高等數(shù)學(xué)電子教案7.

1、高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程第七章微分方程教學(xué)目的：1 了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2 熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。3 會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。4會(huì)用降階法解下列微分方程：畀 f（x）, yf（x，y）和yf（y，y）5 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。6掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性 微分方程的特解和通解。8會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性

2、微分方程組。9 會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)：1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法2、可降階的高階微分方程y（n） f（x）, y f（x，y）和y f（y,y）3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；4、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微 分方程；教學(xué)難點(diǎn)：1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微 分方程的特解。4、歐拉方程§ 1 微分方程的基本概念函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映利

3、用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系在實(shí)踐中具有重要意義在許多問題中 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系但是根據(jù)問題所提供的情況有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫做微分方程。 歷史悠久(與微積分同時(shí)誕生)，應(yīng)用廣泛。 微分方程建立以后 對(duì)它進(jìn)行研究 找出未知函數(shù) 來(lái)這就是解微分方程例1 一曲線通過點(diǎn)(1 2)且在該曲線上任一點(diǎn)M(x y)處的切線的斜率為 2x求這曲線的方程解設(shè)所求曲線的方程為 y y(x)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知未知函數(shù) y y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式 (稱為微分方程)(1)(3)

4、乎2xdx此外未知函數(shù)y y(x)還應(yīng)滿足下列條件x 1時(shí)y 2簡(jiǎn)記為y|x 1 2把(1)式兩端積分 得(稱為微分方程的通解)y 2xdx 即 y x2 C其中C是任意常數(shù)把條件“ x 1時(shí)y 2”代入式得2 12 C由此定出C 1把C 1代入(3)式 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件yk 1 2的解)y x2 1例2列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度0 4m/s2問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程解設(shè)列車在開始制動(dòng)后 t秒時(shí)行駛了 s米根據(jù)題意反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù) s s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式dt20

5、.4此外未知函數(shù)s s(t)還應(yīng)滿足下列條件dst 0 時(shí) s 0 v 20 簡(jiǎn)記為 s|t 0=0 s |t 0=20 dt把(4)式兩端積分一次得v 羋 0.4t C1dt再積分一次得s 0 2t2 Cit C2(7)這里Ci C2都是任意常數(shù)把條件v|t 0 20代入得20 Ci把條件s|t 0 0代入得0 C2把Ci C2的值代入及式得v 0 4t 20(8)s 0 2t2 20t(9)在(8)式中令v 0得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間200.450(s)再把t 50代入(9)得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程s 0 2 502 20 50 500(m)幾個(gè)概念微分方程表示未知函數(shù)、

6、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程叫微分方程常微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程叫偏微分方程微分方程的階微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫微分方程的階x3 yx2 y 4xy 3x2y 4y 10y12y 5y sin2xy(n) 1 0般n階微分方程F(x y yy(n) ) 0y(n) f(x y yy(n 1)微分方程的解滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解確切地說設(shè)函數(shù)y(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)如果在區(qū)間I上Fx (x)(x)(n) (x) 0那么函數(shù)y(x)就叫做微分方

7、程F(x y yy(n) ) 0在區(qū)間I上的解通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同這樣的解叫做微分方程的通解初始條件用于確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件如x xo 時(shí) y yo y y o一般寫成y x x0yo y x xoyo特解確定了通解中的任意常數(shù)以后就得到微分方程的特解即不含任意常數(shù)的解初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題如求微分方程y f(x y)滿足初始條件yx冷yo的解的問題記為y f(x, y)y x xo yo叫做微分方程的積分曲線積分曲線微分方程的解的圖形是一條曲線例3驗(yàn)證函數(shù)x Cicos kt C2 sin kt是

8、微分方程dxk2x o青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程的解解求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dxdtkC| sinkt kC2 coskt青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程k2Gcoskt k2C2sinktk2(Gcoskt C2sinkt)將駕及x的表達(dá)式代入所給方程得dt2k2(Ci cos kt C2sin kt) k2(Cicos kt C2Sin kt) 0這表明函數(shù)x Cicoskt C2s in kt滿足方程空 k2x 0因此所給函數(shù)是所給方程的解dt2d 2x例4已知

9、函數(shù)x Cicoskt C2Sinkt(k 0)是微分方程洋 k2x 0的通解 求滿足初始條件x| t o A x | t o 0的特解解 由條件 x| t 0 A 及 x Ci cos kt C2 sin kt 得Ci A再由條件 x | t 0 0 及 x (t)kCisin kt kC2cos kt 得C2 0把Ci、C2的值代入x Cicos kt C2sin kt中 得x Acos kt§7 2可分離變量的微分方程觀察與分析i求微分方程y 2x的通解為此把方程兩邊積分得y x2 C一般地 方程y f(x)的通解為y f(x)dx C(此處積分后不再加任意常數(shù))2求微分方程y

10、 2xy2的通解因?yàn)閥是未知的所以積分 2xy2dx無(wú)法進(jìn)行方程兩邊直接積分不能求出通解、i為求通解可將方程變?yōu)?一dy 2xdx兩邊積分得 y x2 C 或 y Jyx2 C青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程可以驗(yàn)證函數(shù)y 1是原方程的通解yx2 c一般地如果一階微分方程y (x, y)能寫成g(y)dy f(x)dx形式則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程G(y) F(x) C由方程G(y) F(x) C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解對(duì)稱形式的一階微分方程一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式P(x y)dx Q(x y)dy 0在這種方程中 變量x與y是對(duì)

11、稱的若把x看作自變量、y看作未知函數(shù) 則當(dāng)Q(x,y) 0時(shí)有dyP(x,y)dxQ(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)則當(dāng)P(x,y) 0時(shí)有dxQ(x,y)dyP(x,y)可分離變量的微分方程如果一個(gè)一階微分方程能寫成g(y)dy f(x)dx (或?qū)懗?y (x) (y)的形式 就是說 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy另一端只含x的函數(shù)和dx那么原方程就稱為可分離變量的微分方程討論 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1) y2xy(2)3x2! 5xy 0(3)(x22y)dx xydy=0y1 x2 2y xy是y10x :y是y_x工yx是 y 1dy 2xdx是

12、dy (3x2 5x)dx不是y (1 x)(1 y2)10 ydy 10xdx不是可分離變量的微分方程的解法第一步分離變量將方程寫成g(y)dy f(x)dx的形式第二步兩端積分 g(y)dy f (x)dx設(shè)積分后得G(y) F(x) C第三步求出由G(y) F(x) C所確定的隱函數(shù)y (x)或x (y)G(y) F(x) C y (x)或x(y)都是方程的通解其中G(y) F(x) C稱為隱式(通)解例1求微分方程史 2xy的通解dx解此方程為可分離變量方程分離變量后得1 dy 2xdxy兩邊積分得ydy 2xdx即In|y| x2 Ci22從而 y ex CieCiex因?yàn)?eCi仍

13、是任意常數(shù)把它記作C便得所給方程的通解y Cex2例 2(1 x) ydx (1 y)xdy 0解：由y 0或x 0是方程的解，當(dāng)xy 0時(shí)，變量分離1一 dx 1 dy 0x y兩邊積分 In x x In y y c,即 In xy x y c,故原方程的解為In xy| x y c; y 0; x 0.例3業(yè)丄£dx xy x y解：原式可化為：青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程dy 1 y2 dx y 顯然匚工 y0,故分離變量得兩邊積分得1-I n1 2x2)即(1 y2)(l故原方程的通解為2c 2e xInxy dy2 dy1 y1-ln

14、12y2)(ix2)2cx例4鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比 已知t 0時(shí)鈾的含量為 Mo求在衰變過程中鈾含量 M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律解 鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)dMdt由于鈾的衰變速度與其含量成正比故得微分方程其中(>0)是常數(shù)前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程由題意初始條件為M|t o Mo將方程分離變量得兩邊積分得 dM得 dM ( )dt青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高

15、等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程lnM t lnC 也即 M Ce t青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程由初始條件得 Mo Ce° C所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律MM°e t青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為kv( k為比例系數(shù))根據(jù)牛頓第二運(yùn)例5設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度成正比 零 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系解設(shè)降落傘下落速度為 v(t)降落傘所受外力為F mg動(dòng)定律F ma得函數(shù)v(

16、t)應(yīng)滿足的方程為mdv mg kv dt初始條件為v|t 0 0方程分離變量dvmg kvdtm兩邊積分得mgdv_ kvdtm1J n(mgkv)CiCemt(ce"kkC1-)將初始條件v|t 0 0代入通解得c mg k青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程_kt于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v孕1 e m )§ 3齊次方程齊次方程如果一階微分方程 dy f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫成dx青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程2 .2(

17、1) xyy、,y2x2 0是齊次方程dy dxy v y xx1x2y、1y2不是齊次方程dydx1 y2】1 x2的函數(shù) 即f (x, y)(y)則稱這方程為齊次方程xx下列方程哪些是齊次方程？dy y (y)2 1 怎 7 ；(x)1(3)( x2 /)dx xydy 0是齊次方程dydx2 2xydydxx _yy x青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程2x y 4x y 1(4)(2 x y 4)dx (x y 1)dy 0不是齊次方程魚dx(2xshy 3ych)dx 3xchdy 0 是齊次方程 xxxdy 2xshx 3ychf dy 2th _y

18、_ydx3xch xdx3 x x齊次方程的解法在齊次方程字dx中令u上x即y ux 有u X屯(u)dx分離變量得dudx(u) ux兩端積分得dudx(u) ux求出積分后再用y代替u便得所給齊次方程的通解x例1解方程y2 X2史xy魚dx dx解原方程可寫成(乂2dyy2(x)2dx xy x _y 1x因此原方程是齊次方程令衛(wèi)u則xy ux直u X辿 dx dx青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程于是原方程變?yōu)榍鄭u科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高

19、等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程分離變量u xdi £ dx u 1vdu ux -dx u得兩邊積分(1 -)duu得udxxIn|u| C ln|x|或?qū)懗蒊n|xu| u以義代上式中的xu便得所給方程的通解解:乂 Cxx(In x In y)dy ydx方程可變?yōu)镮n ?dyxln|y|-,則有：-dxxx代回原變量得：cy上dx 0xInu亠 d I n u 1 In uIn 乂。xdydx2x22xy5 x2y2解:dydx(y3)2 2xy2(2xydy3dx3(y3)2 2x22xy3 x2，u,則原方程化為dudx2 23u 6x22xu x3u22x2u

20、1 'x這是齊次方程，令青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程乙則典dx痛'所以32zdz dzx , x dx dxz22z 1當(dāng) z2 z 60,得 z 3或 z2是(1)方程的解,即y33x或y32x是方程的解,青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程當(dāng)z2 z 6 0寸，變量分離_1 dz - dx，兩邊積分的(z 3)7 (z 2)3 x5c, z z d x即(y3 3x)7 (y32x)3 x5c，又因?yàn)閥3 3x或y32x包含在通解中當(dāng)c 0時(shí),故原

21、方程的解為(y3 3x)7 (y32x)3 x15c.例4有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L y y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成 光源在原點(diǎn) 在L上任取一點(diǎn) M(x, y)作L的切線交x軸于A點(diǎn)0發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于 x軸射線 由光學(xué)及幾 何原理可以證明OA 0M因?yàn)?OA AP OP PM cot OP xy而 OM 、x2 y2于是得微分方程y x 、x2y2y整理得dx x(x)2 1這是齊次方程dy yy問題歸結(jié)為解齊次方程- , (x)2 1dy y V y令v 即

22、 x yv 得 vv v2 1ydy即y業(yè)、v2 1dy分離變量得dvy兩邊積分 得 ln(v 、v2 1) Iny lnC, v v2 1 上，(v)2 v2 1,C Cy2 2yv dC2 E 1 以yv x代入上式 得y2 2C(x C)這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為y2 z2 2C(x 號(hào))這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程§7.4線性微分方程一、線性方程線性方程方程dy P(x)y Q(x)叫做一階線性微分方程dx如果Q(x) 0則方程稱為齊次線性方程否則方程稱為非齊次線性方程方程dy P(x)y 0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程dy P(x)y Q(x

23、)的齊次線性方程dxdx下列方程各是什么類型方程？(1) (x 2)dy y 魚丄y 0是齊次線性方程dx dx x 2(2) 3x2 5x 5y 0 y 3x2 5x 是非齊次線性方程(3) y y cos x e sin x是非齊次線性方程(4) dy 10x y不是線性方程dx32(y 1)2乎 x3 0 d嚴(yán) 2 0或乎叫L 不是線性方程dxdx (y 1)2 dy x3齊次線性方程的解法齊次線性方程或 P(x)y 0是變量可分離方程分離變量后得dxdy P(x)dxy兩邊積分得In |y| P(x)dx C1或 y Ce P(x)dx (CeC9這就是齊次線性方程的通解(積分中不再加

24、任意常數(shù))例1求方程(x 2)-dy y的通解dx解這是齊次線性方程分離變量得dy dxy x 2兩邊積分得ln|y| ln|x 2| InC方程的通解為y C(x 2)非齊次線性方程的解法將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)把P(x)dxy u(x)e設(shè)想成非齊次線性方程的通解代入非齊次線性方程求得u(x)e P(x)dx u(x)e P(x)dxP(x) P(x)u(x)e P(x)dx Q(x)化簡(jiǎn)得 u(x) Q(x)e P(x)dxu(x) Q(x)e P(x)dxdx C于是非齊次線性方程的通解為P(x)dxP(x)dxy e Q(x)e dx C或y Ce P(x)

25、dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程5 -2XX例2求方呈dX才青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程解一這是一個(gè)非齊次線性方程先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程dy 型0的通解dx x 1分離變量得dy 2dxy x 1兩邊積分得In y 2ln (x 1) In C齊次線性方程的通解為y C(x

26、1)2用常數(shù)變易法 把C換成u即令y u(x 1)2代入所給非齊次線性方程得25u (x 1)2 2u (x 1) u (x 1)2 (x 1)2x 1兩邊積分得u 2(x 1)3 C2L：3再把上式代入y u(x 1)2中y (x i)2|(x 1)即得所求方程的通解為32 C因?yàn)榻舛@里P(x)P(x)dx2 § 壬 Q(x) (x 1)2 x 1(±)dxx 12ln(x 1)P(x)dxee2ln(x 1)(xQ(x)e P(x)dxdx(x51)2(x 1) 2dx(x 1)2dx13舟(X 1)2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青

27、島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程所以通解為青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程dxdxy=e ( sinxedx c)3y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C (x 1)2|(x 1* C例3.=y sinx dx解:=ex -1 e x(sinx cosx)+c2=c ex-_ (sinx cosx)是原方程的解。2二、伯努利方程伯努利方程方程黒 P(x)y叫做伯努利方程Q(x)yn (n 0 1)下列方程是什么類型方程？dy劉1。2x)y4是伯努利方程(濾y xy5y xy5是伯努利方程 dxy -y - y xy

28、1是伯努利方程y xx(4)孚 2xy 4x dx是線性方程不是伯努利方程伯努利方程的解法以yn除方程的兩邊得y n dy P(x) y1 n Q(x)dx令z y1 n得線性方程dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x)dx例4求方程申y a(lnx)y2的通解 dx xy 2孚 1y 1 alnx dx x即9 1y i alnxdx x令z y 1則上述方程成為dz 1z alnxdx x這是一個(gè)線性方程它的通解為z XC |(lnx)2以y1代z得所求方程的通解為yXC |(lnx)2 1或化為已知其求解方法的方程經(jīng)過變量代換某些方程可以化為變量可分離的方程dy 1T33例 5 d

29、x xy x y解:dxdy3 3yx y x1 dx上y3兩邊同除以xx3 dy2 yxdz亠 3dx2令xZ2x 3dydy這是n=3時(shí)的伯努利方程。dz 2y 亍2ydy x-2yz 2y3P(y)=-2yQ(y)= 2y3青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程由一階線性方程的求解公式2ydy(2y2ydydy c)ey2(22y3ey dyC)y2 12ce y若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0不是全微分方程但存在一函數(shù)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0不是全微分方程但

30、存在一函數(shù)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程ce y)x2e(e"(12 2、 2x y ) cx§7 5全微分方程全微分方程一個(gè)一階微分方程寫成P(x, y)dx Q(x, y)dy 0形式后如果它的左端恰好是某一個(gè)函數(shù)u u(x, y)的全微分 du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy那么方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0就叫做全微分方程這里亡 PZ 十 Q(x,y)而方程可寫為du(x, y) 0全微分方程的判定 若P(x, y)、Q(x, y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)P Qy x則方程P(x, y)d

31、x Q(x, y)dy 0是全微分方程全微分方程的通解若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0是全微分方程且du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy則 u(x, y) Cxy即P(x, y)dxQ(xo, y)dx C(xo,y°) G)xoyo是方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0的通解例 1 求解(5x4 3xy2 y3)dx (3x2y 3xy2 y2 )dy 0解這里P2 Q6xy 3yyx所以這是全微分方程取(xo, yo) (0, 0)有u(x,y) ；(5x4 3xy2 y3)dx Jy2dy53 2 2313x 2y xy §

32、;y于是方程的通解為x5 3x2y2 xy3 -y3 C2 3例 2.求解 2(3xy22x3 )dx 3(2x2y y2)dy 012xyP解：12xy，yP Qy x則此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，6xy2dx 4x3dx 6x2 ydy 3y2dy 03d(x2y2) d(x4) d(x3)0得 x4 3x2y2 y3 C積分因子(x, y) ( (x, y) 0)使方程(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0是全微分方程貝U函數(shù)(x, y)叫做方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0的積分因子例3通過觀察求方程的積分因子并求其通解：(1) ydx xdy 0

33、(2) (1 xy) ydx (1 xy)xdy 0解(1)方程ydx xdy 0不是全微分方程因?yàn)閐Q)也屮yy2所以 $是方程ydx xdy 0的積分因子于是yydx 2xdy 0是全微分方程所給方程的通解為z cyy(2)方程(1 xy)ydx (1 xy)xdy 0不是全微分方程將方程的各項(xiàng)重新合并得(ydx xdy) xy(ydx xdy) 0再把它改寫成d(xy) x2y2(魚 0x y這時(shí)容易看出為積分因子乘以該積分因子后方程就變?yōu)?xy)2d(xy) dx dy 0(xy)2 x y積分得通解1ln|Z| InC 即-Cexy xy yy我們也可用積分因子的方法來(lái)解一階線性方程

34、y P(x)y Q(x)若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0不是全微分方程但存在一函數(shù)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程在一階線性方程的可以驗(yàn)證 (X) e P(X)dX是一階線性方程y P(x)y Q(x)的一個(gè)積分因子y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C兩邊乘以(x) e P(x)dx得P(x)dxyeP(x)dxP(x)dxyP(x)eQ(x)e即P(x)dxyeP(x)dxP(x)dxye Q(x)e亦即P(x)dxyeP(x)dxQ(x)e兩邊積分便得通解P(x)dxyeP(x)dxQ(x)edx C或青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高

35、等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程例4用積分因子求x 2y dx xdy0的通解解：這里Mx 2y, N x ，青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程2得：方程x x 2y dx x dy 0是恰當(dāng)方程PQyx 1方程有積分因子1dxe xxQx兩邊乘以故方程的通解為:x2 2xy dxx2 一 x2 2xy dx dyy3x 3x y c3即 x3 3x2 y c§ 6可降階的高階微分方程一、y(n)f (x)型的微分方程

36、解法 積分n次y(n 1)f(x)dx C1y(n 2) f(X)dx C1dx C2例1求微分方程y 尹c(diǎn)os x的通解解對(duì)所給方程接連積分三次得ie2x2ie2x4le2x8si nxcosxsin xCiC1x C22 Ci x2 C?x C3這就是所給方程的通解或y丄e2x2si nx2C1y1e2x4ecosx2C|XC2y1 e2x8esin xGx2Gx C3這就是所給方程的通解例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng) 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù)F F(t)在 開始時(shí)刻t 0時(shí)F(0) F。隨著時(shí)間t的增大此力F均勻地減小直到t T時(shí)F(T) 0如果開始 時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn) 且初

37、速度為零求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律解設(shè)x x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置根據(jù)牛頓第二定律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為m吟 F(t)dt2由題設(shè) 力F(t)隨t增大而均勻地減小且t 0時(shí)F(0) F0所以F(t) F0 kt又當(dāng)t T時(shí)F(T) 0青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程解所給方程是y f(x y)型的設(shè)y p代入方程并分離變量后青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程從而F(t) Fo(1 *于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為d2xFo t、麗 m(1 t)其初始條件為x|t 0 0 dx|t 0 0dt把微分方程兩邊積分得2T)Ci2 6T)由初始

38、條件x|to0船0Ct C2得 Ci C2 0于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為X互山2 E)m'2 6T7、y f(x y )型的微分方程解法設(shè)y p則方程化為P f(x p)設(shè)p f(x p)的通解為p(xCi)則dydx原方程的通解為(x,Ci)y(x,Ci)dx C2例3求微分方程(1 x2)y 2xy滿足初始條件y|x 0 1 y |x 0 3的特解解所給方程是y f(x y)型的設(shè)y p代入方程并分離變量后青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程dP 半dx p 1 x2兩邊積分得In|p| ln

39、(1 x2) C即 p y Ci(1 x2) (Ci eC) 由條件y|x0 3得Ci 3 所以 y 3(1 x2)兩邊再積分得y x3 3x C2又由條件yko 1得C2 1 于是所求的特解為y x3 3x 1三、y f(y y)型的微分方程解法設(shè)y p有dp dp dydpyp -dx dy dxdy原方程化為p乎 f(y, p)dy設(shè)方程pdp f(y, p)的通解為y p (y C1)則原方程的通解為dydy(y,cjx C2例5求微分yy y 2 0的通解解設(shè)y p貝U y pdpdy代入方程得yp字 p2 ody在y 0、p 0時(shí) 約去p并分離變量得dp dyp y兩邊積分得In|

40、p| In|y| Inc即p Cy 或 y Cy(C c)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組再分離變量并兩邊積分便得原方程的通解為ln|y| Cx lnci或y CieCx(Ci ci)例5求微分yy y 2 0的通解 解設(shè)y p則原方程化為dp 2 c yp p o dy當(dāng)y 0、p 0時(shí)有%丄p o dy ydy于是 p e yCy即 y Ciy o從而原方程的通解為y C2eCldx C2eCx例6 一個(gè)離地面很高的物體 受地球引力的作用由靜止開始落向地面求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間(不計(jì)空氣阻力)§ 7高階線性微分方程、二階線性微分方程舉例引例設(shè)有一個(gè)彈簧的平衡位置為

41、坐標(biāo)原點(diǎn)上端固疋下端掛一個(gè)質(zhì)量為 m的物體取x軸鉛直向下并取物體給物體一個(gè)初始速度x是t的函數(shù)x x(t)V0 0后物體在平衡位置附近作上下振動(dòng)在振動(dòng)過程中物體的位置設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c則恢復(fù)力f cx又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力的大小與速度成正比比例系數(shù)為 則dx dt由牛頓第二定律得d2xdt2cxdxdt青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程移項(xiàng)并記2nk2 mm則上式化為dX 2ndx k2x 0dt2dt這就是在有阻尼的情況下物體自由振動(dòng)的微分方程如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力F Hsin pt的作用則有2dx 2n魚 k2x hsin ptdt2dtn其中h

42、 這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程m二階線性微分方程二階線性微分方程的一般形式為y P(x)y Q(x)y f(x)若方程右端f(x) 0時(shí)方程稱為齊次的否則稱為非齊次的二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)先討論二階齊次線性方程y P(x)y Q(x)y 0 即 d-y P(x)-dy Q(x)y 0dx2dx定理1如果函數(shù)yi(x)與y2(x)是方程y P(x)y Q(x)y 0的兩個(gè)解那么y C1y1(x) C2y2(x)也是方程的解其中C1、C2是任意常數(shù)齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理證明C1y1 C2y2 C1 y1 C2 y2C1 y1 C2y2C1 y1 C2 y2因?yàn)閥1與y2是方程

43、y P(x)y Q(x)y 0所以有y1P(x)y1 Q(x)y1 0 及 y2 P(x)y2 Q(x)y2 0從而Gy1 C2y2P(x) C1y1 C2y2 Q(x) C1y1 C2y2C1y1 P(x)y1 Q(x)y1 C2y2 P(x)y2 Q(x)y2 0 0 0青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組解因?yàn)?x i)yi xyi yi 0 x x 0青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程這就證明了 y Ciyi(x) C2y2(x)也是方程y P(x)y Q(x)y 0的解函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)設(shè)yi(x) y2(x)yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)

44、 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)ki k2kn使得當(dāng)x I時(shí)有恒等式kiyi(x) k2y2(x)knyn(x) 0成立那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)否則稱為線性無(wú)關(guān)判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法對(duì)于兩個(gè)函數(shù)它們線性相關(guān)與否只要看它們的比是否為常數(shù)如果比為常數(shù)那么它們就線性相關(guān)否則就線性無(wú)關(guān)例如1 cos2x sin2x在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的函數(shù)1 x x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的定理2如果如果函數(shù)yi(x)與y2(x)是方程y P(x)y Q(x)y 0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解那么y Ciyi(x) C2y2(x) (Ci、C2是任意常數(shù))是方程的通解例1驗(yàn)證yi cos x與y2 s

45、in x是方程y y 0的線性無(wú)關(guān)解并寫出其通解解因?yàn)閥iyicos x cos x 0y2y2sin x sin x 0所以yi cos x與y2 sin x都是方程的解因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)ki、k2要使ki cos x k2sin x 0只有ki k2 0所以cos x與sin x在(，)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的因此yi cos x與y2 sin x是方程y y 0的線性無(wú)關(guān)解方程的通解為 y Cicos x C2Sin x例2驗(yàn)證yi x與y2 ex是方程(x i)y xy y 0的線性無(wú)關(guān)解并寫出其通解解因?yàn)?x i)yi xyi yi 0 x x 0青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)

46、學(xué)教案第七章微分方程(x 1)y2 xy2 y2 (x 1)ex xex ex 0所以yi x與y2 e都是方程的解因?yàn)楸戎礶x/x不恒為常數(shù)所以yi x與y2 ex在(,)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的因此yi x與y2 ex是方程(x 1)y xy y 0的線性無(wú)關(guān)解 方程的通解為y Cix C2ex推論 如果yi (x) y2(x)yn(x)是方程y(n) ai(x)y(n "an i(x)y an(x)y 0的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解那么此方程的通解為y Ciyi(x) C2y2(x)Cnyn (x)解因?yàn)?x i)yi xyi yi 0 x x 0青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案

47、第七章微分方程解因?yàn)?x i)yi xyi yi 0 x x 0青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程其中Ci C2Cn為任意常數(shù)二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)我們把方程y P(x)y Q(x)y 0叫做與非齊次方程y P(x)y Q(x)y f(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程定理3設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一個(gè)特解Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解那么y Y(x) y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解證明提示Y(x) y*(x)P(x) Y(x) y*( x) Q(x) Y(x) y*( x)Y P(x)Y Q(x)Y y* P(x)y*

48、 Q(x)y*0 f(x) f(x)因此例如 Y Ci cos x C2sin x是齊次方程y y 0的通解y* x2 2是y y x2的一個(gè)特解 y Cicos x C2sin x x2 2是方程y y x2的通解定理4設(shè)非齊次線性微分方程y P(x)y Q(x)y f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和女口青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組解因?yàn)?x i)yi xyi yi 0 x x 0青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第七章微分方程y P(x)y Q(x)y fi(x) f2(x)而yi*( x)與y2*(x)分別是方程y P(x)y Q(x)y fi(x)與 y P(

49、x)y Q(x)y f2(x)的特解 那么yi*(x) y2*( x)就是原方程的特解證明提示yi y2*P(x) yi* y2* Q(x) yi* y2*yi* P(x)yi*Q(x)yi*y2*P(x)y2*Q(x)y2*fi (x) f2(x)§ 9二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程方程y py qy 0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程其中p、q均為常數(shù)如果yi、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解那么y Ciyi C2y2就是它的通解我們看看能否適當(dāng)選取r使y滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程為此將y erx代入方程y py qy 0得(r2 pr q)erx 0由此可見只要r滿足代數(shù)方程r2 pr q 0函數(shù)y erx就是微分方程的解特征方程方程r2 pr q 0叫做微分方程y py qy