23時頻分布的一般理論對時頻分布有很多嚴(yán)格的數(shù)學(xué)性質(zhì)

1、2.3 時頻分布的一般理論(對時頻分布有很多嚴(yán)格的數(shù)學(xué)性質(zhì)要求。)時頻表示的線性雖然是所希望具有的重要性質(zhì)，但要描述時頻能量分布（即“瞬時功率譜密度”）時常用二次型或稱雙線性的時頻表示，二次型的時頻表示更加直觀和合理，因?yàn)槟芰勘旧砭褪且环N二次型表示。這里所說的二次型時頻表示也叫雙線性時頻表示，是指在時頻分布的積分中，信號出現(xiàn)兩次的時頻表示，如。的對稱形式的雙線性變換更能表現(xiàn)出非平穩(wěn)信號的某些重要特性。許多二次型時頻表示都可以粗略地表示能量，突出的例子如譜圖（spectrogram）和 尺度圖 ( scalogram )。譜圖定義為短時Fourier變換的模值的平方： (2.3.1)而尺度圖定義

2、為小波變換（WT）的模值的平方： (2.3.2)由于存在時寬和帶寬分辨率的矛盾，而且一般信號尤其是時變特性明顯的信號，只能取很短的時間窗寬，所以譜圖和尺度圖對能量分布的描述時非常粗糙的，且它們也不滿足作為能量分布的某些更嚴(yán)格的要求，因此它們只是二次型時頻表示，還稱不上是時頻分布。二次型時頻分布是更嚴(yán)格意義下的時頻表示，要求它能夠描述非平穩(wěn)信號的能量密度分布。為此，對時頻分布有很多嚴(yán)格的數(shù)學(xué)性質(zhì)要求。為更準(zhǔn)確地描述信號的時頻分布，我們有必要研究其他性能更好的“能量化”二次型時頻分布表示。在研究具體的時頻分布之前，有必要先討論它們的基本概念和特性。2.3.1信號的雙線性變換和局部相關(guān)函數(shù)對非平穩(wěn)信

3、號進(jìn)行時頻分析的主要目的是要設(shè)計時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)，用它表示每單位時間和每單位頻率的能量。這種時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)稱為信號的時頻分布。時頻分布有時也叫時變譜。類似于平穩(wěn)信號分析Fourier變換中的定義，我們有 在時間t和頻率f的能量密度 （2.3.5a） 在,時頻點(diǎn)處，時間-頻率網(wǎng)格內(nèi)的能量 （2.3.5b）在平穩(wěn)信號里，用二次型變換表示的相關(guān)函數(shù)和功率譜為： （2.3.6） （2.3.7）如果考慮用對稱形式定義自相關(guān)函數(shù)： （2.3.8）上式對定義非平穩(wěn)連續(xù)隨機(jī)過程的時變自相關(guān)函數(shù)富有啟發(fā)意義，將其作類似于STFT中的滑窗處理，同時沿加權(quán)，則有： （2.3.9）式中為窗函數(shù)，而稱為“局部

4、相關(guān)函數(shù)”。對局部相關(guān)函數(shù)作Fourier變換，可得到時變功率譜，即信號能量的時頻分布： （2.3.10）這表明，時頻分布也可用局部相關(guān)函數(shù)來定義。事實(shí)上，如果取不同的局部相關(guān)函數(shù)形式，就能夠得到不同的時頻分布。取窗函數(shù)（對）不加限制，而在時域取瞬時值），則有 （2.3.11）稱為瞬時相關(guān)函數(shù)。瞬時相關(guān)函數(shù)也叫雙時間信號，它與的對稱形式的雙線性變換具有相同的形式。它的Fourier變換就是著名的Wigner-Ville分布： （2.3.12）Wigner-Ville分布是時頻分布中最基本的一種，在其基礎(chǔ)上發(fā)展得到多種其他時頻分布，后面將作詳細(xì)討論。2.3.2 時頻分布的基本性質(zhì)要求對于任何一種

5、實(shí)際有用的非平穩(wěn)信號分析，通常要求時頻分布具有表示信號能量分布的特性。因此，希望時頻分布滿足下面的一些基本性質(zhì)。性質(zhì)1：時頻分布必須是實(shí)的（且希望是非負(fù)的）。注意，作為能量密度的表示，時頻分布不僅應(yīng)是實(shí)數(shù)，而且應(yīng)是非負(fù)的。但是，實(shí)際的時頻分布卻難以保證取正值，因此也就難以把時頻分布解釋為信號在時間和頻率處的瞬時能量譜密度。為了給負(fù)值的時頻分布賦以物理解釋，可認(rèn)為是信號在時間間隔流過譜窗口的能量的測度。順便提一下，時頻分布一般不用實(shí)信號，而用解析信號或基帶信號。性質(zhì)2：邊緣特性 即時頻分布關(guān)于時間和頻率的積分分別給出信號在頻率的譜密度和信號在時刻的瞬時功率。由推導(dǎo)可知，任何具有邊緣特性的聯(lián)合分布

6、都服從不確定性原理。性質(zhì)3：時頻分布關(guān)于時間和的積分應(yīng)給出信號的總能量E，即 時頻分布的不確定性原理可以只用邊緣特性來描述。任何具有邊緣特性的聯(lián)合分布都服從不確定性原理。性質(zhì)4：時頻分布的一階矩給出信號的瞬時頻率和群延遲，即 和 性質(zhì)5：有限支撐特性如果在和的總支撐區(qū)（即“取非零值的時間區(qū)間”加上“取非零值的頻率區(qū)間”所形成的連續(xù)區(qū)域）以外，信號的時頻分布等于零，我們就稱時頻分布是有限支撐的，準(zhǔn)確的說是“弱”有限支撐（“weak” finite support）。凡在信號和它的頻譜等于零的各區(qū)域，時頻分布也都應(yīng)該等于零，稱為時頻分布具有“強(qiáng)”支撐性質(zhì)。邊緣特性連同非負(fù)性一起可以保證時頻分布準(zhǔn)確

7、反映信號的譜能量，瞬時功率和總能量，還可保證時頻分布的強(qiáng)有限支撐性。表2.3.1不僅列出了上述基本性質(zhì)，同時還給出了對信號作一些常見的變換時，時頻分布應(yīng)具有某些某些“所期望具有的”相應(yīng)的數(shù)學(xué)性質(zhì)。需要注意的是，并不是所有的時頻分布都能滿足表中的所有性質(zhì)。實(shí)際中適用的時頻分布并非一定要拘泥于滿足所有基本性質(zhì)。根據(jù)應(yīng)用場合，某些性質(zhì)是不可或缺的，對它們應(yīng)給予充分注意。表2.3.1 時頻分布所希望的數(shù)學(xué)性質(zhì)P1：實(shí)值性: =P2：時移不變性：P3：頻移不變性：P4:時間邊緣特性：P5:頻率邊緣特性：P6：時間矩：P7：頻率矩：P8：時頻伸縮性：P9：瞬時頻率：P10：群時延：P11：有限時間支撐：P

8、12：有限頻率支撐：P13：酋性（Moyal公式）：P14：卷積性：P15：乘積性：P16：Fourier變換： P17：調(diào)制卷積：P18：調(diào)制乘積：熟悉表2.3.1列出的時頻分布的重要性質(zhì)將有助于我們在實(shí)際中正確地選擇合適的時頻分布。這些性質(zhì)將在后面的時頻分布舉例中用到。2.3.3 時頻分布的二次疊加原理(“互時頻分布” （簡稱“交叉項”）)線性時頻表示滿足疊加原理，這對多分量信號的分析和處理帶來很大的方便。但必須指出的實(shí)，二次型時頻分布的情況與線性時頻分布大不相同，因?yàn)槎涡突螂p線性變換破壞了線性疊加原理。但任何二次型時頻表示都滿足所謂的“二次疊加原理”，其介紹如下。令 則任何二次型時頻分

9、布服從下面的二次疊加原理： 式中代表信號的“自時頻分布”（簡稱“信號項”），它是的雙線性函數(shù)；表示信號和的“互時頻分布” （簡稱“交叉項”），它是和的雙線性函數(shù)，交叉項通常相當(dāng)于干擾。將二次疊加原理推廣到分量信號，則可得到以下一般規(guī)則：（1） 每一個信號分量都有一個對應(yīng)的自（時頻分布）分量即信號項；（2） 每一對信號分量和(其中)都有一個對應(yīng)的互（時頻分布）分量即交叉項。因此，對于一個分量信號，時頻分布將包含個信號項以及個兩兩組合的交叉項。時頻分布的交叉項一般比較嚴(yán)重，而且在大多情況下是有害的。它是時頻分布中要重點(diǎn)考察的一個性能參數(shù)。233 特征函數(shù)在一些場合，特征函數(shù)比分布本身更便于操作。2

10、31節(jié)介紹的局部相關(guān)函數(shù)和下面要介紹的特征函數(shù)是時頻分布的兩個重要的統(tǒng)計量。特征函數(shù)是概率論中的一種重要的數(shù)學(xué)工具。令是實(shí)信號的解析信號，是的時間變量t和頻率分量f的分布函數(shù)。隨機(jī)信號的特征函數(shù)用的數(shù)學(xué)期望定義： = （2321）在一些場合，特征函數(shù)比分布本身更便于操作。例如，求關(guān)于的階偏導(dǎo)和關(guān)于的階偏導(dǎo)，即可得到利用特征函數(shù)的倒數(shù)求聯(lián)合矩的公式： （2.3.22）對式（2.3.21）作級數(shù)展開，直接可證 （2.3.23）這表明，特征函數(shù)可以又聯(lián)合矩來構(gòu)造。一般說來，特征函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，然而并非每一個復(fù)變函數(shù)都可以用作特征函數(shù)，因?yàn)樗仨毷悄硞€密度函數(shù)的Fourier變換。在有些情況下，聯(lián)合矩

11、并不確定一個唯一分布。假定我們有聯(lián)合時頻分布，并且其邊緣分布分布為 和 （2.3.24）定義這些邊緣分布的特征函數(shù)分布為 和 （2.3.25）將它們與特征函數(shù)定義式（2.3.21）比較知： （2.3.26）這說明，特征函數(shù)滿足邊緣特性。更一般地， （2.3.27） 稱為廣義特征函數(shù)。顯然，當(dāng)1時，廣義特征函數(shù)即簡化為特征函數(shù)。另從式（2.3.21）知，時頻分布函數(shù)可以通過特征函數(shù)的二維Fourier反變換得到，即有 (2.3.28)這說明，選擇不同的特征函數(shù)，將得到不同的時頻分布。2.4 模糊函數(shù) 雙線性變換信號的能量域（Wigner-Ville分布）和相關(guān)域（模糊函數(shù)）的表示在非平穩(wěn)信號的分

12、析與處理中具有重要意義。 在介紹非平穩(wěn)信號的各種二維時頻分布以前，我們先討論一下模糊函數(shù)，這將在后面用到。前面說到，對雙線性變換作關(guān)于變量的Fourier變換，就得到Wigner-Ville分布，如果對該雙線性變換關(guān)于時間t作Fourier反變換，則可得到另一種二維時頻分布函數(shù)： （2.4.1a）稱為模糊函數(shù)，式中是s(t)的解析信號。同時由前面瞬時相關(guān)函數(shù)的定義知道，瞬時相關(guān)函數(shù)與雙線性變換具有相同形式，。由此可見，模糊函數(shù)可以視為瞬時相關(guān)函數(shù)關(guān)于的Fourier反變換： （2.4.1b） 有必要指出，模糊函數(shù)最早用于雷達(dá)信號分析，而且采用的是不同的定義：對瞬時相關(guān)函數(shù)作關(guān)于t的Fourie

13、r變換而不是Fourier反變換。對比模糊函數(shù)和Wigner-Ville分布知，它們都是雙線性變換信號或瞬時相關(guān)函數(shù)的某種線性變換，后者變換到時頻平面，表示能量分布，稱為能量域；而前者則變換到時延頻偏平面，表示相關(guān)，稱為相關(guān)域，可見，Wigner-Ville分布應(yīng)該是模糊函數(shù)的某種Fourier變換。事實(shí)上，它是一種簡單的二維Fourier變換。由推導(dǎo)可知，模糊函數(shù)與Wigner-Ville分布的關(guān)系為： （2.4.3）這種密切聯(lián)系后面還要推廣到其它時頻分布，雙線性變換信號的能量域和相關(guān)域的表示在非平穩(wěn)信號的分析與處理中具有重要意義。根據(jù)定義式(2.4.1),不難證明模糊函數(shù)具有以下性質(zhì)。（1） 時移：模糊函數(shù)的模對時移不敏感，即有 （2.4.4）（2） 頻移：模糊函數(shù)的模對時移不敏感: (2.4.5)(3) 濾波：令，則 （2.4.6）(4) 調(diào)制：對于調(diào)制信號，其模糊函數(shù)為 （2.4.7）信號相對于參考信號的互模糊函數(shù)定義為 （2.4.8） 式中是信號和的互瞬時相關(guān)函數(shù)的Fourier反變換： (2.4.9)其中 (2.4.10)顯然，這是一種非對稱定義。如果我們?nèi)』ニ矔r相關(guān)函數(shù)定義的對稱形式，則當(dāng)時，互瞬時相關(guān)函數(shù)退化為前面的瞬時相關(guān)函數(shù)?；ツ：瘮?shù)可以看作是信號的Fourier變換的時頻推廣。根