abx=a 的方程。這也體現(xiàn)了列 方程解決問(wèn)題，常?？梢曰嫦蛩季S為順向思維的優(yōu)勢(shì)?？磥?lái)，實(shí)施義

12、務(wù)教育，貫徹九年制義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，要求我們應(yīng)當(dāng) 更多地考慮中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的銜接， 更加自覺(jué)地從中小學(xué)數(shù)學(xué)的全局、 從學(xué)生數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展著眼， 分析教學(xué)內(nèi)容的地位與作用。 這在某種意義上， 可以 說(shuō)是“科學(xué)發(fā)展觀 、是“以學(xué)生發(fā)展為本”理念的實(shí)際體現(xiàn)。三、相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策 以上多角度地闡述，意在講清改革舉措的原委、意圖及相關(guān)的考慮。但對(duì)于 教學(xué)實(shí)踐工作者來(lái)說(shuō)， 理解、認(rèn)同其所以然之后， 還需面對(duì)并妥善解決一系列的 教學(xué)實(shí)際問(wèn)題。光知道要過(guò)河，如果沒(méi)有可操作的過(guò)河方法，仍然無(wú)濟(jì)于事。從已有教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，不少教師常感為難的問(wèn)題主要有以下幾個(gè)。1 1 教材不出“等式基本性質(zhì)”的名稱(chēng)，怎么

13、講 ? ? 為了減少數(shù)學(xué)的名詞術(shù)語(yǔ)，降低數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)要求，減輕學(xué)生的記憶負(fù) 擔(dān)，現(xiàn)行教材大多不出現(xiàn)“等式基本性質(zhì)”之類(lèi)的名詞。這當(dāng)然是對(duì)的，因?yàn)樵?小學(xué)確實(shí)需要控制出現(xiàn)數(shù)學(xué)名詞術(shù)語(yǔ)的數(shù)量， 況且不出名詞，甚至不用文字概括 等式基本性質(zhì)， 就讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言陳述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律， 都是可行的。 但這并 不是說(shuō)教材回避的語(yǔ)言教師就不能說(shuō)。 因?yàn)樵趯?shí)際教學(xué)過(guò)程中， 不少教師常常感 到每次提到等式基本性質(zhì)時(shí)， 都要把有關(guān)的內(nèi)容說(shuō)出來(lái)， 如“等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)等式不變”，很不方便，最好有個(gè)名稱(chēng)。于是，有的教師稱(chēng)之為“等式的規(guī)律”，也有教師說(shuō)成“天平保持平衡的道理”或稱(chēng)“天平原理”。這 些語(yǔ)言作

14、為小學(xué)階段的通俗說(shuō)法，并不為錯(cuò)。也有實(shí)踐表明，給出“等式基本性 質(zhì)”這一名詞， 小學(xué)生一般不感到生僻， 他們完全能夠接受。 鑒于此，筆者以為， 既然是規(guī)范的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，學(xué)生又能接受，就不必刻意回避，如果教師覺(jué)得需要， 教學(xué)中引入這一名詞也未嘗不可。2 2初學(xué)解方程時(shí)，學(xué)生不習(xí)慣運(yùn)用等式的基本性質(zhì)，怎么辦 ? ?首先，教學(xué)等式基本性質(zhì)時(shí)，可以安排一些口答練習(xí)，如如: a a8=39,8=39, a=(a=() ), 寧 7=87=85 5寧 7 7, =()=()，以便從一開(kāi)始就盡可能地幫助學(xué)生初步體會(huì)等式基本 性質(zhì)的優(yōu)勢(shì)，逐步熟悉依據(jù)等式基本性質(zhì)解方程的思路。其次，教學(xué)解方程時(shí)，可以先通過(guò)復(fù)習(xí)，

15、讓學(xué)生再現(xiàn)、復(fù)述等式基本性質(zhì)的 內(nèi)容，為新授作好鋪墊； 給出例題后，再用天平的教具或者圖示表示例題的方程； 同時(shí)通過(guò)明確的指導(dǎo)語(yǔ)予以思維定向如“從今天起，我們將學(xué)習(xí)怎樣用天平保 持平衡的道理來(lái)解方程”。這些都是行之有效的措施，一般來(lái)說(shuō)，會(huì)有學(xué)生想到 運(yùn)用等式的基本性質(zhì)來(lái)解方程。由于教材在設(shè)計(jì)例題時(shí)，為了直觀，選用的數(shù)據(jù)都比較小學(xué)生一眼就能 看出方程的解。這時(shí)要求學(xué)生說(shuō)出解方程的根據(jù)，顯得有些“畫(huà)蛇添足”，而且 往往會(huì)有學(xué)生想到的根據(jù)是“求加數(shù)，用和減去另一個(gè)加數(shù) 。對(duì)此，教師可以 強(qiáng)調(diào)新的思考方法以后到中學(xué)解更復(fù)雜的方程時(shí)一直有用， 以提高學(xué)生學(xué)習(xí)掌握 根據(jù)等式基本性質(zhì)解方程的積極性。有必要指

16、出：學(xué)生自發(fā)地想到運(yùn)用四則運(yùn)算間的關(guān)系解方程，教師應(yīng)給予 肯定，但以根據(jù)教材突出用等式性質(zhì)解的思考方法為宜。 實(shí)踐表明， 教學(xué)中兩類(lèi) 不同依據(jù)、兩種不同思路同時(shí)并存，由著學(xué)生“喜歡什么，選用什么 ，則中下 水平的學(xué)牛容易產(chǎn)生混淆，容易出現(xiàn)兩種方法都沒(méi)掌握好的現(xiàn)象。這里，我們可以通過(guò)練習(xí)，如 x+=x+=, =3=3，= =. x x 寧 7=7=等，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)，哪幾題 是在方程兩邊加上或減去一個(gè)數(shù)， 哪幾題是在方程兩邊乘或除以一個(gè)不等于零的 數(shù)，從而使學(xué)生初步體會(huì)用天平保持平衡的道理來(lái)解方程思路比較統(tǒng)一的優(yōu)點(diǎn)。 還可以告訴學(xué)生，以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)解更復(fù)雜的方程時(shí)這一優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯。3 3解決實(shí)際問(wèn)

17、題時(shí)，學(xué)生列出形如 a-x=ba-x=b 與 ax=bax=b 的方程，怎么辦 ? ?。這是列方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的現(xiàn)象。對(duì)此，常用的對(duì)策有兩 條。其一，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意，將可用加減法表示的等量關(guān)系統(tǒng)一成用加法表示 的等量關(guān)系；將可用乘除法表示的等量關(guān)系統(tǒng)一成用乘法表示的等量關(guān)系。 例如， 路程寧速度=時(shí)間，路程寧時(shí)間=速度，可以歸結(jié)為速度X時(shí)間二路程。有些教師 顧慮這是不是有違“算法多樣化”的精神，其實(shí)這種顧慮是對(duì)課改理念的誤讀。 首先，同一等量關(guān)系的不同表達(dá)形式，常常并無(wú)本質(zhì)差異：其次，一題多解與多 題一解，算法多樣化與算法優(yōu)化，發(fā)散思維與收斂思維，都是相輔相成的，不應(yīng) 偏廢。而且，這里的收斂思維、多題一“式”，恰恰體現(xiàn)了列方程解決問(wèn)題思路 統(tǒng)一的特點(diǎn)，是必須讓學(xué)生初步感悟、有所體會(huì)的。其二，如果學(xué)生感興趣， 也可引導(dǎo)他們自己嘗試解形如 a-x=6a-x=6 與 a=6a=6 的方程。 試舉一例：李老師買(mǎi)了 2 2 支同樣的鋼筆付 5050 元，找回 1 1 8 8 元求鋼筆的單價(jià)。學(xué)生設(shè)鋼筆每支 x x 元，得 5050 一 2x=182x=18 或者（5050 佝-x=2x=2。怎么解呢？不妨 聯(lián)想天平，兩邊盤(pán)子內(nèi)的物品交換一下，天平仍然平衡得18=5018=50 2x2x 或 2=2=（50501818） -x x，等式兩