三重積分習題

1、9-3 1. 化三重積分為三次積分, 其中積分區(qū)域W分別是: (1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0£z£xy, 0£y£1-x, 0£x£1, 于是 . (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域可表示為 , 于是 . (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域; 解 曲積分區(qū)域可表示為 , 于是 . 提示: 曲面z=x2+2y2與z=2-x2的交線在xOy面上的投影曲線為x2+y2=1. (4)由曲面cz=

2、xy(c>0), , z=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 曲積分區(qū)域可表示為 , 于是 . 提示: 區(qū)域W的上邊界曲面為曲面cz=xy , 下邊界曲面為平面z=0. 2. 設有一物體, 占有空間閉區(qū)域W=(x, y, z)|0£x£1, 0£y£1, 0£z£1, 在點(x, y, z)處的密度為r(x, y, z)=x+y+z, 計算該物體的質量. 解 . 3. 如果三重積分的被積函數(shù)f(x, y, z)是三個函數(shù)f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘積, 即f(x, y, z)= f1(x)×f2(y)

3、15;f3(z), 積分區(qū)域W=(x, y, z)|a£x£b, c£y£d, l£z£m, 證明這個三重積分等于三個單積分的乘積, 即 . 證明 . 4. 計算, 其中W是由曲面z=xy, 與平面y=x, x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0£z£xy, 0£y£x, 0£x£1, 于是 . 5. 計算, 其中W為平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所圍成的四面體. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0

4、£z£1-x-y, 0£y£1-x, 0£x£1, 于是 . 提示: . 6. 計算, 其中W為球面x2+y2+z2=1及三個坐標面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 于是 . 7. 計算, 其中W是由平面z=0, z=y, y=1以及拋物柱面y=x2所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0£z£y, x2£y£1, -1£x£1, 于是 . 8. 計算, 其中W是由錐面與平面z=h(R>0, h>0)所圍成的閉區(qū)域.

5、 解 當0£z£h時, 過(0, 0, z)作平行于xOy面的平面, 截得立體W的截面為圓Dz: , 故Dz的半徑為, 面積為, 于是 =. 9. 利用柱面坐標計算下列三重積分: (1), 其中W是由曲面及z=x2+y2所圍成的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標下積分區(qū)域W可表示為 0£q£2p, 0£r£1, , 于是 . (2), 其中W是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域. 解 在柱面坐標下積分區(qū)域W可表示為 0£q£2p, 0£r£2, , 于是 . 10. 利用球面坐標計算下列三重

6、積分: (1), 其中W是由球面x2+y2+z2=1所圍成的閉區(qū)域. 解 在球面坐標下積分區(qū)域W可表示為 0£q£2p, 0£j£p, 0£r£1, 于是 . (2), 其中閉區(qū)域W由不等式x2+y2+(z-a)2£a2, x2+y2£z2 所確定. 解 在球面坐標下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 11. 選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝腥胤e分: (1), 其中W為柱面x2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 別解: 用直角坐

7、標計算 . (2), 其中W是由球面x2+y2+z2=z所圍成的閉區(qū)域; 解 在球面坐標下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (3), 其中W是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所圍成的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (4), 其中閉區(qū)域W由不等式, z³0所確定. 解 在球面坐標下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 12. 利用三重積分計算下列由曲面所圍成的立體的體積: (1)z=6-x2-y2及; 解 在柱面坐標下積分區(qū)域W可表示為 0£q£2 p, 0£r£2, r£z£6-r2, 于是 . (2)x2+y2+z2=2az(a>0)及x2+y2=z2(含有z軸的部分); 解 在球面坐標下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (3)及z=x2+y2; 解 在柱面坐標下積分區(qū)域W可表示為 0£q£2p, 0£r£1, r2£z£r, 于是 . (4)及x2+y2=4z . 解 在柱面坐標下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 13. 球心在原點、半徑為R的