暑期數(shù)模集訓(xùn)——差分方程與時間序列模型

1、專題提綱專題提綱1 差分方程引例差分方程引例2 差分方程概念差分方程概念3 特殊差分方程的解特殊差分方程的解4 平衡點及其穩(wěn)定性平衡點及其穩(wěn)定性5 差分方程組差分方程組6差分方程實例差分方程實例7 自回歸模型自回歸模型8自回歸模型識別及參數(shù)確定自回歸模型識別及參數(shù)確定9自自回歸模型實例自自回歸模型實例10 建模練習(xí)題建模練習(xí)題1 引例 某人買房子銀行貸款，幾某人買房子銀行貸款，幾年過去了，現(xiàn)在該人每月還年過去了，現(xiàn)在該人每月還款款2789.54元，且已知元，且已知2011年年前三個月的本息還款情況如前三個月的本息還款情況如右表，問銀行月利率是多少？右表，問銀行月利率是多少？ 10年年12月份還

2、款后還剩本金月份還款后還剩本金多少？自那時起需幾月還清多少？自那時起需幾月還清貸款？請列出貸款？請列出2011年起每月的年起每月的本息還款明細(xì)表。本息還款明細(xì)表。月份月份 本金（元）本金（元） 利息利息（元）（元）12404.72384.8222416.26373.2832427.86361.682 差分方程概念 微分方程：變量間存在函數(shù)關(guān)系。知道了這個關(guān)系，微分方程：變量間存在函數(shù)關(guān)系。知道了這個關(guān)系，就能夠研究變量間的聯(lián)系與變化規(guī)律。然而，這個關(guān)就能夠研究變量間的聯(lián)系與變化規(guī)律。然而，這個關(guān)系是不知道的，但我們可以建立起含自變量，因變量系是不知道的，但我們可以建立起含自變量，因變量及其導(dǎo)數(shù)

3、或微分的等式，這就是微分方程。通過對方及其導(dǎo)數(shù)或微分的等式，這就是微分方程。通過對方程的研究以求得這個函數(shù)關(guān)系，或直接揭示變量間的程的研究以求得這個函數(shù)關(guān)系，或直接揭示變量間的聯(lián)系就構(gòu)成了微分方程的主要研究內(nèi)容。聯(lián)系就構(gòu)成了微分方程的主要研究內(nèi)容。 然而然而在許多實際問題中，變量的取值是離散的在許多實際問題中，變量的取值是離散的（如（如銀行還款問題，月份只能取整數(shù)值，不能取銀行還款問題，月份只能取整數(shù)值，不能取3.56這樣這樣的值），這時為研究變量間的關(guān)系所建立的模型也是的值），這時為研究變量間的關(guān)系所建立的模型也是離散的。此外，對一些離散的。此外，對一些連續(xù)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)的數(shù)學(xué)模型（如微分方

4、程（如微分方程模型），模型），在求其數(shù)值解時也需要將其離散化處理在求其數(shù)值解時也需要將其離散化處理，從，從而將一個連續(xù)的模型轉(zhuǎn)化為一個離散的模型，這些模而將一個連續(xù)的模型轉(zhuǎn)化為一個離散的模型，這些模型就屬差分方程，應(yīng)用相應(yīng)的理論去解決。型就屬差分方程，應(yīng)用相應(yīng)的理論去解決。 一般的，對有函數(shù)關(guān)系的兩個變量，常用一般的，對有函數(shù)關(guān)系的兩個變量，常用x當(dāng)自變當(dāng)自變量，量，y當(dāng)因變量。但在差分方程中，因自變量只取整數(shù)當(dāng)因變量。但在差分方程中，因自變量只取整數(shù)值（如值（如0,1,2,3，），我們更喜歡用），我們更喜歡用n(或或t)表示自變量，表示自變量，這時因變量可用這時因變量可用x表示表示 。其函數(shù)

5、關(guān)系是。其函數(shù)關(guān)系是x=x(n)，但我們，但我們更常用更常用xn表示。如同微分方程，這個關(guān)系通常是不知表示。如同微分方程，這個關(guān)系通常是不知道的，但我們常能得到如下的式子道的，但我們常能得到如下的式子 F(n, xn, xn-1, xn-k)=0 （1） 這個式子就是差分方程。這個式子就是差分方程。 有時，（有時，（1）式也寫成下面的形式）式也寫成下面的形式 xn=f (n, xn-1, xn-k) (2) 現(xiàn)考慮銀行還貸問題，用現(xiàn)考慮銀行還貸問題，用n表示月份表示月份(n=0表示表示10年年12月月)，xn表示第表示第n月還款后還剩本金，月還款后還剩本金，r, a分別表示銀行分別表示銀行月利

6、率和月還款額，月利率和月還款額， xn （即（即x(n) ）表示了本金與月份）表示了本金與月份的函數(shù)關(guān)系（現(xiàn)在不知），但我們?nèi)菀椎玫揭粋€等式的函數(shù)關(guān)系（現(xiàn)在不知），但我們?nèi)菀椎玫揭粋€等式 xn+1=(1+r) xn -a 這就是銀行還貸問題的差分方程模型，從中就可以這就是銀行還貸問題的差分方程模型，從中就可以解出關(guān)系解出關(guān)系xn來。來。 差分方程的名稱或許是從微分方程的離散化得到的。差分方程的名稱或許是從微分方程的離散化得到的。 考慮微分方程考慮微分方程 假設(shè)方程有唯一解，但無法求出，為此，我們可以假設(shè)方程有唯一解，但無法求出，為此，我們可以通過將其離散化求數(shù)值解并作圖分析，最簡單的就是通過將

7、其離散化求數(shù)值解并作圖分析，最簡單的就是(y(xn+1)-y(xn)/h=f(xn, yn) ,從而有迭代公式從而有迭代公式 yn+1=yn+h f(xn, yn) 。 上面的商稱為差商，而其分子就叫差分。上面的商稱為差商，而其分子就叫差分。 一般的，對離散關(guān)系一般的，對離散關(guān)系xt，記記 xt=xt+1-xt, 該式稱為該式稱為xt的的一階差分，一階差分，2 xt = ( xt)= xt +1- xt = xt +2-2 xt +1+ xt 。該式稱為該式稱為xt的二階差分，依次類推。的二階差分，依次類推。00( , )()yf x yy xy 方程方程F(n,xn,xn-1, xn-k)=

8、0中中x的最大下標(biāo)與最小下標(biāo)的最大下標(biāo)與最小下標(biāo)之差稱為之差稱為差分方程的階差分方程的階。 如同微分方程一樣，差分方程的解是函數(shù)，通常有如同微分方程一樣，差分方程的解是函數(shù)，通常有無窮多個。通解是全部解的集合（體現(xiàn)在任意常數(shù)上，無窮多個。通解是全部解的集合（體現(xiàn)在任意常數(shù)上，其個數(shù)與方程階數(shù)相同）。另外，在實際問題中通常其個數(shù)與方程階數(shù)相同）。另外，在實際問題中通常會給出一些條件（如會給出一些條件（如x0, x1的值），稱為初始條件。滿的值），稱為初始條件。滿足初始條件的具體的解就是特解。足初始條件的具體的解就是特解。 差分方程問題的研究內(nèi)容：差分方程問題的研究內(nèi)容： 1 差分方程的建立（取離

9、散值的變量關(guān)系建立，也差分方程的建立（取離散值的變量關(guān)系建立，也可將連續(xù)問題離散化）；可將連續(xù)問題離散化）； 2 差分方程的求解和分析（這需要掌握一定的差分差分方程的求解和分析（這需要掌握一定的差分方程理論）。方程理論）。 差分方程在實際問題中有廣泛的應(yīng)用。差分方程在實際問題中有廣泛的應(yīng)用。 差分方程的求解并不比微分方程容易，大部分差分差分方程的求解并不比微分方程容易，大部分差分方程是無法求解的。這里介紹方程是無法求解的。這里介紹最簡單同時用處很大最簡單同時用處很大的的一類特殊差分方程的求解。一類特殊差分方程的求解。 常系數(shù)線性齊次差分方程，其一般形式為常系數(shù)線性齊次差分方程，其一般形式為 a

10、0 xn+a1xn-1+akxn-k=0 (3) 其中其中a0,a1,ak是常數(shù)。是常數(shù)。 方程（方程（3）有解，其求解步驟為）有解，其求解步驟為: 步驟步驟1: 求解對應(yīng)的特征方程求解對應(yīng)的特征方程 a0k+a1 k-1+ak=0 （4） 步驟步驟2: 根據(jù)步驟根據(jù)步驟1的解的情況寫出（的解的情況寫出（3）的通解；）的通解； 3 特殊差分方程的解 情況情況1：若：若是（是（4）的一個單實根，則）的一個單實根，則n是（是（3）的）的一個特解。若一個特解。若1, 2, k是（是（4）的）的k個個全部全部不同的單不同的單實根，則（實根，則（3）的通解為）的通解為x(n)=C1 1n +C2 2n+

11、Ck kn（ C1 ， C2 ，Ck 是任意常數(shù)）。是任意常數(shù)）。 情況情況2：若：若是（是（4）的）的k重實根，則重實根，則n, nn, , nk-1n都是（都是（3）的特解。）的特解。 情況情況3：若：若= i是（是（4）的單重復(fù)根，則）的單重復(fù)根，則 ncos n與與nsin n都都是（是（3）的特解，其中）的特解，其中 ,是是的的模與幅模與幅角。角。 情況情況4 ：若：若= i是（是（4）的）的k重復(fù)根，則重復(fù)根，則 ncos n, nncos n, nk-1ncos n與與nsin n, nnsin n, nk-1nsin n都是（都是（3）的特解，其中）的特解，其中 ,是是的的模與

12、模與幅角。幅角。 將各個特解如情況將各個特解如情況1那樣與任意常數(shù)相乘再相加就那樣與任意常數(shù)相乘再相加就得（得（3）的通解。）的通解。 常系數(shù)線性非齊次差分方程，其一般形式為常系數(shù)線性非齊次差分方程，其一般形式為 a0 xn+a1xn-1+akxn-k= b(n) (5) (5)的求解方法是先求相應(yīng)齊次方程的通解，記為的求解方法是先求相應(yīng)齊次方程的通解，記為xn*，再求（再求（5）的一個特解，記為）的一個特解，記為 xn (0) （與微分方程中求（與微分方程中求非齊次方程的特解方法相類似，非齊次方程的特解方法相類似，根據(jù)根據(jù)b(n) 特點將特點將xn (0)設(shè)出，再用待定系數(shù)法將設(shè)出，再用待定

13、系數(shù)法將xn (0)確定確定），于是（），于是（5）的通）的通解為解為 xn = xn* + xn (0) 此外，不同于微分方程，對實際問題中的差分方程，此外，不同于微分方程，對實際問題中的差分方程，當(dāng)初始條件給定后，可迭代求得任意當(dāng)初始條件給定后，可迭代求得任意xn的（精確）值，的（精確）值，從而可以對從而可以對xn的變化規(guī)律進(jìn)行作圖分析。如對方程的變化規(guī)律進(jìn)行作圖分析。如對方程xn=f(n, xn-1, xn-k)，若，若x1, x2, xk 給定，就可以根據(jù)給定，就可以根據(jù)方程依次算出方程依次算出xk+1, xk+2, xk+3 來。來。 考慮銀行還貸問題，考慮銀行還貸問題， 其差分方程

14、為其差分方程為xn+1=(1+r) xn -a ，若已知，若已知x0 ，r，a，就可算出第，就可算出第1月，月，2月，月，3月等月等欠銀行錢數(shù)。欠銀行錢數(shù)。 現(xiàn)求解方程現(xiàn)求解方程xn+1=(1+r) xn a。先求解。先求解xn+1=(1+r) xn，其通解為其通解為xn *=C (1+r)n,再求其一個特解。從方程看再求其一個特解。從方程看設(shè)設(shè)xn為常數(shù)為常數(shù)x，代入得，代入得xn (0) =a/r, 于是得方程于是得方程通解：通解：xn =C (1+r)n+ a/r。利用。利用x0確定確定C可得相應(yīng)特解。可得相應(yīng)特解。 實際上，方程實際上，方程xn+1=(1+r) xn a也可用遞推法解決

15、也可用遞推法解決: xn=(1+r) xn-1 a=(1+r) (1+r) xn-2 a) a= (1+r)2 xn-2 (1+r)aa= (1+r)n x0 (1+r) (n-1) a(1+r) (n-2) a-a= (1+r)n x0 +a(1-(1+r) (n-1)/r= (x0 a/r)(1+r)n +a/r.4 平衡點及其穩(wěn)定性 差分方程雖可用迭代法進(jìn)行數(shù)值計算，但計算總歸差分方程雖可用迭代法進(jìn)行數(shù)值計算，但計算總歸只能進(jìn)行有限步，其深層次的性質(zhì)必須用其它工具進(jìn)只能進(jìn)行有限步，其深層次的性質(zhì)必須用其它工具進(jìn)行分析，平衡點就是其中一個。行分析，平衡點就是其中一個。 平衡點相當(dāng)于穩(wěn)定點或

16、不動點，對方程平衡點相當(dāng)于穩(wěn)定點或不動點，對方程xn=f(n, xn-1, xn-k) 來說就是若來說就是若xn-1, xn-k都取某一常數(shù)，比如都取某一常數(shù)，比如a，那么那么xn也一定是也一定是a，從而，從而xn+1, xn+2, xn+3, 也都取這個也都取這個值。值。 平衡點就是所有平衡點就是所有xn都取相同的值，且能使差分方程都取相同的值，且能使差分方程成立，于是將成立，于是將xn=f(n, xn-1, xn-k) 中所有的中所有的xn都換成都換成x，得到方程得到方程x=f(n, x, x) ，將其求解，其每一個解就是，將其求解，其每一個解就是一個平衡點。一個平衡點。 設(shè)設(shè)a是方程的一

17、個平衡點，是方程的一個平衡點， xn是方程的任一解，若總有是方程的任一解，若總有則稱則稱a是差分方程的一個穩(wěn)定平衡點。是差分方程的一個穩(wěn)定平衡點。 穩(wěn)定的平衡點在實際問題中有重要的應(yīng)用價值。穩(wěn)定的平衡點在實際問題中有重要的應(yīng)用價值。 limnnxa 現(xiàn)考慮現(xiàn)考慮方程方程 a0 xn+a1xn-1+akxn-k=0 ，并且其解是如下形式，并且其解是如下形式 x(n)=C1 1n +C2 2n+Ck kn 。 顯然顯然0是方程的一個平衡點，是方程的一個平衡點，不難發(fā)現(xiàn)若所有不難發(fā)現(xiàn)若所有的絕對值都小于的絕對值都小于1，必有，必有 這說明這說明0是穩(wěn)定的平衡點，這也是是穩(wěn)定的平衡點，這也是一般差分方

18、程平衡點穩(wěn)定一般差分方程平衡點穩(wěn)定性的判別方法性的判別方法。這個方法也可以這么說：若絕對值最大的。這個方法也可以這么說：若絕對值最大的的的絕對值小于絕對值小于1，平衡點穩(wěn)定。不難發(fā)現(xiàn)若某個，平衡點穩(wěn)定。不難發(fā)現(xiàn)若某個的的絕對值大于絕對值大于1，平衡點不穩(wěn)。當(dāng)平衡點不穩(wěn)。當(dāng)?shù)扔诘扔?時，有多種情況且實際意義不大。若時，有多種情況且實際意義不大。若特征根是復(fù)根，就用其模來判斷。特征根是復(fù)根，就用其模來判斷。lim0nnx 一階非線性差分方程，其一般形式為一階非線性差分方程，其一般形式為 xn+1=f (xn) 若若x*是該方程的一個平衡點，將是該方程的一個平衡點，將f (xn)在在x*處作一階泰勒

19、展開用線性近似代替，可得處作一階泰勒展開用線性近似代替，可得x*穩(wěn)穩(wěn)定的條件是定的條件是 | f (x*) |0.4時人體內(nèi)病毒會越來越多，而當(dāng)時人體內(nèi)病毒會越來越多，而當(dāng)x0 qkq時全為時全為0 0的性質(zhì)稱為的性質(zhì)稱為q q步截尾性步截尾性。若該函數(shù)不。若該函數(shù)不能在某步之后截尾，而是隨著能在某步之后截尾，而是隨著k k的增大而逐漸衰減，受一負(fù)指的增大而逐漸衰減，受一負(fù)指數(shù)函數(shù)控制，稱為數(shù)函數(shù)控制，稱為拖尾性拖尾性。 在應(yīng)用中，在應(yīng)用中，rk和和k k可用下式代替可用下式代替10()()/(),/n kkjj kjkkrxxnkrr 偏相關(guān)函數(shù)偏相關(guān)函數(shù) kkkk= =E(xt-)(xt+

20、k- )/Var(xt-) 計算計算 ：易知：易知0000= =1，1111= = 1 1 ，于是可用遞推式子，于是可用遞推式子11111,111111,1,1,(1)()(1)(1,2,., )kkkkkkjkjjkjjjkjkjkkk kjjk 此式雖然復(fù)雜，但在應(yīng)用中此式雖然復(fù)雜，但在應(yīng)用中k k一般小于等于一般小于等于2 2。此外，有專門的命令語句可用，大家不必為計算而煩惱。此外，有專門的命令語句可用，大家不必為計算而煩惱。 三種模型的三種模型的k k 與與kkkk特性：特性： AR(p)模型模型 k k拖尾，拖尾， kkkk，p階后截尾。階后截尾。 MA(q)模型模型 k k：q階后

21、截尾，階后截尾， kkkk拖尾。拖尾。 ARMA(p,q)模型模型 k k拖尾，拖尾， kkkk拖尾。拖尾。 在實際處理中若在實際處理中若kq 時有時有 | | 2/n0.5或或 |kk| 2/n0.5,則認(rèn)為則認(rèn)為 或或 kk 在在k=q處處截尾。截尾。 這些特性也是判別時間序列屬于上述哪種模型的依據(jù)。這些特性也是判別時間序列屬于上述哪種模型的依據(jù)。 AR(p)模型定階的模型定階的AIC準(zhǔn)則準(zhǔn)則 假定階數(shù)為假定階數(shù)為p, 準(zhǔn)則形式為準(zhǔn)則形式為 AIC(p)=log2+2 p /n，其中，其中2為用式子擬合的參差方差估計。為用式子擬合的參差方差估計。 p的確定應(yīng)使的確定應(yīng)使AIC(p)達(dá)最小。

22、達(dá)最小。 此外，模型的定階還要考慮準(zhǔn)確性和簡潔性。此外，模型的定階還要考慮準(zhǔn)確性和簡潔性。kkk 至于一般的自回歸系數(shù)至于一般的自回歸系數(shù)a a1 1,a,a2 2,a,ap p的計算，方法有矩估計，的計算，方法有矩估計，極大似然估計和最小二乘估計。因此，可利用回歸分析的命極大似然估計和最小二乘估計。因此，可利用回歸分析的命令令regressregress計算這些系數(shù)。計算這些系數(shù)。 從圖中觀察從圖中觀察截尾數(shù)據(jù)的特點是迅速衰減到截尾數(shù)據(jù)的特點是迅速衰減到0并在其附近震并在其附近震蕩（因為隨機影響）；而拖尾尾數(shù)據(jù)的特點是在蕩（因為隨機影響）；而拖尾尾數(shù)據(jù)的特點是在0的一側(cè)附變的一側(cè)附變化或震蕩

23、變化，且絕對值越來越小?；蛘鹗幾兓?，且絕對值越來越小。 自回歸模型適合于序列的數(shù)據(jù)間具有依賴關(guān)系或自相關(guān)性。自回歸模型適合于序列的數(shù)據(jù)間具有依賴關(guān)系或自相關(guān)性。應(yīng)用自回歸模型解決時間序列問題，首先必須覺得時間序列應(yīng)用自回歸模型解決時間序列問題，首先必須覺得時間序列有自回歸的特點（變量變化具有連續(xù)性），從模型辯識和回有自回歸的特點（變量變化具有連續(xù)性），從模型辯識和回歸結(jié)果看較滿意才可用，否則沒什么意義。歸結(jié)果看較滿意才可用，否則沒什么意義。k 9 自回歸模型實例自回歸模型實例年份年份198019811982198319841985198619871988198919901991投資投資0.4

24、0.42.50.60.6111.31.821.61.6年份年份19921993199419951996199719981999200020012002投資投資2.53.37.612.710.117.125.212.916.514.218.6 下表是上海市下表是上海市1980-2002年旅游投資額（單位：億元年旅游投資額（單位：億元 ），請），請對未來幾年的上海市的旅游投資額進(jìn)行預(yù)測。對未來幾年的上海市的旅游投資額進(jìn)行預(yù)測。 首先觀察數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)，首先觀察數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)，82年，年，97年和年和98年的年的數(shù)據(jù)比較特殊或異常，我們認(rèn)為是由異常原因引起數(shù)據(jù)比較特殊或異常，我們認(rèn)為是由異常原因引起

25、的，不能用，我們用的，不能用，我們用82年前后兩年數(shù)據(jù)，年前后兩年數(shù)據(jù)，97年前四年前四年數(shù)據(jù)，年數(shù)據(jù)， 98年后四年數(shù)據(jù)對其進(jìn)行修正，稱為年后四年數(shù)據(jù)對其進(jìn)行修正，稱為xt，并作出數(shù)據(jù)的散點圖。并作出數(shù)據(jù)的散點圖。 由圖像可知，所給序列是非平穩(wěn)的，沒有季節(jié)（周期）性變化的特點（若有，另考慮相關(guān)模型），但我們需要用嚴(yán)格的計算予以檢驗。計算可得計算可得 QLB(22)=146.0634, 遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于2（22）=33.9。將序列進(jìn)。將序列進(jìn)行（根據(jù)情況也可先對數(shù)）差分行（根據(jù)情況也可先對數(shù)）差分(yt=xt+1-xt)后，序列圖如下。后，序列圖如下。從圖像看，序列有一定平穩(wěn)性，計算得從圖像看，序

26、列有一定平穩(wěn)性，計算得QLB(21)=19.2307，而，而2（21）=32.7.故序列可以認(rèn)為是平穩(wěn)的。故序列可以認(rèn)為是平穩(wěn)的。 利用計算機算得的自、偏相關(guān)等數(shù)據(jù)圖像利用計算機算得的自、偏相關(guān)等數(shù)據(jù)圖像 從圖像看，自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，說明該序列應(yīng)用AR(p) 來描述。又：AIC(1)=1.596, AIC(2)=1.7504, AIC(3)=1.73, AIC(4)=1.615,綜合考慮p取1. 利用回歸命令得到自回歸式子為yt+1=1.1639 -0.4524yt?；卮?xt+2=1.1639 +0.5476xt+1+0.4524xt。利用該式子進(jìn)行預(yù)測，得結(jié)果如下：年年20032004200520062007200820092