第五單元完美的圖形——圓檢測(cè)題解析

1、第五單元 完美的圖形圓【例1】在下面的正方形中畫一個(gè)最大的圓。 思路分析：通過之前的學(xué)習(xí)，我們知道，對(duì)于一個(gè)圓來說，其圓心確定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。要在這個(gè)正方形中畫一個(gè)最大的圓，那這個(gè)圓的圓心就應(yīng)該是正方形的中心（兩條對(duì)角線的交點(diǎn)），圓的直徑應(yīng)該等于這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。解答：先畫出正方形的兩條對(duì)角線，然后以對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心，正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑畫圓，所得的圓就是最大的圓。如下圖：要點(diǎn)提示：正方形的中心是正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn),也是最大圓的圓心。 【例2】如右圖，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是36厘米，則圓的半徑和直徑分別是多少厘米？思路分析：從圖中可以看出，長(zhǎng)方形中間的完整的圓和兩邊的兩個(gè)半圓的直

2、徑是相等的，都等于長(zhǎng)方形的寬。另外，兩邊的半圓的半徑加上中間大圓的直徑剛好等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)正好等于它們的半徑的4倍，即用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)除以4就可以求出它們的半徑，再根據(jù)半徑與直徑的關(guān)系求出直徑。要點(diǎn)提示：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)正好等于圓的半徑的4倍。解答：24÷4=6（厘米） 6×2=12（厘米）答：圓的半徑和直徑分別是6厘米、12厘米?！纠?】用兩種方法把四個(gè)直徑是16厘米的圓柱形木料捆扎在一起,截面如下圖所示。求這兩種方法分別需要多少厘米的繩子。 圖(1)圖(2) 思路分析：圖(1)：在一個(gè)圓周上環(huán)繞的繩子長(zhǎng)度是這個(gè)圓的周長(zhǎng)的14,四個(gè)角上共四個(gè)圓周，正好是一個(gè)圓的周長(zhǎng),

3、即3.14×16=50.24(厘米)。四邊兩圓之間水平的線段,每條線段的長(zhǎng)度正好等于兩個(gè)圓的半徑的和,也就是直徑的長(zhǎng)度,有4條線段,即水平線段的長(zhǎng)度為4×16=64(厘米)。圖(2)：在一個(gè)圓周上環(huán)繞的繩子長(zhǎng)度是這個(gè)圓的周長(zhǎng)的12,兩邊的兩個(gè)圓周加起來正好是一個(gè)圓的周長(zhǎng),即3.14×16=50.24(厘米)。上面或下面相鄰兩個(gè)圓之間水平的線段,每條線段正好等于三個(gè)圓的直徑的和,兩條線段就是六個(gè)圓的直徑的和,即6×16=96(厘米)。解答：3.14×16+4×16=50.24+64=114.24(厘米)3.14×16+6

4、15;16=50.24+96=146.24(厘米)答:圖(1)方法用去了114.24厘米的繩子,圖(2)方法用去了146.24厘米的繩子?！纠?】求下面陰影部分的面積。（單位：厘米）（1） （2） 思路分析：（1）本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用“割補(bǔ)平移法”將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求出陰影部分的面積。解答時(shí)，只要將左邊陰影平移到右邊空白部分或者將右邊陰影平移到左邊空白部分，陰影就轉(zhuǎn)化為一個(gè)邊長(zhǎng)是5厘米的正方形。這樣求出正方形的面積就是陰影部分的面積。（2）本題考查的知識(shí)點(diǎn)是外圓內(nèi)方的陰影部分的面積。解答時(shí)，要明確的是陰影部分的面積等于圓的面積減去正方形的面積，正方形的面積等于以圓的直徑為底邊，圓的半徑

5、為高的兩個(gè)等大的三角形的面積之和，據(jù)此解答即可。解答：（1）5×5=25（平方厘米）答：陰影部分的面積是25平方厘米。（2）3.14×（10÷2）-10×（10÷2）÷2×2=3.14×25-10×5=78.5-50=28.5（平方厘米）答：陰影部分的面積是28.5平方厘米?！纠?】下面圖形中的陰影部分是扇形嗎？是的在括號(hào)里畫“”，不是的畫“×”。思路分析：由扇形的定義可知，由圓心角的兩條邊和圓心所對(duì)的弧圍成的圖形是扇形。第一個(gè)圖形就是由圓心角和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形，因此第一個(gè)是扇形；第二個(gè)

6、和第三個(gè)都不是圓心角，所以第二個(gè)和第三個(gè)都不是扇形。解答：要點(diǎn)提示：抓住扇形的本質(zhì)特征，嚴(yán)格按照扇形的定義判斷?！纠?】一個(gè)圓形水池的半徑是5米，為迎接國(guó)慶，現(xiàn)需在水池的周圍擺放盆花，每隔3.14米放一盆，求一共可以放多少盆花？思路分析：要求圓形水池周圍一共可以擺放多少盆鮮花，就要先求出這個(gè)圓形水池的周長(zhǎng)，然后再根據(jù)周長(zhǎng)和盆花擺放的間隔距離即可求出所需。圓形水池的半徑是5米，我們可以利用公式C=2r求出這個(gè)水池的周長(zhǎng)。要點(diǎn)提示：已知半徑求圓的周長(zhǎng)，可以直接利用公式C=2r計(jì)算。解答：3.14×5×2=31.4（米） 31.4÷3.14=10（盆） 答：一共可以放1

7、0盆花?！纠?】?jī)芍幻鄯浞謩e沿著涂色部分的邊緣爬1次，哪只蜜蜂爬過的路線長(zhǎng)？（兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等）思路分析：要想比較這兩只蜜蜂誰爬過的路線長(zhǎng)，就是比較左右兩個(gè)圖中涂色部分的周長(zhǎng)。要點(diǎn)提示：四個(gè)小扇形的弧長(zhǎng)之和正好是一個(gè)圓的周長(zhǎng)。我們先觀察左圖，陰影部分的周長(zhǎng)是外部正方形的周長(zhǎng)與內(nèi)部以正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓周長(zhǎng)之和；再觀察右圖，陰影部分的周長(zhǎng)是外部正方形的周長(zhǎng)與四個(gè)以正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑的小扇形的弧長(zhǎng)之和，而這四個(gè)小扇形的周長(zhǎng)加起來剛好是以正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓周長(zhǎng)。因此，這兩只蜜蜂爬過的路線一樣長(zhǎng)。解答：這兩只蜜蜂爬過的路線一樣長(zhǎng)?！纠?】一只掛鐘的分針長(zhǎng)20厘米，經(jīng)過30分鐘后，

8、分針掃過的面積是多少平方厘米？要點(diǎn)提示：將實(shí)際問題與學(xué)過的知識(shí)聯(lián)系起來是常用的數(shù)學(xué)方法之一。思路分析：要解答這道題之前，我們要先知道鐘面上有三根針，其中分針每走一格，就是過了1分鐘。題中的分針走了30分鐘，我們假如它是從1走到了6，也就是走了180°，它掃過的面積恰好是以分針長(zhǎng)度為半徑的一個(gè)半圓，那我們就可以通過圓的面積公式S=r2求出它掃過的面積。解答：3.14×202 ÷2=628（平米厘米） 答：分針掃過的面積是628平方厘米?！纠?】如圖，一個(gè)半徑為1厘米的小圓盤沿著一個(gè)半徑為4厘米的大圓盤外側(cè)做無滑動(dòng)的滾動(dòng)當(dāng)小圓盤的中心圍繞大圓盤中心轉(zhuǎn)動(dòng)90度后，小圓盤

9、運(yùn)動(dòng)過程中掃過的面積是多少平方厘米？思路分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓環(huán)的面積，需要注意是外圓半徑是4+1×2=6厘米，然后根據(jù)圓環(huán)的面積公式求得面積后乘，最后還要加上一個(gè)小圓的面積。解答：4+1×2=6（厘米）3.14×（6-4）×+3.14×1=3.14×20×+3.14=15.7+3.14=18.84（平方厘米）答：小圓盤運(yùn)動(dòng)過程中掃過的面積是18.84平方厘米?！纠?0】一個(gè)花壇的形狀如圖所示，中間正方形的邊長(zhǎng)為10米，四周是四個(gè)半圓形，這個(gè)花壇的占地面積是多少平方米？思路分析：觀察上圖可知，花壇的中間是一個(gè)正方形，正方

10、形的四周分別是4個(gè)半圓，因此這個(gè)花壇的面積就等于一個(gè)正方形的面積與四個(gè)半圓的面積之和。要點(diǎn)提示：解決求組合圖形的面積時(shí)，一般要將它們分割成幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，分別求出簡(jiǎn)單圖形的面積，再求出它們的和或差。 我們知道，正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，已知正方形的邊長(zhǎng)是10米，可以直接利用正方形的面積公式求出正方形的面積。求半圓的面積就要先求出半圓的半徑，觀察圖形可知，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，因此半圓的半徑是正方形邊長(zhǎng)的一半，即5米，求出半徑就可以求半圓的面積了。最后將各部分面積加起來即可。解答：半圓的半徑：10÷2=5（米） 一個(gè)半圓的面積： 3.14×52÷2 =

11、3.14×25÷2 =39.25（平方米） 四個(gè)半圓的面積：39.25×4=157（平方米） 正方形的面積：10×10=100（平方米） 花壇的面積：157+100=257（平方米）答：這個(gè)花壇的占地面積是257平方米?！纠?1】如下圖所示，等邊三角形的空白部分是三個(gè)相同的扇形，三角形的邊長(zhǎng)是20厘米，求陰影部分的周長(zhǎng)。 要點(diǎn)提示：三個(gè)扇形和在一起正好是一個(gè)半圓。思路分析：我們知道，等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都是60°。另外，由題意可知，三個(gè)小扇形的半徑都是三角形邊長(zhǎng)的一半，即20÷2=10（厘米）。因此，將三個(gè)小扇形合在一起正好是一個(gè)半

12、徑為10厘米的半圓，所以要求上圖中陰影部分的周長(zhǎng)，就是求半徑為10厘米的圓的周長(zhǎng)的一半。解答：3.14×10×2÷2=31.4（厘米）答：陰影部分的周長(zhǎng)是31.4厘米?！纠?2】從一張三角形鐵皮上剪下三個(gè)半徑都是3厘米的扇形。這3個(gè)扇形的面積和是多少平方厘米。 思路分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化法解答扇形的面積，解答時(shí)，根據(jù)這3個(gè)扇形的面積和是半徑為3厘米的半圓的面積利用圓的面積公式解答。解答：把這3個(gè)扇形拼在一起，能得到半徑為3厘米的半圓。3.14×3÷2=3.14×9÷2=14.13（平方厘米）答：這3個(gè)扇形的面積和是

13、14.13平方厘米?！纠?3】如圖。一只小狗拴在等邊三角形的墻角，墻邊長(zhǎng)3米。繩長(zhǎng)4米，求這只小狗最多能看護(hù)的面積。思路分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用與圓有關(guān)的組合圖形面積計(jì)算來解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。解答此題的關(guān)鍵是弄清小狗的看護(hù)范圍由哪些圖形組成。如下圖，小狗最多能看護(hù)的面積以4米為半徑圓的（綠色部分）+兩個(gè)以1米為半徑圓的（藍(lán)色部分）。解答時(shí)，利用圓心角的度數(shù)得出每個(gè)扇形面積相當(dāng)于整個(gè)圓面積的幾分之幾，最后列式解答。要點(diǎn)提示等邊三角形的任意一個(gè)內(nèi)角都是60°綠色部分是半徑是4米的圓的面積的幾分之幾：（360-60）÷360=；藍(lán)色部分占半徑是1米的圓的面積的幾分之幾：（180-60）×2÷360=。解答：3.14×42×+3.14×12×=（平方米）。答：這只小狗最多能看護(hù)的面積是43.96平方米。【例14】一個(gè)圓形水池的周長(zhǎng)是50.24米，現(xiàn)在周圍再加寬2米，這個(gè)水池的面積增加了多少平方米？ 思路分析：由題意可知，已知這個(gè)水池的形狀是一個(gè)圓形，在它的周圍再加寬2米，要求加寬部分的面積，也就是求圓環(huán)的面積（如右圖）。通過前面的學(xué)習(xí)我們知道，圓環(huán)的面積等于外圓面積減去內(nèi)圓面積的差，所以要解決這個(gè)問題必須要先求出外圓和內(nèi)圓的半徑，然后再根據(jù)圓的面積公式求解。 要點(diǎn)