二重積分的計(jì)算方法

1、第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法教學(xué)目的：熟練掌握二重積分的計(jì)算方法教學(xué)重點(diǎn)：利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)計(jì)算二重積分教學(xué)難點(diǎn)：化二重積分為二次積分的定限問題教學(xué)內(nèi)容：利用二重積分的定義來計(jì)算二重積分顯然是不實(shí)際的,二重積分的計(jì)算是通過兩個(gè)定積分的計(jì)算(即二次積分)來實(shí)現(xiàn)的.一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分我們用幾何觀點(diǎn)來討論二重積分的計(jì)算問題.討論中,我們假定 ；假定積分區(qū)域可用不等式 表示,其中, 在上連續(xù).據(jù)二重積分的幾何意義可知,的值等于以為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積.在區(qū)間上任意取定一個(gè)點(diǎn),作平行于面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為一般地,過區(qū)間上任一

2、點(diǎn)且平行于面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為利用計(jì)算平行截面面積為已知的立體之體積的方法,該曲頂柱體的體積為從而有 (1)上述積分叫做先對Y,后對X的二次積分,即先把看作常數(shù),只看作的函數(shù),對計(jì)算從到的定積分,然后把所得的結(jié)果( 它是的函數(shù) )再對從到計(jì)算定積分.這個(gè)先對, 后對的二次積分也常記作在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,導(dǎo)出了二重積分的計(jì)算公式(1).但實(shí)際上,公式(1)并不受此條件限制,對一般的(在上連續(xù)),公式(1)總是成立的.例如:計(jì)算 解: 類似地,如果積分區(qū)域可以用下述不等式表示,且函數(shù),在上連續(xù),在上連續(xù),則 (2)顯然,(2)式是先對,后對的二次積分.二重積

3、分化二次積分時(shí)應(yīng)注意的問題1、積分區(qū)域的形狀前面所畫的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個(gè)共同點(diǎn):對于I型(或II型)區(qū)域, 用平行于軸(軸 )的直線穿過區(qū)域內(nèi)部,直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點(diǎn).如果積分區(qū)域不滿足這一條件時(shí),可對區(qū)域進(jìn)行剖分,化歸為I型(或II型)區(qū)域的并集.2、積分限的確定二重積分化二次積分, 確定兩個(gè)定積分的限是關(guān)鍵.這里,我們介紹配置二次積分限的方法 - 幾何法.畫出積分區(qū)域的圖形(假設(shè)的圖形如下 )在上任取一點(diǎn),過作平行于軸的直線,該直線穿過區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩個(gè)交點(diǎn)與,這里的、就是將,看作常數(shù)而對積分時(shí)的下限和上限；又因是在區(qū)間上任意取的,所以再將看作變量而對積分時(shí),積分的

4、下限為、上限為.例1計(jì)算,其中是由軸,軸和拋物線在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域.類似地, 例2計(jì)算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區(qū)域.例3求由曲面及所圍成的立體的體積.解: 1、作出該立體的簡圖, 并確定它在面上的投影區(qū)域 消去變量得一垂直于面的柱面 ,立體鑲嵌在其中,立體在面的投影區(qū)域就是該柱面在面上所圍成的區(qū)域2、列出體積計(jì)算的表達(dá)式 3、配置積分限, 化二重積分為二次積分并作定積分計(jì)算而 由,的對稱性有 所求立體的體積為二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1、變換公式按照二重積分的定義有現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標(biāo)中的形式.用以極點(diǎn)為中心的一族同心圓 以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線,將剖分成個(gè)小閉區(qū)域.除了包

5、含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外,小閉區(qū)域的面積可如下計(jì)算其中,表示相鄰兩圓弧半徑的平均值.(數(shù)學(xué)上可以證明: 包含邊界點(diǎn)的那些小閉區(qū)域所對應(yīng)項(xiàng)之和的極限為零, 因此, 這樣的一些小區(qū)域可以略去不計(jì))在小區(qū)域上取點(diǎn),設(shè)該點(diǎn)直角坐標(biāo)為,據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系有于是即由于也常記作, 因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發(fā)性的形式 (1)(1)式稱之為二重積分由直角坐標(biāo)變量變換成極坐標(biāo)變量的變換公式,其中,就是極坐標(biāo)中的面積元素.(1)式的記憶方法:2、極坐標(biāo)下的二重積分計(jì)算法 極坐標(biāo)系中的二重積分, 同樣可以化歸為二次積分來計(jì)算.【情形一】積分區(qū)域可表示成下述形式其中函數(shù), 在上連續(xù).則 【情形二】積分

6、區(qū)域?yàn)橄率鲂问斤@然,這只是情形一的特殊形式( 即極點(diǎn)在積分區(qū)域的邊界上 ).故 【情形三】積分區(qū)域?yàn)橄率鲂问斤@然,這類區(qū)域又是情形二的一種變形( 極點(diǎn)包圍在積分區(qū)域的內(nèi)部 ),可剖分成與,而故 則 由上面的討論不難發(fā)現(xiàn), 將二重積分化為極坐標(biāo)形式進(jìn)行計(jì)算, 其關(guān)鍵之處在于: 將積分區(qū)域用極坐標(biāo)變量表示成如下形式下面通過例子來介紹如何將區(qū)域用極坐標(biāo)變量來表示.例4將下列區(qū)域用極坐標(biāo)變量表示1、2、Ê先畫出區(qū)域的簡圖, 據(jù)圖確定極角的最大變化范圍；Ë再過內(nèi)任一點(diǎn)作射線穿過區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩交點(diǎn),將它們用極坐標(biāo)表示,這樣就得到了極徑的變化范圍.注: 本題不能利用直角坐標(biāo)下二重積分計(jì)算法來求其精確值.利用此題結(jié)果可求出著名概率積分 .而被積函數(shù)滿足 ,從而以下不等式 成立，再利用例二的結(jié)果有, ,于是不等式可改寫成下述形式故當(dāng)時(shí)有 ,即 .3、使用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的原則(1)、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2)、被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表示較簡單( 含