交通大學自主招生考試數(shù)學試題

1、2005年交通大學自主招生考試數(shù)學試卷、填空題（每題5分，共50分）2144已知方程x pxF=0（pwR）的兩根為、x2滿足為+x2 M2 + J2 ,則p =.2.設 sin8 x+cos8x , x | 0, l,則 x =.1282n 12004113 .已知 n w Z ,且.1 +=1 + ，則 n = .n20044 .如圖，將3個12cm x 12cm的正方形沿鄰邊的中點剪開，分成兩部 分，將這6部分接在一個邊長為 6短 的正六邊形上，若拼接后的圖形 是一個多面體的表面展開圖，則該多面體的體積為.5 .已知42收3 =4底x _JV3y , x、yWQ,則（x, y）=.6 .

2、化簡：22 -42 + 62 -82 + (-1 n+(2n )=.7 .若 z3 =1,且 zWC ,則 z3+2z2 +2z+20 = .8 . 一只螞蟻沿1X2X3立方體表面爬，從一條對角線一端爬到另一端所爬過的最短距離為.9 . 4封不同的信放入 4個寫好地址的信封中，全裝錯的概率為，恰好只有一封信裝錯的概率為.10 .已知等差數(shù)列 aj中，a3+a7+即+a19 =44,則 %+a9+a16 = .二、解答題（本大題共50分）1 .已知方程x3 +ax2+bx+c =0的三根分別為a、b、c,且a、b、c是不全為零的有理數(shù)，求 a、b、 c的值.2 .是否存在三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形

3、，使得 （1）最大角是最小角的兩倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分別求出該三角形；若不存在，請說明理由.23 .已知函數(shù)y =ax 8x b的最大值為9,最小值為1,求實數(shù)a、b的值. x2 14 .已知月利率為y ,采用等額還款方式，若本金為1萬元，試推導每月等額還款金額 m關于y的函數(shù)關系式（假設貸款時間為 2年）.5 .對于數(shù)列an： 133,3,5,5,5,5,5,，即正奇數(shù)k有k個，是否存在整數(shù)r、s、t,使得對于任意正整數(shù)n ,者B有an =r Jn +s +t I恒成立（lx】表示不超過x的最大整數(shù)）？7 / 62005年交通大學自主招生考試試卷參考答案、填空題（每題5分

4、，共50分）44x1x2 = x12 c2 c 22-x2 : -2x1x2 - 2x1 x2 = p+1 七+2之2+25=2+J2,當p=2飛時取等2.、f設 sin xcosx =t,因為 xH0，I, ,28841由 sin x cos x =解得t2 =或t2161282916,得 1 -2t2（舍）.所以2-2t44142,即 256t4 -512t2 +87 =0 .128.3 一 二 f 二sin xcosx =,解得 x =一或一.4633.-2005.11n1-n1-n 1=1 20042004,比較得n - -2005 .4.864 cm3 .【解答】如圖，所得到的多面體

5、相當于將四面體V -BEF、V3 CGH ,這三個小四面體都與且V -ABC的三條側棱兩兩互相垂直，VA =VB =VC =18 .所以多面體體積為183T1 ABC截去三個角 V1 - ADI、1V ABC相似，相似比為-,5.僑案用）【解答】由25/3 -3= JV3x3y ,得 2 _/3 =x + y _2qxy .3 . 一 31又因為 x、yuQ,且xy,所以 x + y= 2, xy=,解得 x = ，y = .4226 .【答案】（1 n4_2n（n +1【提示】按n的奇偶性分類討論，或找規(guī)律.7.【答案】25,z=1；19,z =1.【解答】由 z3 =1 ,得（z 一1 膜

6、2 +z+1）=0,故 z=1 或 z2+z + 1=0.又因為 z3 +2z2 +2z +20 =2（z2 +z+1 ）+18 十z3,所以 當z =1時，上式=25 ;當z2 + z +1=0時，則上式=19 .8 .【答案】3近.【提示】看側面展開圖（有三種不同情況）9 .【答案】|； 0.93【解答】全裝錯的概率是一=-；只有一封信裝錯是不可能事件，概率是0.F48 10 .【答案】33.【解答】a3a7- a11-a19=44=2ali-2a9=44= 2 a11 -a9= 44=a10=11貝U a *a *a6 =a0 +a11 *a =3a10 =33.二、解答題（本大題共50

7、分）a +b +c = -a（1）1 .【解答】由韋達定理，得 jab+bc+ca=b-（2）、abc = -c（3）b - -2a,_ 2_右 c=0,則- - -2a - 2a ,即 a=0 或 a=1.ab =b, . （a,b,c ）=（1,2,0 卜若 c#0,由（3）式，得 ab = 1,代入（2）,得 c（a+b）=b+1 ,而由（1）,得 c = 2ab ,b 1 22a+b = -2a -b -3ab =b+1 .Na -b.2223 b +b2=/a =薩，即(b+1/b 2b+2)=0.若(b3 2b+2 )=0有有理根 q ,其中(p,q ) = 1, p、q w Z

8、,則 q3 = 2( p3.【解答】將函數(shù)表達式整理，得(ya)x 8x+yb=0,由判別式 =64 -4(y -a / y b )0 ,得 y2 -(a +b )y +ab -16 0 .依題意，上述不等式解集為1,91.q p3). P . q 為偶數(shù)，令 q=2k , kwZ .代入得p3 =2( p2k 2k3 ),，p也為偶數(shù)，這與(p,q)=1矛盾.一 3 (b 2b+2 )=0無有理根.，b +1 =0 , b = 1 . ，(a,b,c )=(1,1,1)綜合上述，a, b, c)=(1,-2,0 )或(1,一1,一1).2 【解答】設三角形三邊長為n1、n、n+1(n之2,n

9、WZ ),它們所對角分別為 A、B、C(ABC).222(M2U) 人 /口n 1 i，n -；n 1n 3 4(1)由余弦定理，得 cosA 1n = n 4 ,2n n 12 n 1222c n 1 n n 1 n -4cos C 2n n -12 n -1若 C=2A,貝U cosC =2cos2 A1.代入化簡，得 2n3 -7n2 -17n + 10=0 ,即(2n -1)(n+2)(n-5 )=0 . n=5,該三角形三邊長為 4、5、6.(2)如圖，設/ A=H,則/ C=3/ A=38，過點C作CD交AB于點D,使/ ACD =日， ACD為等腰三角形又/ BDC =2日=/ BCD ,BCD也為等腰三角形.BD =BC =n 1 , AD = DC =2,.1 . ncos/BCD =cos28 =, cos/DCA =cosH =一 ,n -141 n2=- -1 .整理，得 n (n 一n-8)=0, n 無正整數(shù).n -18滿足條件的三角形不存在.a b =10,a=a=b=5.經檢驗，a = b = 5滿足題意./2441y -1ab -16 =9一2423 m4.【解答】依題息，0+y ) =m+m(1+y)+4m(1 + y)= 24y 1 y八 m =24 y 0 1 y -12 2