動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法

1、軌跡方程的求法一、直接法按求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟求，其過(guò)程是建系設(shè)點(diǎn)，列出幾何等式，坐標(biāo)代換，化簡(jiǎn)整理，主要用于動(dòng)點(diǎn)具有的幾何條件比較明顯時(shí)例1、知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與的比等于常數(shù)（如圖），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線解：設(shè)M（x，y），直線MN切圓C于N，則有，即 ， 整理得，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程若，方程化為，它表示過(guò)點(diǎn)和x軸垂直的一條直線；若1，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓二、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）依賴已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)N而運(yùn)動(dòng)，則可將轉(zhuǎn)化后的動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)入已知曲線的方程或滿足的幾何條件，從而求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，此

2、法稱為代入法，一般用于兩個(gè)或兩個(gè)以上動(dòng)點(diǎn)的情況例2、已知拋物線，定點(diǎn)A（3，1），B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP:PA=1:2，當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出這個(gè)軌跡為哪種曲線解：設(shè)，由題設(shè)，P分線段AB的比， 解得.又點(diǎn)B在拋物線上，其坐標(biāo)適合拋物線方程， 整理得點(diǎn)P的軌跡方程為其軌跡為拋物線三、定義法若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程此法一般用于求圓錐曲線的方程，在高考中常填空、選擇題的形式出現(xiàn)例3 、若動(dòng)圓與圓外切且與直線x=2相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是( )（A） （B） （C） （D）解：設(shè)動(dòng)圓圓心為M，

3、由題意，動(dòng)點(diǎn)M到定圓圓心（2，0）的距離等于它到定直線x=4的距離，故所求軌跡是以（2，0）為焦點(diǎn)，直線x=4為準(zhǔn)線的拋物線，并且p=6，頂點(diǎn)是（1，0），開(kāi)口向左，所以方程是選（B）例4、一動(dòng)圓與兩圓和都外切，則動(dòng)圓圓心軌跡為( )（A）拋物線 （B）圓 （C）雙曲線的一支 （D）橢圓解：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為M，半徑為r，則有動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)的距離之差為1，由雙曲線定義知，其軌跡是以O(shè)、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，選（C）四、參數(shù)法若動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系不易直接找到，而動(dòng)點(diǎn)變化受到另一變量（角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等）的制約，則可求出x、y關(guān)于另一變量的參數(shù)方程，再化為普通方程

4、選定參變量還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響.例5、設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度之比為t（A）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且，當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形解：（1）設(shè)所求橢圓方程為由題意得解得 ，所以橢圓方程為(2)設(shè)點(diǎn)解方程組得由和得其中t1消去t，得點(diǎn)P軌跡方程為和其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分五、交軌法一般用于求二動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程其過(guò)程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出二動(dòng)曲線的方程或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動(dòng)點(diǎn)

5、軌跡的方程例6、已知兩點(diǎn)以及一條直線：y=x，設(shè)長(zhǎng)為的線段AB在直線上移動(dòng)，求直線PA和QB交點(diǎn)M的軌跡方程解：PA和QB的交點(diǎn)M（x，y）隨A、B的移動(dòng)而變化，故可設(shè)，則PA：QB：消去t，得當(dāng)t=2，或t=1時(shí)，PA與QB的交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，所以點(diǎn)M的軌跡方程是求軌跡方程的去“雜”堵“漏”方法求滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，是解析幾何的常見(jiàn)問(wèn)題，大部分同學(xué)很容易忽視求出的方程要滿足完備性和純粹性，在這實(shí)際解題中也不太會(huì)討論，下面給出了求出點(diǎn)的軌跡方程后去“雜”堵“漏”的幾種常見(jiàn)情況。一、利用三角形的頂點(diǎn)不共線去“雜”BAyOxM例1、已知點(diǎn)A（a，0），B（a，0），若MAB是以點(diǎn)M為直角頂

6、點(diǎn)的直角三角形，求頂點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)M（x，y），依題意得|MA|2|MB|2|AB|2（）2（）2（2a）2 化簡(jiǎn)得 x2y2a2 MAB的頂點(diǎn)M、A、B不共線M不能在x軸上x0故點(diǎn)M的軌跡方程為x2y2a2（x0）高考資源網(wǎng)二、利用直線的斜率必須存在去“雜”BAyOxP例2、已知點(diǎn)A（1,0），B（1,0），動(dòng)點(diǎn)P使直線PA和PB的斜率之積為2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)P（x，y）則kPAkPB2化簡(jiǎn)得2x2y22直線PA和PB的斜率存在x1故點(diǎn)P的軌跡方程為2x2y22（x1）yOxBAM三、利用點(diǎn)所在的區(qū)域范圍去“雜”例3、已知點(diǎn)A、B分別在x、y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|2

7、a（a0），求AB中點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)M（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得A（2x，0）B（0，2y）2a化簡(jiǎn)得x2y2a2 點(diǎn)A、B分別在x、y軸的正半軸上點(diǎn)M在第一象限即x0y0故點(diǎn)M的軌跡方程為x2y2a2（x0且y0）高考資源四、根據(jù)條件解不等式去“雜”例4、ABC中，已知B（1,0），C（5,0），A點(diǎn)在x軸上方，且tanBtanC4，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。yOxABC解：設(shè)A（x，y）,則tanBkAB，tanCkAC高考資源網(wǎng)（）4化簡(jiǎn)得yx26x5 A點(diǎn)在x軸上方y(tǒng)0 即x26x50解得1x5故頂點(diǎn)A的軌跡方程為yx26x5（1x5）五、討論點(diǎn)的特殊位置堵“漏”CByOxAA例5、

8、已知點(diǎn)B（1，0），C（1，0）,動(dòng)點(diǎn)A使得BAC135,求點(diǎn)A的軌跡方程解：設(shè)A（x，y）則kABkAC當(dāng)點(diǎn)A在x軸上方時(shí)，直線AB到AC的角為135tan1351,得x2y22y10當(dāng)點(diǎn)A在x軸下方時(shí)，直線AC到AB的角為135w。w-w*k&s%5￥utan1351,得x2y22y10故點(diǎn)A的軌跡方程為x2y22y10（y0）或x2y22y10（y0）簡(jiǎn)析：本題需要對(duì)點(diǎn)A的位置進(jìn)行討論，才能避免漏掉一種情況六、討論直線斜率不存在堵“漏”CyOxBA例6、ABC中，已知B（1,0），C（1,0），點(diǎn)A在第三象限，且BC45，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解：設(shè)A（x，y）（x0，y0）則tanBkAB（x1）tanCkAC由BC45得tan（BC）tan45 tan（BC）