專題與圓有關(guān)的最值問題

1、 與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問題引例1：在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2設(shè)tanBOC=m，則m的取值范圍是_引例2：如圖，在邊長為1的等邊OAB中，以邊AB為直徑作D，以O(shè)為圓心OA長為半徑作O，C為半圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），射線AC交O于點(diǎn)E，BC=，AC=，求的最大值.引例3：如圖，BAC=60°，半徑長為1的圓O與BAC的兩邊相切，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的最大值為( ). A3 B6 C D一、題目分析： 此題是一個(gè)圓中

2、的動(dòng)點(diǎn)問題，也是圓中的最值問題，主要考察了圓內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識(shí)的銜接1引例1：通過隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩個(gè)定點(diǎn)O、A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為特殊位置（相切）進(jìn)行線段、角度有關(guān)計(jì)算，同時(shí)對(duì)三角函數(shù)值的變化（增減性）進(jìn)行了延伸考查，其實(shí)質(zhì)是高中“直線斜率”的直接運(yùn)用；2引例2：通過圓的基本性質(zhì)，尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩個(gè)定點(diǎn)A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是高中“柯西不等式”的直接運(yùn)用；3引例3：本例動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)由引例1、引例2中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，增加為三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從性質(zhì)運(yùn)用、構(gòu)圖形式、動(dòng)點(diǎn)關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度，解答中還是注意動(dòng)點(diǎn)

3、D、E與一個(gè)定點(diǎn)A構(gòu)成三角形的不變條件（DAE=60°），構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是高中“正弦定理”的直接運(yùn)用；綜合比較、回顧這三個(gè)問題，知識(shí)本身的難度并不大，但其難點(diǎn)在于學(xué)生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關(guān)鍵位置來求解，但對(duì)其真正的幾何原理卻無法通透.二、解題策略1直觀感覺，畫出圖形；2特殊位置，比較結(jié)果； 3理性分析動(dòng)點(diǎn)過程中所維系的不變條件，通過幾何構(gòu)建，尋找動(dòng)量與定量（常量）之間的關(guān)系，建立等式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化.三、中考展望與題型訓(xùn)練例一、斜率運(yùn)用如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），以A為圓心的A切x軸于點(diǎn)B，P為

4、A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)分別探索：的最大值；的最小值；的最大值；的最大值；【拓展延伸】：的范圍；的范圍；例二、圓外一點(diǎn)與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)1如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段CM長度的取值范圍是 .2如圖，O的直徑為4，C為O上一個(gè)定點(diǎn)，ABC=30°，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè))，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn)（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段CD長度的取值范圍為 ；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段A

5、D長度的最大值為 .例三、正弦定理1如圖，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作O分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 2. 如圖，定長弦CD在以AB為直徑的O上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CPAB于點(diǎn)P，若CD=3，AB=8，則PM長度的最大值是 例四、柯西不等式、配方法1如圖，已知半徑為2的O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2x4），則當(dāng)x= 時(shí)，PDCD的值最

6、大，且最大值是為 .2如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊作等邊ACD和等邊BCE，O外接于CDE，則O半徑的最小值為( ).A.4 B. C. D. 23在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫O，P是O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B，線段AB長度的最小值是 .例四、相切的應(yīng)用（有公共點(diǎn)、最大或最小夾角）1如圖，在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD的垂線交直線BC于點(diǎn)E，則線段CE長度的最小值是 .2如圖，RtABC中，C=90°，A=30°

7、，AB=4，以AC上的一點(diǎn)O為圓心OA為半徑作O，若O與邊BC始終有交點(diǎn)（包括B、C兩點(diǎn)），則線段AO的取值范圍是 . 3如圖，射線PQ射線MN，PMMN，A為PM的中點(diǎn)，O為射線PQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ACAB交MN于點(diǎn)C，當(dāng)以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓與線段PM有公共點(diǎn)時(shí)（包括P、M兩點(diǎn)），則線段OP長度的最小值為 .例五、其他幾何知識(shí)的運(yùn)用如圖所示，ACAB，AB=6，AC=4，點(diǎn)D是以AB為直徑的半圓O上一動(dòng)點(diǎn)，DECD交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)DAB=，（0°90°）若要使點(diǎn)E在線段OA上（包括O、A兩點(diǎn)），則的取值范圍為 .【題型訓(xùn)練】1如圖，已知直線l與O相離，OAl于點(diǎn)

8、A，OA=5，OA與O相交于點(diǎn)P，AB與O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C，若在O上存在點(diǎn)Q，使QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O的半徑r的取值范圍為 .2已知：如圖，RtABC中，B=90º，A=30º，BC=6cm，點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了t秒(t0)時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)，過E作EGDE交射線BC于G.（1）若點(diǎn)G在線段BC上，則t的取值范圍是 ；（2）若點(diǎn)G在線段BC的延長線上，則t的取值范圍是 .3如圖，M，N的半徑分別為2cm，4cm，圓心距MN=10cmP為M上的任意

9、一點(diǎn)，Q為N上的任意一點(diǎn)，直線PQ與連心線所夾的銳角度數(shù)為，當(dāng)P、Q在兩圓上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大值為( ).(A) (B) (C) (D)4如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 為矩形ABCD的中心，以D為圓心1為半徑作D，P為D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、OP，則AOP面積的最大值為( ). (A)4 (B) (C) (D)5如圖，在RtABC中，C=90°，AC=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長度的最小值是( ).A B C5 D6如圖，在等腰RtABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊

10、上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），過A、D、E三點(diǎn)作O，O交AC于另一點(diǎn)F，在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，線段EF長度的最小值為 7如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，C的圓心的坐標(biāo)為(-1，0)，半徑為1，若D是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則ABE面積的最小值是( ). A2 B1 C. D.8如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2，0)、(0，1)，C的圓心坐標(biāo)為(0，-1)，半徑為1，D是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E，則ABE面積的最大值是( ). A3 B C D49如圖，等腰RtABC中，ACB=90°，AC=BC=4，C的半徑為1，點(diǎn)P在斜邊AB上，PQ切O于點(diǎn)Q，則切線長PQ長度的最小值為( ). A. B. C. 3 D.410如圖BAC60°，半徑長1的O與BAC的兩邊相切，P為O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長為半徑的P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的范圍為 .11在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AB=2，則的范圍為 .12在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B是y軸右側(cè)一點(diǎn)，且AB=2，點(diǎn)C上直線y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)，且CBAB于點(diǎn)B，則，則的取值