導數(shù)的概念教案

1、【教學課題】：2.1 導數(shù)的概念（第一課時）【教學目的】：能使學生深刻理解在一點處導數(shù)的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點處的導數(shù)；明確一點處的導數(shù)與單側導數(shù)、可導與連續(xù)的關系。 【教學重點】：在一點處導數(shù)的定義。【教學難點】：在一點處導數(shù)的幾種等價定義及其應用?！窘虒W方法】：系統(tǒng)講授，問題教學，多媒體的利用等?！窘虒W過程】：一） 導數(shù)的思想的歷史回顧導數(shù)的概念和其它的數(shù)學概念一樣是源于人類的實踐。導數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學家牛頓（Newton）和德

2、國數(shù)學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決問題1 （以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：，求：落體在時刻（）的瞬時速度。問題解決：設為的鄰近時刻，則落體在時間段（或）上的平均速度為若時平均速度的極限存在，則極限為質(zhì)點在時刻的瞬時速度。問題2 （以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線上點，求：點處切線的斜率。下面給出切線的一般定義；設曲線及曲線上的一點，如圖，在外上另外取一點，作割線，當沿著趨近點時，如果割線繞點旋轉而趨于極限位置，直線就稱為曲線在點處的切線。 問題解決：取在上

3、附近一點，于是割線PQ的斜率為（為割線的傾角）當時，若上式極限存在，則極限 （為割線的傾角）為點處的切線的斜率。上述兩問題中，第一個是物理學的問題，后一個是幾何學問題，分屬不同的學科，但問題的解決都歸結到求形如 （1）的極限問題。事實上，在學習物理學時會發(fā)現(xiàn)，在計算諸如物質(zhì)比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導數(shù)”的概念的誕生。 三） 導數(shù)的定義定義 設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱該極限為在點處的導數(shù)，記作。即 （2）也可記作，。若上述極限不存在，則稱在點處不可導。在處可導的等價

4、定義：設，若則等價于，如果函數(shù)在點處可導，可等價表達成為以下幾種形式： （3） （4） （5）四） 利用導數(shù)定義求導數(shù)的幾個例子例1 求在點處的導數(shù)，并求曲線在點處的切線方程。解由定義于是曲線在處的切線斜率為2，所以切線方程為，即。 例2 設函數(shù)為偶函數(shù)，存在，證明：。證 又 注意：這種形式的靈活應用。此題的為。例3 討論函數(shù) 在處的連續(xù)性，可導性。解 首先討論在處的連續(xù)性：即在處連續(xù)。 再討論在處的可導性： 此極限不存在即在處不可導。問 怎樣將此題的在的表達式稍作修改，變?yōu)樵谔幙蓪?？?，即可。四）可導與連續(xù)的關系由上題可知；在一點處連續(xù)不一定可導。反之，若設在點可導，則由極限與無窮小的關系得：，所以當，有。即在點連續(xù)。故在一點處連續(xù)與可導的關系是：連續(xù)不一定可導，可導一定連續(xù)。 五） 單側導數(shù)的概念例4 證明函數(shù)在處不可導。證明，極限不存在。故在處不可導。 在函數(shù)分段點處或區(qū)間端點等處，不得不考慮單側導數(shù)：定義 設函數(shù)在點的某右鄰域上有定義，若右極限 （）存在，則稱該極限為在點的右導數(shù)，記作。左導數(shù) 。左、右導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù)。導數(shù)與左、右導數(shù)的關系：若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，則存在，都存在，且=。例5 設，討論在處的可導性。解由于從而，故在處不可導。六） 小結:本課時的主要內(nèi)容要求： 深刻理解在一點處導數(shù)的概念，能準確表達