必修1教案324函數(shù)模型的應用實例二

1、3.2.4 函數(shù)模型的應用實例（二）（一）教學目標1知識與技能掌握應用指數(shù)型，擬合型函數(shù)模型解答實際應用問題的題型特征，提升學生解決簡單的實際應用問題的能力.2過程與方法經歷實際應用問題的求解過程，體驗指數(shù)函數(shù)模型、擬合函數(shù)模型的題型特征，學會運用函數(shù)知識解決實際問題.3情感、態(tài)度與價值觀了解數(shù)學知識來源于生活，又服務于實際，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，提高學生學習數(shù)學的興趣.（二）教學重點與難點重點：指數(shù)函數(shù)模型、擬合函數(shù)模型的應用難點：依據(jù)題設情境，建立函數(shù)模型.（三）教學方法師生合作探究解題方法，總結解題規(guī)律.老師啟發(fā)誘導，學生動手嘗試相結合.從而形式應用指數(shù)函數(shù)模型，似合函數(shù)模型解決實

2、際問題的技能.（四）教學過程教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖復習引入例1 某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元.銷售單價與日均銷售量的關系如表所示：銷售單價/元6789日均銷售量/桶480440400360銷售單價/元101112日均銷售量/桶320280240請據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經營部怎樣定價才能獲得最大利潤？師生合作回顧一元一次函數(shù)，一元二次函數(shù).分段函數(shù)建模實際問題的求解思路“審、建、解、檢”生：嘗試解答例1解：根據(jù)表，銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶.設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y 元，而在此情況下的日均銷售量就為480

3、40(x1)=52040x(桶) 由于x0且52040x0，即0x13，于是可得y=(52040x)x200 = 40x2+520x200，0x13易知，當x=6.5時，y有最大值.所以，只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤.師：幫助課本剖析解答過程，回顧反思上節(jié)課的學習成果以舊引新激發(fā)興趣，再現(xiàn)應用技能.應用舉例4指數(shù)型函數(shù)模型的應用例1 人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：y=y0ert，其中t表示經過的時間

4、，y0表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.下表是19501959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：年份19501951195219531954人數(shù)/萬人5519656300574825879660266年份19551956195719581959人數(shù)/萬人6145662828645636599467207（1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；（2）如果按表的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達到13億？例2 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表身

5、高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式.（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？例2 解答：（1）以身高為橫坐標，體重為縱坐標，畫出散點圖.根據(jù)點的分布特征，可考慮以

6、y=a·bx作為刻畫這個地區(qū)未成年男性的體重與身高關系的函數(shù)模型.如果取其中的兩組數(shù)據(jù)(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用計算器算得a2，b1.02.這樣，我們就得到一個函數(shù)模型：y=2×1.02x.將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式，或作出上述函數(shù)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的關系.（2）將x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由計算器算得y63.98.由于78÷63.981.221.2，所以，這個男生偏胖.歸納

7、總結：通過建立函數(shù)模型，解決實際實際問題的基本過程：師：形如y=bacx函數(shù)為指數(shù)型函數(shù)，生產生活中以此函數(shù)構建模型的實例很多（如例1）生：在老師的引導下審題、建模、求解、檢驗、嘗試完成此例師生合作總結解答思路及題型特征師生：共同完成例1 解答：（1）設19511959年的人口增長率分別為r1，r2，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增長率r10.0200.同理可得，r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184.于是，19511959年期間，我國人口的年均增長

8、率為r(r1+r2+r9)÷90.0221.令y0=55196，則我國在19501959年期間的人口增長模型為y=55196e0.0221t，tN.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點圖并作出函數(shù)y=55196e0.0221t (tN)的圖象由圖可以看出，所得模型與19501959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合.（2）將y=代入y=55196e0.0221t，由計算器可得t38.76.所以，如果按表的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國的人口就已達到13億.由此可以看到，如果不實行計劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的人口壓力.通過實例求解，提煉方法整合思路提升

9、能力.鞏固練習練習1已知1650年世界人口為5億，當時人口的年增長率為0.3%；1970年世界人口為36億，當時人口的年增長率為2.1%.（1）用馬爾薩斯人口模型計算，什么時候世界人口是1650年的2倍？什么時候世界人口是1970年的2倍？（2）實際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2003年世界人口還沒有達到72億.你對同樣的模型得出的兩個結果有何看法？解答：（1）已知人口模型為y = y0en，其中y0表示t = 0時的人口數(shù)，r表示人口的年增長率.若按1650年世界人口5億，年增長率為0.3%估計，有y = 5e0.003t.當y = 10時，解得t231.所以，1881年世界

10、人口約為1650年的2倍.同理可知，2003年世界人口數(shù)約為1970年的2倍.（2）由此看出，此模型不太適宜估計跨度時間非常大的人口增長情況.固化能力強化技巧應用舉例4擬合函數(shù)模型例3 某皮鞋廠從今年1月份開始投產，并且前4個月的產量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙.由于產品質量好，款式新穎，前幾個月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產品時，接受定單不至于過多或過少，需要估計以后幾個月的產量.廠里分析，產量的增加是由于工人生產熟練和理順了生產流程.廠里也暫時不準備增加設備和工人.假如你是廠長，就月份x，產量y 給出四種函數(shù)模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+

11、c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產量？歸納總結：所以y= 0.8×0.54+1.4=1.35本題是對數(shù)據(jù)進行函數(shù)模擬，選擇最符合的模擬函數(shù).一般思路要畫出散點圖，然后作出模擬函數(shù)的圖象，選擇適合的幾種函數(shù)類型后，再加以驗證.函數(shù)模型的建立是最大的難點，另外運算量較大，必須借助計算機進行數(shù)據(jù)處理，函數(shù)模型的可靠性與合理性既需要數(shù)據(jù)檢驗，又必須與具體實際結合起來.生：動手實踐解題此例學生四個代表分別板書四種函數(shù)模型.師：點評學生解答，總結，回答問題解析：本題是通過數(shù)據(jù)驗證，確定系數(shù)，然后分析確定函數(shù)的變化情況，最終找出與實際最接近的函數(shù)模型.由題知A(1，1)，B(2，1.2)，

12、C (3，1.3)，D(4，1.37).（1）設模擬函數(shù)為y=ax+b，將B、C兩點的坐標代入函數(shù)式，有所以得y = 0.1x + 1.（2）設y=ax2+bx+c，將A，B，C三點代入，有所以y= 0.05x2+0.35x+0.7.（3）設，將A，B兩點的坐標代入，有所以（4）設y=abx+c，將A，B，C三點的坐標代入，得 用已學函數(shù)模型綜合求解問題，提升綜合應用模型的能力.鞏固練習練習2 某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，61，68.為了預測以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y=ax2+bx+c，乙選擇了模型y=pqx+r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a,

13、b,c,p,q,r都是常數(shù).結果4月，5月，6月份的患病人分別為74,78，83，你認為誰選擇的模型較好？學生口述解題思路老師借助電腦解答問題（1）列表（2）畫散點圖.（3）確定函數(shù)模型.甲：y1= x2 +12x+41，乙：y2 = 52.07×0.778x + 92.5（4）做出函數(shù)圖象進行比較.計算x = 6時，y1 = 77，y2 = 80.9.可見，乙選擇的模型較好.固化解題技巧歸納總結1數(shù)學模型所謂數(shù)學模型是指對客觀實際的特征或數(shù)量關系進行抽象概括，用形式化的數(shù)學語言表述的一種數(shù)學結構.數(shù)學模型剔除了事物中一切與研究目標無本質聯(lián)系的各種屬性，在純粹狀態(tài)下研究數(shù)量關系和空間形式，函數(shù)就是最重要的數(shù)學模型，用函數(shù)解決方程問題，使求解變得容易進行，這是數(shù)學模型間的相互轉換在發(fā)揮作用.而用函數(shù)解決實際問題，則體現(xiàn)了數(shù)學模型是聯(lián)系數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁.2關于數(shù)學建模中的假設就一般的數(shù)學建模來說，是離不開假設的，如果在問題的原始狀態(tài)下不作任何假設，將所有的變化因素全部考慮進去，對于稍復雜一點的問題就無法下手了.假設的作用主要表現(xiàn)在以下幾個方面：（1）進一步明確模型中需要考慮的因素和它們在問題中的作用.通常，初步接觸一個問題，會覺得圍繞它的因素非常多，經仔細分析篩查，發(fā)現(xiàn)有的因素并