中考二次函數(shù)的存在性問(wèn)題全總結(jié)(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考二次函數(shù)的存在性問(wèn)題全總結(jié)【典例分析】【考點(diǎn)1】二次函數(shù)與相似三角形問(wèn)題【例1】已知拋物線(xiàn)與x軸分別交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是線(xiàn)段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)如圖1，設(shè)，當(dāng)k為何值時(shí)，.如圖2，以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形是否與相似？若相似，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1），D的坐標(biāo)為；（2）；以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形與相似，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】(1)將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法即求出拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，可求得頂點(diǎn)；(2)由A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)求出，可得為直角三角形，若，則點(diǎn)F為AD

2、的中點(diǎn)，可求出k的值；由條件可判斷，則，若以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形與相似，可分兩種情況考慮：當(dāng)或時(shí)，可分別求出點(diǎn)F的坐標(biāo)【詳解】(1)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，解得：，拋物線(xiàn)解析式為；，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(2)在中，為直角三角形，且，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，；在中，在中，若以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形與相似，則可分兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，解得：，直線(xiàn)BC的解析式為，直線(xiàn)OF的解析式為，設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為，解得：，直線(xiàn)AD的解析式為，解得：，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)OF的解析式為，解得：，綜合以上可得F點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)和直角

3、三角形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題【變式1-1】如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由（3）點(diǎn)在軸上且位于點(diǎn)的左側(cè)，若以，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）存在，或，理由見(jiàn)解析；（3）或【解析】（1）將A、C的坐標(biāo)代入求出a、c即可得到解析式；（2）先求出E點(diǎn)坐標(biāo)，然后作AE的垂直平分線(xiàn)，與x軸交于Q，與y軸交于Q'，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知Q、與A、E，Q&

4、#39;與A、E組成的三角形是以AE為底邊的等腰三角形，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)(0,x)，Q'坐標(biāo)(0,y)，根據(jù)距離公式建立方程求解即可；（3）根據(jù)A、E坐標(biāo)，求出AE長(zhǎng)度，然后推出BAE=ABC=45°，設(shè)，由相似得到或，建立方程求解即可【詳解】（1）將，代入得：，解得拋物線(xiàn)解析式為（2）存在，理由如下：聯(lián)立和，解得或E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-5)，如圖，作AE的垂直平分線(xiàn)，與x軸交于Q，與y軸交于Q'，此時(shí)Q點(diǎn)與Q'點(diǎn)的坐標(biāo)即為所求，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)(0,x)，Q'坐標(biāo)(0,y)，由QA=QE，Q'A= Q'E得：，解得，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為或（3），當(dāng)時(shí)，解得或

5、3B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，由直線(xiàn)可得AE與y軸的交點(diǎn)為(0,-1)，而A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)BAE=45°設(shè)則，和相似 或，即或解得或，或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，是中考常見(jiàn)的壓軸題型，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式1-2】如圖，已知拋物線(xiàn)(m0)與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).（1）若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，2），求拋物線(xiàn)的解析式；（2）在（1）的條件下，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)H，使AH+CH的值最小，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在第四象限內(nèi)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使

6、得以點(diǎn)A，B，M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，）；（3）當(dāng)m=時(shí)，在第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A，B，M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似. 【解析】分析：（1）把點(diǎn)（2，2）代入中，解出m的值即可得到拋物線(xiàn)的解析式；（2）由（1）中所得解析式求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，由題意可知，點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，這樣連接BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)H，根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出直線(xiàn)BC的解析式即可求得點(diǎn)H的坐標(biāo)；（3）由解析式可得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下圖，由圖可知ACB和AB

7、M是鈍角，因此存在兩種可能性：當(dāng)ACBABM，ACBMBA，分這兩種情況結(jié)合題中已知條件進(jìn)行分析解答即可.詳解：（1）把點(diǎn)（2，2）代入拋物線(xiàn)，得2=. 解得m=4. 拋物線(xiàn)的解析式為. （2）令，解得.則A（-2，0），B（4，0）. 對(duì)稱(chēng)軸x=-. 中當(dāng)x=0時(shí)，y=2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）.點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)H，此時(shí)AH+CH的值最小，設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，直線(xiàn)BC的解析式為y=. 當(dāng)x=1時(shí)，y=.點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，）. （3）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A，B，M為頂點(diǎn)的三角形與AC

8、B相似.如下圖，連接AC，BC，AM，BM，過(guò)點(diǎn)M作MNx軸于點(diǎn)N，由圖易知，ACB和ABM為鈍角，當(dāng)ACBABM時(shí)，有=，即.A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，CAB=BAM=.MNx軸，BAM=AMN=45°，AN=MN. 可設(shè)M的坐標(biāo)為：（x，-x-2）（x0），把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，得：-x-2=.化簡(jiǎn)整理得：x=2m，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（2m，-2m-2）.AM=.，AC=，AB=m+2，.解得：m=.m0，m=. 當(dāng)ACBMBA時(shí)，有=，即.CBA=BAM，ANM=BOC=，ANMBOC，=.BO=m，設(shè)ON=x，=，即MN=（x+2）.令M（x，）（

9、x0），把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，得=.解得x=m+2.即M（m+2，）.，CB=，MN=，.化簡(jiǎn)整理，得16=0，顯然不成立. 綜上所述，當(dāng)m=時(shí)，在第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A，B，M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似. 點(diǎn)睛：本題是一道二次函數(shù)和幾何圖形綜合的題目，解題的要點(diǎn)有以下兩點(diǎn)：（1）“知道點(diǎn)A、B是關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的，連接BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)H”是解答第2小題的關(guān)鍵；（2）“能根據(jù)題意畫(huà)出符合要求的圖形，知道ACB和ABM為鈍角，結(jié)合題意得到存在：當(dāng)ACBABM，ACBMBA這兩種可能情況”是解答第3小題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)2】二次函數(shù)與直角三角形問(wèn)題【例2】

10、如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)求拋物線(xiàn)的解析式；設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)交于點(diǎn)，連接、，求的面積；點(diǎn)為直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)使為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) ;(2)2;(3)見(jiàn)解析.【解析】（1）可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為頂點(diǎn)式，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線(xiàn)解析式；（2）由拋物線(xiàn)解析式可求得A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)BC解析式，利用對(duì)稱(chēng)軸可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得AD2、AC2和CD2，利用勾股定理的逆定理可判定ACD為直角三角形，則可求得其面積；（3）根據(jù)題意可分DFE=90°和EDF

11、=90°兩種情況，當(dāng)DFE=90°時(shí)，可知DFx軸，則可求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)EDF=90°時(shí)，可求得直線(xiàn)AD解析式，聯(lián)立直線(xiàn)AC和拋物線(xiàn)解析式可求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，代入直線(xiàn)BC可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)【詳解】解：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，把代入可得，解得，拋物線(xiàn)解析式為；在中，令可得，解得或，設(shè)直線(xiàn)解析式為，把代入得：，解得，直線(xiàn)解析式為，由可知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，此時(shí)，是以為斜邊的直角三角形，；由題意知軸，則，為直角三角形，分和兩種情況，當(dāng)時(shí)，即軸，則、的縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線(xiàn)上，當(dāng)時(shí)

12、，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)解析式為，直線(xiàn)解析式為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式有，解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或，綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或或【點(diǎn)睛】考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程組，可以求出函數(shù)解析式.【變式2-1】如圖，經(jīng)過(guò)軸上兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)（）交軸于點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，若以為直徑的G經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求解下列問(wèn)題：（1）用含的代數(shù)式表示出的坐標(biāo)；（2）求拋物線(xiàn)的解析式；（3）能否在拋物線(xiàn)上找到一點(diǎn)，使為直角三角形？如能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚?）點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2） 拋物線(xiàn)的解析式為；（3）滿(mǎn)足題意的點(diǎn)

13、有三個(gè)：、和 【解析】【試題分析】（1）是頂點(diǎn)式，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)x=0,則y=-3m,即點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）連接CD 、 BC，過(guò)點(diǎn)作軸于，如圖所示:根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得 ,出現(xiàn)“一線(xiàn)三等角模型”，得 得： ，解得，則拋物線(xiàn)的解析式為.（3）分三種情況分類(lèi)討論： （圖）顯然與點(diǎn)重合，點(diǎn)坐標(biāo)為 ；=（圖）作軸于，軸于，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，得，則，由于點(diǎn)坐標(biāo)，則，解得：由得坐標(biāo)： ；=（圖）延長(zhǎng)交軸于，作軸于，軸于,同理可證：，則，即,得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)所在的直線(xiàn)解析式為y=kx+b,用待定系數(shù)法，把M和D（1,4）代入得： 解得：則直線(xiàn)DM的解析式為 ,把代入得：，解得，

14、最后把代入 得,點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上述，點(diǎn)有三個(gè)：、和 【試題解析】（1）y是頂點(diǎn)式點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)x=0時(shí)，y= -3m點(diǎn)的坐標(biāo)為（2） 連接CD 、 BC，過(guò)點(diǎn)作軸于，如圖所示：BD是G的直徑DCB=ECD+BCO=ECD+EDC=BCO=EDCDEC=BOC= 拋物線(xiàn)的解析式為（3）能在拋物線(xiàn)上找到一點(diǎn)Q，使BDQ為直角三角形很明顯，點(diǎn)即在拋物線(xiàn)上，又在G上，這時(shí)與點(diǎn)重合點(diǎn)坐標(biāo)為 如圖，若為，作軸于，軸于同理可證：點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)得：,解得：（不合題意，舍去），由得坐標(biāo)： 若為,如圖，延長(zhǎng)交軸于，作軸于，軸于,同理可證：則,得，點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)所在的直線(xiàn)解析式為y=kx+b,把M和D（1,4）代入得： 解得

15、：直線(xiàn)DM的解析式為 ,把代入得：解為：（不合題意，舍去），把代入 得,點(diǎn)的坐標(biāo)為 綜合上述，滿(mǎn)足題意的點(diǎn)有三個(gè)：、和 【方法點(diǎn)睛】本題目是一道二次函數(shù)的綜合題，涉及到頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，一線(xiàn)三等角證相似，并且多次運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，直角三角形的確定（3種情況分類(lèi)討論），難度較大.【變式2-2】已知拋物線(xiàn)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，如圖，設(shè)它的頂點(diǎn)為B（1）求的值；（2）過(guò)A作x軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，求證：ABC是等腰直角三角形；（3）將此拋物線(xiàn)向下平移4個(gè)單位后，得到拋物線(xiàn)，且與x軸的左半軸交于E點(diǎn)，與y軸交于F點(diǎn)，如圖請(qǐng)?jiān)趻佄锞€(xiàn)上求點(diǎn)P，使得是以EF為直角邊的直角

16、三角形？【答案】（1）m = 2；（2）證明見(jiàn)解析；（3）滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，）【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)可知的值為0，由此得到一個(gè)關(guān)于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A點(diǎn)在y軸上求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再求C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得出ABC為等腰直角三角形；（3）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出E、F的坐標(biāo)，然后分別討論以E為直角頂點(diǎn)和以F為直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)試題解析：（1）拋物線(xiàn)y=x2-2x+m-1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，=（-2）2-4×1×（m-1）=0，解得，m=2；（2）由（1）知拋物線(xiàn)的解析式為y

17、=x2-2x+1=（x-1）2，易得頂點(diǎn)B（1，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=1，得A（0，1）由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1）過(guò)C作x軸的垂線(xiàn)，垂足為D，則CD=1，BD=xD-xB=1在RtCDB中，CBD=45°，BC=同理，在RtAOB中，AO=OB=1，于是ABO=45°，AB=ABC=180°-CBD-ABO=90°，AB=BC，因此ABC是等腰直角三角形；（3）由題知，拋物線(xiàn)C的解析式為y=x2-2x-3，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3；當(dāng)y=0時(shí)，x=-1或x=3，E（-1，0），F(xiàn)（0，-3），即OE=1，OF

18、=3第一種情況：若以E點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，設(shè)此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)為P1（x1，y1），作P1Mx軸于MP1EM+OEF=EFO+OEF=90°，P1EM=EFO，得RtEFORtP1EM，則，即EM=3P1MEM=x1+1，P1M=y1，x1+1=3y1由于P1（x1，y1）在拋物線(xiàn)C上，則有3（x12-2x1-3）=x1+1，整理得，3x12-7x1-10=0，解得，x1，或x2=-1（舍去）把x1代入中可解得，y1=P1（，）第二種情況：若以F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，設(shè)此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)為P2（x2，y2），作P2Ny軸于N同第一種情況，易知RtEFORtFP2N，得，即P2N=3FNP2N=x2，F(xiàn)

19、N=3+y2，x2=3（3+y2）由于P2（x2，y2）在拋物線(xiàn)C上，則有x2=3（3+x22-2x2-3），整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2把x2代入中可解得，y2P2（，）綜上所述，滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，）或（，）.【考點(diǎn)3】二次函數(shù)與等腰三角形問(wèn)題【例3】如圖，已知：二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（2，3）在拋物線(xiàn)上（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；（3）若拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)M，使ABM的面積等于ABC的面積，求M點(diǎn)坐標(biāo)（4）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在

20、動(dòng)點(diǎn)Q，使得BCQ為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）yx2+2x3；（2）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3），（1+，3），（2，3）；（4）存在；點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【解析】（1）由點(diǎn)A，D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，連接BD，交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得出此時(shí)PA+PD取最小值，最小值為線(xiàn)段BD的長(zhǎng)度，再由點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出PA+PD的最小值；（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出

21、點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），由ABM的面積等于ABC的面積可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（4）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，m），結(jié)合點(diǎn)B，C的坐標(biāo)可得出CQ2，BQ2，BC2，分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三種情況，找出關(guān)于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)【詳解】解：（1）將A（3，0），D（2，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，拋物線(xiàn)的表達(dá)式為yx2+2x3（2）當(dāng)y0時(shí)，x2+2x30，解得：x13，x21，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）連接BD，交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，如圖1所示PAPB，此時(shí)PA+PD取最小值，最小值為線(xiàn)段

22、BD的長(zhǎng)度點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），BD3，PA+PD的最小值為3（3）當(dāng)x0時(shí)，yx2+2x33，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2+2x3）SABMSABC，|x2+2x3|3，即x2+2x60或x2+2x0，解得：x11，x21+，x32，x40（舍去），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3），（1+，3），（2，3）（4）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，m）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），CQ2（10）2+m（3）2m2+6m+10，BQ2（11）2+（m0）2m2+4，BC2（01）2+（30）210分三種情況考慮（如圖2所示）：當(dāng)BQBC時(shí)，m2+410，解得

23、：m1，m2，點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（1，）；當(dāng)CQCB時(shí)，m2+6m+1010，解得：m30，m46，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)Q4的坐標(biāo)為（1，6）；當(dāng)QBQC時(shí)，m2+4m2+6m+10，解得：m51，點(diǎn)Q5的坐標(biāo)為（1，1）綜上所述：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在動(dòng)點(diǎn)Q，使得BCQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次（或一元一次）方程，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出

24、二次函數(shù)表達(dá)式；（2）利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，找出點(diǎn)P的位置；（3）利用兩三角形面積相等，找出關(guān)于x的一元二次方程；（4）分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三種情況，找出關(guān)于m的方程【變式3-1】如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（3，0）（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是位于x軸上方對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，F(xiàn)Cx軸，與對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)交于點(diǎn)C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使OCP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）C（4，3）；（3）P（）或（

25、）或（）或（）【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式計(jì)算求出縱坐標(biāo)，即可得解；（3）設(shè)AC、EF的交點(diǎn)為D，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后分O是頂角，C是頂角，P是頂角三種情況討論試題解析：（1）把點(diǎn)A（1，0）和B（3，0）代入得，解得，所以，拋物線(xiàn)的解析式為；（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，四邊形OECF是平行四邊形點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）；（3）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），OC的長(zhǎng)為5，點(diǎn)O是頂角頂點(diǎn)時(shí)

26、，OP=OC=5，OE=2，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）或（2，-）；點(diǎn)C是頂角頂點(diǎn)時(shí)，CP=OC=5，同理求出PF=，所以，PE=，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）或（2， ）；點(diǎn)P是頂角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在OC上，不存在.綜上所述，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P（2，）或（2，-）或（2，）或（2， ），使OCP是等腰三角形考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題【變式3-2】如圖，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)軸于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)； 是否存在點(diǎn)使為等腰三角形，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）y

27、=x2+4x+5；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，7）；（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）【解析】試題分析：（1）由直線(xiàn)解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)解析式；（2）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E、D的坐標(biāo)，從而可表示出PE和ED的長(zhǎng)，由條件可知到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；由E、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可表示出BE、CE和BC的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于E點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)試題解析：（1）點(diǎn)B（4，m）在直線(xiàn)y=x+1上，m=4+1=5，B（4，5），把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得，解得，拋物線(xiàn)

28、解析式為y=x2+4x+5；（2）設(shè)P（x，x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），則PE=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，|x2+3x+4|=2|x+1|，當(dāng)x2+3x+4=2（x+1）時(shí)，解得x=1或x=2，但當(dāng)x=1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，P（2，9）；當(dāng)x2+3x+4=2（x+1）時(shí)，解得x=1或x=6，但當(dāng)x=1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，P（6，7）；綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，7）；設(shè)P（x，x2+4x+5），則E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），BE=|x4|，CE=，BC=，當(dāng)BEC為等

29、腰三角形時(shí)，則有BE=CE、BE=BC或CE=BC三種情況，當(dāng)BE=CE時(shí)，則|x4|=，解得x=，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；當(dāng)BE=BC時(shí)，則|x4|=，解得x=4+或x=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4+，48）或（4，48）；當(dāng)CE=BC時(shí)，則=，解得x=0或x=4，當(dāng)x=4時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不合題意，舍去，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題【考點(diǎn)4】二次函數(shù)與平行四邊形問(wèn)題【例4】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（3，0），B（1，0），與y軸相交于（0，），頂點(diǎn)為P（1）求拋物線(xiàn)解析式；

30、（2）在拋物線(xiàn)是否存在點(diǎn)E，使ABP的面積等于ABE的面積？若存在，求出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出平行四邊形的面積【答案】（1）y=x2+x（2）存在，（12，2）或（1+2，2）（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四邊形的面積為 8【解析】（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax2+bx+c，把（3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式可知頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩個(gè)三角形的底相同可得要使兩個(gè)三角形面積相等則高相

31、等，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)可知E點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入解析式求出x的值即可；（3）分別討論AB為邊、AB為對(duì)角線(xiàn)兩種情況求出F點(diǎn)坐標(biāo)并求出面積即可；【詳解】（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax2+bx+c，將（3，0），（1，0），（0，）代入拋物線(xiàn)解析式得，解得：a=，b=1，c=拋物線(xiàn)解析式：y=x2+x（2）存在y=x2+x=（x+1）22P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）ABP的面積等于ABE的面積，點(diǎn)E到AB的距離等于2，設(shè)E（a，2），a2+a=2解得a1=12，a2=1+2符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（12，2）或（1+2，2）（3）點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（1，0），AB=4若AB為邊，且以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行

32、四邊形ABPF，AB=PF=4點(diǎn)P坐標(biāo)（1，2）點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，2），（5，2）平行四邊形的面積=4×2=8若AB為對(duì)角線(xiàn)，以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形AB與PF互相平分設(shè)點(diǎn)F（x，y）且點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)P（1，2） ，x=1，y=2點(diǎn)F（1，2）平行四邊形的面積=×4×4=8綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四邊形的面積為8【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，分類(lèi)討論并熟練掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是解題關(guān)鍵.【變式4-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)，經(jīng)過(guò)A（0，4）

33、，B（，0），C（，0）三點(diǎn)，且（1）求b，c的值；（2）在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線(xiàn)的菱形；（3）在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線(xiàn)的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1），；（2）D（，）；（3）存在一點(diǎn)P（3，4），使得四邊形BPOH為菱形，不能為正方形【解析】試題分析：（1）把A（0，4）代入可求c，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及，可求出b；（2）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線(xiàn)互相垂直平分，故菱形的另外一條對(duì)角線(xiàn)必在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，滿(mǎn)足條件的D點(diǎn)，就是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)；（3）由四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線(xiàn)

34、的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式即可，再根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段OB的長(zhǎng)度關(guān)系，判斷是否為正方形即可試題解析：（1）拋物線(xiàn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4），c=4，又由題意可知，、是方程的兩個(gè)根，由已知得，解得：，當(dāng)b=時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上，不合題意，舍去b=；（2）四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線(xiàn)的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，又=，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（，）即為所求的點(diǎn)D；（3）四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線(xiàn)的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線(xiàn)x=3與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，當(dāng)x=3時(shí)，=4，在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)P（3，4），使得四

35、邊形BPOH為菱形四邊形BPOH不能成為正方形，因?yàn)槿绻倪呅蜝POH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是（3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線(xiàn)上考點(diǎn)：1二次函數(shù)綜合題；2探究型；3存在型；4壓軸題【變式4-2】如圖，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)交軸與點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；(2)連接，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在軸上存在一點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；在的前提下，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1) y=x22x+4；(2) G（2，4）；(3)E（2，0）H（0，1）

36、；【解析】試題分析:（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB的解析式，進(jìn)而利用平行四邊形的對(duì)邊相等建立方程求解即可；（3）先判斷出要以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，只有EF為對(duì)角線(xiàn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程即可；先取EG的中點(diǎn)P進(jìn)而判斷出PEMMEA即可得出PM=AM，連接CP交圓E于M，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論試題解析：（1）點(diǎn)A（4，4），B（0，4）在拋物線(xiàn)y=x2+bx+c上，拋物線(xiàn)的解析式為y=x22x+4；（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+n過(guò)點(diǎn)A，B，直線(xiàn)AB的解析式為y=2x+4，設(shè)E（m，2m+4），G（m，m22m+4），四邊形

37、GEOB是平行四邊形，EG=OB=4，m22m+42m4=4，m=2，G（2，4）；（3）如圖1，由（2）知，直線(xiàn)AB的解析式為y=2x+4，設(shè)E（a，2a+4），直線(xiàn)AC：y=x6，F(xiàn)（a，a6），設(shè)H（0，p），以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，直線(xiàn)AB的解析式為y=2x+4，直線(xiàn)AC：y=x6，ABAC，EF為對(duì)角線(xiàn)，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，P=1，E（2，0）H（0，1）；如圖2，由知，E（2，0），H（0，1），A（4，4），EH=，AE=2，設(shè)AE交E于G，取EG的中點(diǎn)P，PE=，連接PC交E于M，連接EM，EM=EH=，=，=，PEM=

38、MEA，PEMMEA，PM=AM，AM+CM的最小值=PC，設(shè)點(diǎn)P（p，2p+4），E（2，0），PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，PE=，5（p+2）2=，p=或p=（由于E（2，0），所以舍去），P（，1），C（0，6），PC=，即：AM+CM=考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、單選題1將拋物線(xiàn)y=2x21向上平移若干個(gè)單位，使拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，如果這些交點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，那么平移的距離為（ ）A個(gè)單位 B1個(gè)單位 C個(gè)單位 D個(gè)單位【答案】A【解析】試題分析設(shè)拋物線(xiàn)向上平移a（a1）個(gè)單位，使拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，且這些交點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則有平移后

39、拋物線(xiàn)的解析式為：y=2x21+a，AM=a，拋物線(xiàn)y=2x21與y軸的交點(diǎn)M為（0，1），即OM=1，OA=AMOM=a1，令y=2x21+a中y=0，得到2x21+a=0，解得：x=±，B（，0），C（，0），即BC=2，又ABC為直角三角形，且B和C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即O為BC的中點(diǎn)，AO=BC，即a1=，兩邊平方得：（a1）2=，a10，a1=，解得：a=故選A【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換2如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，若是以為底的等腰三角形，則的值為（ ）A或B或C或D或【答案】B【解析】作中垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，（在左側(cè)），交軸于點(diǎn);連接P1D,P2D.易得 ，

40、將代入中得，故選B.當(dāng)PCD是以CD為底的等腰三角形時(shí),則P點(diǎn)在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)上,由C、D坐標(biāo)可求得線(xiàn)段CD中點(diǎn)的坐標(biāo),從而可以知道P點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線(xiàn)解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo).二、填空題3如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)作軸，垂足為如果以，為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是_【答案】，【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式，易求得A（-1，0），D（1，0），C（0，-1）；則ACD是等腰直角三角形，由于APDC，可知BAC=90°；根據(jù)D、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)DC的解析式，而ABDC，則直線(xiàn)AB與DC的斜率相同，再加上A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線(xiàn)

41、AB的解析式，聯(lián)立直線(xiàn)AB和拋物線(xiàn)的解析式，可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出AB、AC的長(zhǎng)在RtABC和RtAMG中，已知了BAC=AGM=90°，若兩三角形相似，則直角邊對(duì)應(yīng)成比例，據(jù)此可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】易知：A(1,0),D(1,0),C(0,1) ；則OA=OD=OC=1 ，ADC 是等腰直角三角形，ACD=90 ° ,AC=  ；又AB DC ，BAC=90 ° ；易知直線(xiàn)BD 的解析式為y=x1 ，由于直線(xiàn)AB DC

42、, 可設(shè)直線(xiàn)AB 的解析式為y=x+b, 由于直線(xiàn)AB 過(guò)點(diǎn)A(1,0) ；則直線(xiàn)AB 的解析式為：y=x+1 ，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式：  ，解得 ,；故B(2,3) ；AP=3  ；RtBAC 和RtAMG 中,AGM=PAC=90 ° , 且BA:AC=3 :  =3:1 ；若以A. M 、G 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與BCA 相似，則AG:

43、MG=1:3 或3:1 ；設(shè)M 點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m 2 1),(m<1 或m>1) 則有：MG=m 2 1 ，AG=|m+1| ；當(dāng)AM:MG=1:3 時(shí),m 2 1=3|m+1|,m 2 1=±(3m+3) ；當(dāng)m 2 1=3m+3 時(shí),m 2 3m4=0, 解得m=1( 舍去) ，m=4 ；當(dāng)m 2

44、60;1=3m3 時(shí),m 2 +3m+2=0, 解得m=1( 舍去) ，m=2 ；M 1 (4,15),M 2 (2,3) ；當(dāng)AM:MG=3:1 時(shí),3(m 2 1)=|m+1|,3m 2 3=±(m+1) ；當(dāng)3m 2 3=m+1 時(shí),3m 2 m4=0, 解得m=1( 舍去),m=  ；當(dāng)3m 2

45、60;3=m1 時(shí),3m 2 +m2=0, 解得m=1( 舍去),m= ( 舍去) ；M 3 ( , ). 故符合條件的M 點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,15),(2,3),  ( , ). 故答案為：:(4,15),(2,3),  ( , ).【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用.4如圖，直線(xiàn)y=x+2與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m）

46、，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)D，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C當(dāng)PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo) 【答案】（3，5）或（，）【解析】試題分析：由于P點(diǎn)不可能為直角頂點(diǎn)，因此就只有兩種情況：若A為直角頂點(diǎn)，過(guò)A作AB的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為C點(diǎn)，過(guò)C作y軸的平行線(xiàn)與AB的交點(diǎn)即為P點(diǎn)；若C為直角頂點(diǎn)，過(guò)A作x軸的平行線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)即為C點(diǎn)，過(guò)C作y軸的平行線(xiàn)與AB的交點(diǎn)即為P點(diǎn)解：直線(xiàn)y=x+2過(guò)點(diǎn)B（4，m），m=6，B（4，6）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式得：，解得：拋物線(xiàn)的解析式為：y=2x28x+6若A為直角頂點(diǎn)，如圖1，設(shè)AC的解析式為：y=x+b，將A點(diǎn)代入y=

47、x+b得b=3AC的解析式為y=x+3，由，解得：或（舍去）令P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則縱坐標(biāo)為5，P（3，5）；若C為直角頂點(diǎn)，如圖2，令，解得：x=或x=（舍去），令P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為，P（，）；故答案為（3，5）或（，）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題5如圖，已知拋物線(xiàn) 與 軸交于A、C兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn)B，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)Q，使ABQ成為等腰三角形，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是_. 【答案】Q1，Q2，Q3（2，2），Q4（2，3）【解析】先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，由頂點(diǎn)式知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，分別求得，并用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)，分三種情況構(gòu)造方程求得的值.【詳解

48、】如圖， 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2 當(dāng)y=0時(shí)， （x-2）2-1=0 解之：x1=3，x2=1 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0） 當(dāng)x=0時(shí)，y=3 點(diǎn)B（0，3） 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，m）. AB2=32+1=10，BQ2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，AQ2=m2+1， 要使ABQ為等腰三角形， 當(dāng)AB2=BQ2時(shí)，則（m-3）2+4=10, 解之：m1= ， m2= ， 點(diǎn)Q1 ， Q2. 當(dāng)BQ2=AQ2時(shí)，則（m-3）2+4=m2+1, 解之：m=2 所以點(diǎn)Q2（2，2）； 當(dāng)AB2=AQ2時(shí)，則10=m2+1, 解之：m=±3 若m=-3，則點(diǎn)B、A，Q在同一直線(xiàn)上，

49、m=-3舍去， 點(diǎn)Q4（2，3） 故答案為：，Q2，（2，2），（2，3）【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)難點(diǎn)在于符合條件的等腰三角形可能有多種情形，需要分類(lèi)討論6如圖，拋物線(xiàn)yx2+2x+4與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（0，2），點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)若MCD是以CD為底的等腰三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)【答案】（1+，3）或（1，3）【解析】當(dāng)MCD是以CD為底的等腰三角形時(shí)，則M點(diǎn)在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)上，由C、D坐標(biāo)可求得線(xiàn)段CD中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可知P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】MCD是以CD為底的等腰三角形，點(diǎn)M在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)

50、上，如圖，過(guò)M作軸于點(diǎn)E，則E為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，C(0,4),且D(0,2)，E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，在中,令,可得,解得，M點(diǎn)坐標(biāo)為或，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)進(jìn)行解答.7如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y=x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線(xiàn)上，點(diǎn)P在y軸上，如果四邊形ABMP是平行四邊形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)【答案】（4，-5）.【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)y=x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)度，由四

51、邊形ABMP是平行四邊形，可知M點(diǎn)在x軸右邊，PM/AB，且PM=AB=4 ，即可求出M點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】y=x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（-1，0）；B（3，0）AB=4，四邊形ABMP是平行四邊形，AB/PM，PM=AB=4，P點(diǎn)在y軸上，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，P點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=x2+2x+3上，x=4時(shí)，y=-16+8+3=-5，M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，-5）.故答案為（4，-5）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，求出A、B的長(zhǎng)度利用AB=PM求出M的橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.8已知拋物線(xiàn)y（x2）2，P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)xt分別與直線(xiàn)yx、拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，B，若ABP是等腰直角三角形，則

52、t的值為_(kāi)【答案】0或3或或3±或【解析】首先求出拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分四種情形列出方程即可解決問(wèn)題【詳解】解：由題意A（t，t），P（2，m）Bt，（t2）2，當(dāng)點(diǎn)A或B是直角頂點(diǎn)時(shí)，|2t|t（t2）2|，解得t3±或2±，當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，|t（t2）2|2|2t|，解得t或0或3，綜上所述，滿(mǎn)足條件的t的值為0或3或2±或3±或故答案是：0或3或或3±或【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.9將拋物線(xiàn)向右平

53、移2個(gè)單位,得到拋物線(xiàn)的圖象是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)平行于y軸,分別與直線(xiàn)、拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A、若是以點(diǎn)A或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求滿(mǎn)足條件的t的值,則 _ .【答案】或或或【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，將向右平移2個(gè)單位,橫坐標(biāo)減2表示出拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式.然后再根據(jù)題目條件表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),進(jìn)而能夠表示出AB的長(zhǎng)度與AP的長(zhǎng)度,然后根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等列出方程求解即可.【詳解】解：拋物線(xiàn)向右平移2個(gè)單位, 拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為, 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn), 直線(xiàn)與直線(xiàn)、拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A、B, 點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為, , , 是以點(diǎn)A或B為直角頂點(diǎn)的三角形, , 或, 整理得, 解得, 整理得, 解得, 綜上所述,滿(mǎn)足條件的t值為：或或或, 故答案為：或或或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換,等腰直角三角形的性質(zhì),根據(jù)拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的解析式表示出AB、AP或的長(zhǎng),然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵.10如圖，已知拋物線(xiàn)與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)若已知點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)【答案】，【解析】首先求出拋物線(xiàn)解析式，然后利用配方法或利用公式x=-求出對(duì)稱(chēng)軸方程，由此可設(shè)可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），若ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類(lèi)討論，逐一