2019年初中數(shù)學(xué)突破中考?jí)狠S的題目幾何模型之正方形地半角模型教案設(shè)計(jì)(有問(wèn)題詳解)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4W霆1 .掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系。2 .掌握正方形的性質(zhì)定理 1和性質(zhì)定理2。3 .正確運(yùn)用正方形的性質(zhì)解題。4 .通過(guò)四邊形的從屬關(guān)系滲透集合思想。5 .通過(guò)理解四種四邊形內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證觀點(diǎn)。知識(shí)結(jié)構(gòu)精彩文檔正方形的性質(zhì)因?yàn)檎叫问翘厥獾钠叫兴倪呅?，還是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有這些圖形性質(zhì)的綜合，因此正方形有以下性質(zhì)(由學(xué)生和老師一起總結(jié))。正方形性質(zhì)定理1:正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等。正方形性質(zhì)定理2:正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。說(shuō)明：定理2包括了平行四邊形， 矩形，菱形對(duì)角線

2、的性質(zhì)， 一個(gè)題設(shè)同時(shí)有四個(gè)結(jié)論，這是該定理的特點(diǎn),在應(yīng)用時(shí)需要哪個(gè)結(jié)論就用哪個(gè)結(jié)論，并非把結(jié)論寫(xiě)全。(1)正方形與矩形，菱形，平行四邊形的關(guān)系如上圖(2)正方形的性質(zhì)：正方形對(duì)邊平行。正方形四邊相等。正方形四個(gè)角都是直角。正方形對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。例1.如圖，折疊正方形紙片 ABCD,先折出折痕 BD,再折疊使 AD邊與對(duì)角線BD重合，得折痕 DG ,使AD =2,求 AG .【解析】：作GM_ BD,垂足為M.由題意可知/ ADG=GDM則 AD8 MDGDM=DA=2 AC=GM又易知：GM=BM而 BM=BD-DM=22-2=2 ( 72-1 ),.AG=

3、BM=2 應(yīng)-1 ).例2 .如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA = PB=10,并且P點(diǎn)到CD邊的距離也等于10,求正方形 ABCD 的面積？【解析】：過(guò)P作EF _L AB于F交DC于E.、-_1 ,一 .設(shè) PF =x，則 EF =10+x , BF= (10+x).2由 PB2 =PF2 +BF2 .1o可得：102 =x2+1(10 + x)2.故 x =6 .2Sabcd =16 = 256 .例3.如圖，E、F分別為正方形 ABCD的邊BC、CD上的一點(diǎn)， AM .L EF , ?垂足為M , AM = AB, 則有EF =BE +DF ,為什么？【解析】：要說(shuō)明EF=BE+D

4、F只需說(shuō)明BE=EM DF=FM可，而連結(jié) AE AF,只要能說(shuō)明 AB珞 AME ADM AMF即可.理由：連結(jié)AE、AF.由 AB=AM AB± BC, AML EF, AE 公用,.AB® AME.BE=ME同理可得， AD障 AMF.DF=MF.EF=ME+MF=BE+D F例4.如下圖E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，且/EAF=451試說(shuō)明EF = BE + DF?！窘馕觥浚簩?ADF旋轉(zhuǎn)到 ABC則4 ADF ABG AF=AG / ADF=/ BAG DF=BG./ EAF=45且四邊形是正方形, / ADF+ / BAE=45 / GA母 /

5、BAE=45即 / GAE=45.AE閣 A AEG (SASEF=EG=EB BG=EB- DF例5.如圖，在正方形ABCD的BC、CD邊上取E、 F兩點(diǎn)，使ZEAF =45、AG _L EF 于 G .求證：AG = AB【解析】：欲證AG=AB,就圖形直觀來(lái)看，應(yīng)證RtABE與RtAGEi:等，但條件不夠./EAF=45怎么用呢？顯然/ 1 + Z 2=45° ,若把它們拼在一起，問(wèn)題就解決了 【證明】：把 4AFD繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°至4AHB. / EAF=45 , .1 + / 2=45° . / 2=/3, .1 + Z 3=45° .又由旋轉(zhuǎn)

6、所得AH=AF, AE=AE.AAEF AEH.例6.(1)如圖1,在正方形 ABCD中，點(diǎn)E, F分別在邊BC,CD 上，AE, BF 交于點(diǎn) O,/AOF =90求證：BE =CF.(2)如圖2,在正方形 ABCD中，點(diǎn)E , H , F , G分別在邊 AB ,BC, CD, DA上，EF , GH 交于點(diǎn) O, /FOH =90： EF =4.求GH的長(zhǎng).1.已知點(diǎn)E , H , F , G分別在矩形 ABCD的邊AB, BC, CD, DA上,直接寫(xiě)出下列兩題的答案:EF , GH 交于點(diǎn) O, /FOH =90： EF =4.如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng);

7、如圖4,矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成圖3，求GH的長(zhǎng)(用n的代數(shù)式表示).圖4【解析】 證明：如圖1, 四邊形AB，DAB=BC/ABB/BCB90 ,/EAB/ AEB=90 . / EOBZ AOa 90 , I ，“, /FBG/ AEB=90 , ：. ZEAB=Z FBC'_ 圖1AABtE BCF,BE=CF.圖2(2)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AM/ GH BC于M 過(guò)點(diǎn)B作BN/ EF交CD N AMW BN交于點(diǎn) O, 則四邊形AMHG3四邊形BNFE勻?yàn)槠叫兴倪呅?，EF=BNGH=A M Z FOH= 90 , AM/ GH EF/BN,. / NOA=90 故由

8、得，4AB陣ABCNAM=BNG件EF=4.(3) 8 . 4n.【雙基訓(xùn)練】?其邊長(zhǎng)分別為3cm和5cm,則ACDE1.如圖6,點(diǎn)A在線段BG上，四邊形ABCD與DEFG都是正方形,的面積為 cm2 .(6)(7)2 .你可以依次剪6張正方形紙片，拼成如圖 7所示圖形.？如果你所拼得的圖形中正方形的面積為1,且正方形與正方形的面積相等，？那么正方形的面積為.3 .如圖9,已知正方形 ABCD的面積為35平方厘米，E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn).AF、CE相交于G , 并且AABF的面積為14平方厘米，ABCE的面積為5平方厘米，？那么四邊形BEGF的面積是.4 .如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條

9、直線上，AB = 2BC。分別以AB、BC為邊作正方形 ABEF和正方形BCMN，連接FN ,EC。求證：FN=EC。5.如圖，ABCD是正方形.G是BC上的一點(diǎn), (1)求證：ABFzXDAE；(2)求證：DE =EF +FB .DE _L AG 于 E , BF _L AG 于 F .【縱向應(yīng)用】6 .在正方形 ABCD中，/1=/2.求證：OF =1BE27 .在正方形 ABCD 中，Z1=Z2. AE .L DF ,一 一 1 一 求證：OG =-CE2EG _ CD8 .如圖13,點(diǎn)E為正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF _L BC , 求證：AE FG139 .已知：點(diǎn)E、F分別

10、正方形ABCD中AB和BC的中點(diǎn)，連接 AF和DE相交于點(diǎn)G ,GH _LAD 于點(diǎn) H .1、 求證：AF _L DE ;2、 如果AB =2,求GH的長(zhǎng);3、 求證：CG =CD1 . 6cm.2 . 36.3 . 4 20 cm2 （面積法）.274 .證明：FN=EC證明：在正方形 ABEF和正方形BCMNKAB=BE=EF BC=BN / FEN玄 EBC=90 .AB=2BC .EN=BC . FEIN EBC .FN=EC5 .略6 .提示：注意到基本圖形中的 AE=AF.1 .兩次應(yīng)用內(nèi)角平分線定理和CE=CFW證2 .過(guò)點(diǎn)。作 OGI DE和 CO=CG,CF=CE證.1 L

11、3, 過(guò)點(diǎn)。作 OH| BE, OF= OH=-BE27 .提示：一條線段的一半或 2倍這兩者的位置關(guān)系有哪兩種8 .提示：延長(zhǎng) AE交GF于點(diǎn)M, DC,使CH=DG接HF,證四邊形又捫I互補(bǔ)，法2:延長(zhǎng)FE, AE證全等三角形一 49 . (1)略(2) (3)作 CML DG,證 DM=AG=0.5DG5中知識(shí)結(jié)構(gòu), * ,十實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(1)定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。(2)特征:邊：兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等;內(nèi)角：四個(gè)角都是 90° ;對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。(3)主要識(shí)別方法:1 :對(duì)角線

12、相等的菱形是正方形 2:對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形3:四邊相等，有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形4: 一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形5: 一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱(chēng)為中點(diǎn)四邊形。不管原 四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形。 正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形。精彩文檔/PAD =/PDA =15 1例1.已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，求證：APBC是正三角形.【證明】：如下圖做 DGO與 ADP全等，可得 PD劭等邊,從而可得 DGC2 APg CGP,得出 PC=AD=DCP/ DCGW PCG= 150所以/ D

13、CP=30,從而得出 PBC是正三角形例2.如圖，分別以 MBC的AC和BC為一邊，在AABC的外作正方形ACDE和正方形CBFG ,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于 AB的一半.【證明】：過(guò) E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG CI, FHLEG + FH可彳導(dǎo)PQ=。2由EGN AIC,可得 EG=AI,由 BFH CBI,可得 FH=BI。AI + BI AB從而可得PQ=,22從而得證。例4.如圖，四邊形ABCD為正方形，與CD相交于F .求證：CE=CF.【證明】：順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ADE到4ABG連接 由于/ ABGW ADE=9d+450=135°從而可得B

14、, G D在一條直線上，可得 AGB 推出AE=AG=AC=G加得 AGC為等邊三角Z AGB=30,既彳導(dǎo)/ EAC=30,從而可得/ ACG.0CGB形。EC=75。DE / AC , AE= AC , AE又/ EFC=/ DFA=45+30°=75°.可證：CE=CFAA例6.設(shè)P是正方形 ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF_LAP, CF平分/DCE. 求證：PA = PF.【證明】：作 FGL CD FE± BE,可以得出 GFEC正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。_X Z2 tan Z BAP=tanZ EPF=,

15、可得 YZ=XY-X+XZ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 AB咤 PEF , 得到PA= PF ,得證?！咀C明】：順時(shí)針旋轉(zhuǎn) BPC 600 ,可得 PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+BT使最小只要 AP, PE, EF在一條直線上，即如下圖：可得最小 PA+PB+PC=AF£（3+1）例7.已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA + PB + PC的最小 值.46+ .22例8. P為正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且 PA = a, PB=2a, PC=3a,求正方 形的邊長(zhǎng).【證明】順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ABP 90

16、 0 ,可得如下圖:既得正方形邊長(zhǎng)L =(2 + )2 + (-)2|_a = 5+ 2。2出實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔【雙基訓(xùn)練】1.如圖，四邊形 ABCD是正方形，對(duì) 角線AC、BD相交于O ,四邊形BEFD是菱形，若正方形的邊長(zhǎng)為 6,AFEC?恰是一個(gè)菱形，？則/EAB 二2.如圖，ABCD是正方形，E為BF上一點(diǎn)，四邊形【縱向應(yīng)用】3.如圖，四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn) G ,E分別是邊AB, BC的中點(diǎn),/AEF =90 1且 EF 交正方形外角的平分線 CF于點(diǎn)F .(1)證明：NBAE=NFEC;(2)證明：MGE -AECF ；(3)求MEF的面積.B E C H【橫向拓

17、展】BM繞4.如圖，四邊形 ABCD是正方形，AABE是等邊三角形， M為對(duì)角線BD （不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將 點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 °得到BN，連接EN、AM、CM .求證：AAMB三AENB; 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)， AM +CM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)， AM +BM +CM的值最小，并說(shuō)明理由;當(dāng)AM +BM +CM的最小值為於+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).【練習(xí)題答案】1 . 362 .【解析】連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,彳EML AC于點(diǎn)M.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 a,貝U AC=BD=AE=2 a又AC/ BF, BOL AC EML AC,八12.BO=EM= BD=- a.2在 RtAAEM

18、, AE=j2a, EM= a./ CAE=30 .則/EAB=15 .3.(1)證明：.一/ AEF=90°,Z FEG/AEB=90°.在 RtABE中，/ AEB/ BA=90°, ./ BAE:/FEQ(2)證明：: G E分別是正方形 ABCM邊AB BC的中點(diǎn), AG=GB=BE=EC/ AGE180° 45°=135°.又CF是/ DCH勺平分線，/ ECF=90°+45°=135°.在 AGEF口 4ECF 中，AG =EC,2AGE =/ECF =135°,/GAE =ZFEC JAGE2 EC