運(yùn)用基本不等式必備的變形技巧

1、運(yùn)用基本不等式必備的變形技巧基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）在不等式的證明、求解或者解決其它問題中都起到了十分重要的工具性作用,在利用基本不等式求解函數(shù)最值問題時(shí),有些題目可以直接利用公式求解，有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用均值不等式求解下面介紹一些常用的變形技巧 一、配湊 1.湊系數(shù) 例1當(dāng)0<x<4時(shí)，求y=x(8-2x)的最大值 分析 由0x4得8-2x>0，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子的積的形式，但其和不是定值注意到2x+(8-2x)=8為定值，故只需將y=x(8-2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可 解0<x<4, 8-2x&g

2、t;0, y=x(8-2x)=8，當(dāng)且僅當(dāng)2x=8-2x即二=2時(shí)取等號(hào)， 當(dāng)x=2時(shí)，y=x(8-2x)的最大值為8. 點(diǎn)評(píng)：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊上系數(shù)后即可得到和為定值，就可利用均值不等式求得最大值2. 湊項(xiàng)例2己知x<，求函數(shù)f(x) =4x-2+的最大值分析 由已知4x-5<0，首先調(diào)整符號(hào)，又(4x-2)·不是定值，故需對(duì)4x-2進(jìn)行湊項(xiàng)得到定值.解 x<，5-4x>0， f(x)=4x-2+=-(5-4x+)3-2+3=-2+3=1， 當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=，即x=1時(shí)等號(hào)成立. 點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)，使其積為定值3.

3、分離例3求的值域.分析 本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出(x+1)，再將其分離 解 當(dāng)x+10, 即x>-1時(shí)，=9(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”號(hào))； 當(dāng)x+1<0,即x<-1時(shí), =1(當(dāng)且僅當(dāng)x=-3時(shí)取“=”號(hào))； 的值域?yàn)?-,19,+). 點(diǎn)評(píng)：分式函數(shù)求最值，通常化成y=Mg(x)+B(A>0,M>0,g(x)恒正或恒負(fù))的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值二、整體代換例4 已知a>0,b>0，,求t=a+2b的最小值. 分析 不妨將a+ 2b乘以1，將1用代換. 解 (a2b)·=(a+2b)()=3,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=

4、”號(hào). 由得即時(shí)，t=a+2b的最小值為. 點(diǎn)評(píng)：本題巧妙運(yùn)用“1”的代換，得到t=,而與的積為定值，即可用均值不每式求得t=a+2b的最小值三、換元 例5求函數(shù)的最大值分析 變量代換，令t=，則x=t2-2(t0)則，再利用均值不等式即可解 令t=, x=t2-2(t0) ,則當(dāng)t=0時(shí)，y=0； 當(dāng)t0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)2t=,即t=時(shí)取“=”號(hào)，x=-時(shí),ymax=.點(diǎn)評(píng)：本題通過變量代換，使問題得到了簡(jiǎn)化，而且將問題轉(zhuǎn)化成熟悉的分式型函數(shù)的最值問題，從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)設(shè)了有利條件四、取平方例6求函數(shù)的最大值分析 注意到2x-1與5-2x的和為定值r解 , 又y>0，0<y，當(dāng)且僅當(dāng)2x-1=5-2x.即x=時(shí)取“=”號(hào)，ymax=.點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等