哈爾濱師范大學(xué)

1、哈爾濱師范大學(xué)學(xué) 年 論 文 題 目 泰勒公式及其在解題中的應(yīng)用學(xué) 生 郭永晶指導(dǎo)教師 孫玉莉年 級(jí) 2008級(jí)5班專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 文理學(xué)院 哈爾濱師范大學(xué) 2011年4月 論 問 題 要 本文較為詳細(xì)介紹了泰勒公式這部分內(nèi)容所涉及的基本概念.除介紹基本概念外,還有相關(guān)定理及余項(xiàng)表達(dá)式.在此基礎(chǔ)上,對(duì)泰勒公式在證明不等式和等式求極限,極值和在近似計(jì)算中的應(yīng)用進(jìn)行了全面的總結(jié).同時(shí)配備了相應(yīng)的例題解答和文字說明.使讀者更好的更深刻的理解泰勒公式的應(yīng)用. 泰勒公式及其在解題中的應(yīng)用郭永晶摘 要：本文介紹了泰勒公式及其幾個(gè)常見函數(shù)展開式.并主要介紹了求極限,證明不等式,判

2、斷級(jí)數(shù)斂散性,進(jìn)行近似計(jì)算,求函數(shù)的冪級(jí)展開式,求行列式的值,證明根的唯一存在性,判斷函數(shù)的極值.關(guān)鍵字：泰勒公式 極值 極限一 引言 泰勒公式在數(shù)學(xué)分析中是非常重要的內(nèi)容，可以說它是把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的一把利劍，泰勒公式在分析和研究一些數(shù)學(xué)問題上有廣泛的應(yīng)用.二 與泰勒公式有關(guān)的幾種不同形式 定義一：對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù).由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)此多項(xiàng)式： + + + + 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式.定理一：若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有 +,即 +(x0)+ + + o(xx0)n) 定義二：泰勒公式在的特殊形式：+ (0) + + + + .它也稱為（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林

3、公式定理二：（泰勒定理） 若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的,至少存在一點(diǎn) ,使得 + (x0) + + + . （1） 定義三：上式也稱泰勒公式，它的余項(xiàng)為 =, + (),稱為拉格朗日余項(xiàng)，所以（1）式稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式.定義四：當(dāng)時(shí)，得到泰勒公式 + (0) + + + +（0<<1）.稱為（帶有拉格朗日型余項(xiàng)的）麥克勞林公式.三 泰勒公式在解題中的應(yīng)用1 求極限例1 .分析：此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時(shí)可將和分別用泰勒展開式代替,則可簡(jiǎn)化此比式. 解： 由,得,于是.2 證明不等式例2 當(dāng)時(shí),證明.證明： 取,則

4、帶入泰勒公式,其中=3,得，其中.故當(dāng)時(shí),.3 證明根的唯一存在性 例3 設(shè)在上二階可導(dǎo),且,對(duì), 證明：在內(nèi)存在唯一實(shí)根.分析：這里是抽象函數(shù),直接討論的根有困難,由題設(shè)f(x)在上二階可導(dǎo)且,可考慮將在點(diǎn)展開一階泰勒公式,然后設(shè)法應(yīng)用戒指定理證明.證明： 因?yàn)?所以單調(diào)減少,又,因此x>a時(shí),故在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在點(diǎn)展開一階泰勒公式有由題設(shè),于是有,從而必存在,使得,又因?yàn)?在上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根.4 判斷極值例4 (極值的第二充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在處二階可導(dǎo),且,.(i)若,則在取得極大值.(ii) 若,則

5、在取得極小值.證明： 由條件，可得f在處的二階泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正數(shù),當(dāng)時(shí),與同號(hào).所以,當(dāng)時(shí),(*)式取負(fù)值,從而對(duì)任意有,即在取得極大值.同樣對(duì),可得在取得極小值.5 基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式利用基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,通過加減乘等運(yùn)算進(jìn)而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.例5 求的冪級(jí)數(shù)展開式.解： 利用泰勒公式6 近似計(jì)算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算,利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計(jì)算式為,其誤差是余項(xiàng). 計(jì)算Ln1.2的值,使誤差不超過0.0001 先寫出帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林展開式：,其中（在0與x之間）.令,要

6、使則取即可.因此當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時(shí),即只能求出其近似值,這時(shí)泰勒公式是解決這種問題的最好方法.例6 求的近似值,精確到. 因?yàn)橹械谋环e函數(shù)是不可積的（即不能用初級(jí)函數(shù)表達(dá)）,現(xiàn)用泰勒公式的方法求的近似值.解： 在的展開式中以代替 得逐項(xiàng)積分,得上式右端為一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù),由其余項(xiàng)的估計(jì)式知7 求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值如果泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)正是,從而可反過來求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo). 例7 求函數(shù)在x=1處的高階導(dǎo)數(shù). 解： 設(shè)x=u+1,則,在u=0的泰勒公式為,從而,而g(u)中的泰勒展開式中含的項(xiàng)應(yīng)為,從g(u)的展開式知的項(xiàng)為,因此,.8 求行列式的值若一個(gè)

7、行列式可看做的函數(shù)（一般是的次多項(xiàng)式）,記作,按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值.例8 求階行列式 D= （1） 記,按泰勒公式在z處展開：解： , （2）易知 （3）由（3）得,.根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為, 把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有若,有,若,有.9 判斷級(jí)數(shù)斂散性 例9 討論級(jí)數(shù)的斂散性.分析：直接根據(jù)通項(xiàng)去判斷該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù)還是非正向級(jí)數(shù)比較困難,因而也就無法恰當(dāng)選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應(yīng),會(huì)使判斂容易進(jìn)行.解： 因?yàn)?所以,所以故該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù).又因?yàn)?所以.因?yàn)槭諗?所以由正向級(jí)數(shù)比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂四 總結(jié)本文主要介紹了泰勒公式以及它的九個(gè)應(yīng)用,使我們對(duì)泰勒公式有了更深一層的理解,怎樣應(yīng)用泰勒公式解題有了更深一層的認(rèn)識(shí).,只要在解題訓(xùn)練中注意分析,研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn),并把握上述處理規(guī)則,