北師大版七年級(jí)下全等三角形壓軸題分類解析

1、七年級(jí)下三角形綜合題歸類雙等邊三角形模型1 .(1)如圖7,點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連結(jié)AC和BD,相交于點(diǎn)E,連結(jié)BC.求/AEB的大小；(2)如圖8,AOAB固定不動(dòng)，保持AOCD的形狀和大小不變，將AOCD繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)(AOAB和AOCD不能重疊)，求/AEB的大小.2 .已知:點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM,zCBN都是等邊三角形，且AN、BM相交于O.求證：AN=BM求/AOB的度數(shù)ACAD AE同類變式：已知，如圖所示，在4ABC和4ADE中，ABAC,BACDAE,且點(diǎn)B,A,D在一條直線上，連接BE,CD,M

2、,N分別為BE,CD的中點(diǎn).(1)求證：BECD;AMAN.(2)在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)1800,其他條件不變，得到圖所示的圖形.請(qǐng)直接寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立圖圖4.如圖，四邊形ABCtJ口四邊形AEFG勻?yàn)檎叫?，連接BG與DE相交于點(diǎn)H.(1)證明：ABG0/XADE；(2)試猜想BHD勺度數(shù)，并說明理由；(3)將圖中正方形ABCDS點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°<BAE<180。)，設(shè)4ABE的面積為S1,4ADG勺面積為S2,判斷S1與S2的大小關(guān)系，并給予證明.5.已知：如圖，ABC是等邊三角形，過AB邊上的點(diǎn)D作DG/BC,交AC于點(diǎn)G

3、,在GD的延長線上取點(diǎn)E,使DEDB,連接AE,CD.(1)求證：AGE04DAC；(2)過點(diǎn)E作EF/DC,交BC于點(diǎn)F,請(qǐng)你連接AF,并判斷4AEF是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論.二、垂直模型(該模型在基礎(chǔ)題和綜合題中均為重點(diǎn)考察內(nèi)容)考點(diǎn)1:利用垂直證明角相等1.如圖，ZXABC中，/ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過C作CFXAE,垂足為F,過B作BDLBC交CF的延長線于D.求證：(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的長.考點(diǎn)2:利用角相等證明垂直1 .已知BE,CF是ABC勺高，且BP=ACCQ=AB試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系2 .

4、如圖，在等腰RtAABC,/AC母90°,D為BC的中點(diǎn)，DELAB,垂足為E,過點(diǎn)B作BF/AC交DE的延長線于點(diǎn)F,連接CF.(1)求證：CD=BF求證：AD±CF;連接AF,試判斷4ACF的形狀.拓展鞏固：如圖9所示,ABC是等腰直角三角形，/AC氏90°,AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,求證：/ADC=/BDEAB(提示：對(duì)比此題的條件和上面那題的條件，對(duì)比此題的圖形和上題的圖像，有什么區(qū)別和聯(lián)系？)3 .如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.(1)試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系

5、，并證明你的結(jié)論；(2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使E點(diǎn)落在BC邊上，如圖2,連接AE和GC.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.G匚F(S2)4 .如圖1,ABC的邊BC在直線l上，ACBC,且ACBC,EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EFFP(1)在圖1中，請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP,BQ.猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；(3)將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長線

6、交AC的延長線于點(diǎn)Q,連2AP,BQ,你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.(2)等腰三角形（中考重難點(diǎn)之一）考點(diǎn)1:等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用1 .如圖，ABC中，ABAC,BAC90,D是BC中點(diǎn)，EDFD,ED與AB交于E,FD與AC交于F.求證：BEAF,AECF.2 .兩個(gè)全等的含30°,60o角的三角板ade和三角板ABC,如圖所示放置，E,A,C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD,取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)ME,MC.試判斷EMC的形狀，并說明理由.壓軸題拓展：（三線合一性質(zhì)的應(yīng)用）已知 Rt ABC 中，AC BC

7、 , C 90 , D 為AB邊的中點(diǎn)，EDF90,EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F.當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)（如圖1）,易證SdefScef'Sabc.當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，Sdef,Scef,SABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.圖1A提示：此題為上面題目的綜合應(yīng)用，思路與第一題相似。3 .已知：如圖，ABC中，/ABC=45°,CD，AB于D,BE平分/ABC,且BE，AC于E,與CD相交于點(diǎn)F,H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)

8、DH與BE相交于點(diǎn)G。1(1) BF=AC(2)CE=-BF(3)CE與BC的大小關(guān)系如何2考點(diǎn)2:等腰直角三角形(45度的聯(lián)想)1 .如圖1,四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D,且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合)，另一條直角邊與/CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F.(1)如圖14-1,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過測(cè)量DE,EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是請(qǐng)證明你的上述兩猜想.如圖142,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N,使得NE=BF,進(jìn)而猜想此

9、時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明2 .在RtAABC中，AOBC,/AC況90°,D是AC的中點(diǎn)，DG，AC交AB于點(diǎn)G.(1)如圖1,E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF連結(jié)EF與CF,過點(diǎn)F作FH，F(xiàn)G交直線AB于點(diǎn)H.求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明.(2)若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在圖1圖2同類變式：(期末考試原題哦)已知：ABC為等邊三角形，M是BC延長線上一點(diǎn)，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)A,且60o角的頂點(diǎn)E在BC上滑動(dòng)，(

10、點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合)，斜邊與/ACM的平分線CF交于點(diǎn)F(1)如圖(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊得中點(diǎn)位置時(shí)猜想AE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是.連結(jié)點(diǎn)E與AB邊得中點(diǎn)N,猜想BE和CF滿足的數(shù)量關(guān)系是.請(qǐng)證明你的上述猜想；(2)如圖(2)當(dāng)點(diǎn)E在B C邊得任意位置時(shí),BCM圖（2）圖（1）四、角平分線問題1 .如圖：E在線段CD上，EAEB分另I平分/DA出口/CBA,/AEB=90，設(shè)AD=x,BC=y,且x,y滿足x2y26x8y250(1)求AD和BC的長；(2)你認(rèn)為AD和BC還有什么關(guān)系？并驗(yàn)證你的結(jié)論；(3)你能求出AB的長度嗎？若能，請(qǐng)寫出推理過程；若不能，請(qǐng)說明理由.2 .如圖，OP是/M

11、ON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)如圖，在ABC中，/ACB是直角，/B=60°,AD、CE分另是/BAG/BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在ABC中，如果/ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不斷立，3 .（北京市中考模擬題）如圖，在四邊形ABCD中,AC平分BAD,過C作1CEAB于E,并且AE-（ABAD）,貝ABCADC等于多少？24 .如圖，ZXABC中，AD平分/B

12、ACDGLBC且平分BGDEIAB于E,DF±AC于F.(1)說明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=d,求AE、的長.5、在ABCt,AB=2ACAD平分/BAGAD=BD,求證：CD±AC6、如圖，已知在AB/,/BAC為直角，AB=ACD為AC上一點(diǎn)，CHBD于E.1(1)若BD平分/ABC求證CEjBR(2)若D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，/AEDto何變化，若變化，求它的變化范圍；若不變,求出它的度數(shù)，并說明理由7已知：如圖E在4ABC的邊AC上，且/AEBWABC(1)求證：/ABEWC(2)若/BAE的平分線AF交BE于F,FD/BC交AC于D,設(shè)AB=5AC=8

13、求DC的長。五、中點(diǎn)問題1 .在ABCt, D為BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于F ,交AC的平行線BG于點(diǎn)G。DE GF ,并交AB于點(diǎn)E .連結(jié)EG .(1)求證：BG CF ；(2)請(qǐng)猜想BE CF與EF的大小關(guān)系，并加以證明2 . 如右下圖，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E為BC邊的中點(diǎn).求 證：AB 2DE .DE3.已知ABC中，ABAC,BD為AB的延長線，且BDAB,CE為ABC的AB邊上的中線.求證CD2CE（提示：倍長中線試試）附加思考題：（此題有很好地思維訓(xùn)練價(jià)值，值得深入思考探究）以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtAC

14、E,BADCAE90.連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.如圖當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是；線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是;將圖中的等腰RtABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（090）后，如圖所示，問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.6、問題：已知4ABC中，BAC2ACB,點(diǎn)D是4ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且ADCD,BDBA.探究DBC與ABC度數(shù)的比值.先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析請(qǐng)你完成下列探究過程：并加以證明.（1）當(dāng)BAC90時(shí)，依問題中的條件補(bǔ)全右圖.觀察圖形，AB與AC得數(shù)量關(guān)系為當(dāng)推出DAC15時(shí)，可進(jìn)一步推出DBC的度數(shù)為可得到DBC與ABC度數(shù)的比值為.（2）當(dāng)BAC90時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，研究DBC與AB（t數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明.8、（1）如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊BC,CD上,AEBF交于點(diǎn)O,