數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念大學(xué)數(shù)學(xué)教案2

1、第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí) 從本章開(kāi)始，我們將講述數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容 數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門學(xué)科誕生于 19 世紀(jì) 末 20 世紀(jì)初，是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支 ，它以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的 數(shù)據(jù)，來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，以便對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性作出合理的估計(jì)和判斷 由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性 ，故理論上只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀 察，則研究對(duì)象的規(guī)律性就一定能清楚地呈現(xiàn)出來(lái) ，但實(shí)際上人們常常無(wú)法對(duì)所研究的對(duì)象 的全體（或總體）進(jìn)行觀察，而只能抽取其中的部分（或樣本）進(jìn)行觀察或試驗(yàn)以獲得有限的 數(shù)據(jù) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)包括：怎樣有效地收集、整理有限的數(shù)據(jù)資料 ；怎樣對(duì)所得的數(shù)據(jù)資料

2、進(jìn)行分析、研究，從而對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn) ，作出合理的推斷，此即所謂的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn) 題，本課程主要講述統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容 第一節(jié)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 內(nèi)容分布圖示 引言 總體與總體分布 樣本 例 1 樣本分布 例 2 例 3 例 4 統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題簡(jiǎn)述 分組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表和頻率直萬(wàn)圖 例 5 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 例 6 統(tǒng)計(jì)量 常用統(tǒng)計(jì)量 例 7 例 8 例 9 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 5-1 內(nèi)容要點(diǎn)： 一、總體與總體分布 總體是具有一定共性的研究對(duì)象的全體 ，其大小與范圍隨具體研究與考察的目的而確 定例如，考察某大學(xué)一年級(jí)新生的體重情況 ，則該校一年級(jí)全體新生就構(gòu)成了待研究的總 體.總體確定后，我們稱

3、總體的每一個(gè)可觀察值為 個(gè)體如前述總體（一年級(jí)新生）中的每一 個(gè)個(gè)體即為每個(gè)新生的體重總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的 容量容量為有限的稱 為有限總體，容量為無(wú)限的稱為 無(wú)限總體 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所關(guān)心的并非每個(gè)個(gè)體的所有性質(zhì) ，而僅僅是它的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量指 標(biāo)如前述總體（一年級(jí)新生）中，我們關(guān)心的是個(gè)體的體重 ，進(jìn)而也可考察該總體中每個(gè)個(gè) 體的身高和數(shù)學(xué)高考成績(jī)等數(shù)量指標(biāo) 總體中的每一個(gè)個(gè)體是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)觀察值 ，故它是某一隨機(jī)變量 X的值，于是，一 個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量 X，對(duì)總體的研究就相當(dāng)于對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量 X的研究，X的分 布就稱為總體的分布函數(shù)，今后將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量

4、 ，并引入如下定義： 定義 統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱隨機(jī)變量（或向量）X為總體，并把隨機(jī)變量（或向量）的分布稱為 總體 分布 注（i）有時(shí)個(gè)體的特性很難用數(shù)量指標(biāo)直接描述 ，但總可以將其數(shù)量化，如檢驗(yàn)?zāi)硨W(xué)校全 體學(xué)生的血型，試驗(yàn)的結(jié)果有 0 型、A 型、B 型、AB 型 4 種，若分別以 1,2,3,4 依次記這 4 種血型，則試驗(yàn)的結(jié)果就可以用數(shù)量來(lái)表示了 ； （ii）總體的分布一般來(lái)說(shuō)是未知的，有時(shí)即使知道其分布的類型（如正態(tài)分布、二項(xiàng)分布 等），但不知這些分布中所含的參數(shù)等 （如二2, p 等）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是根據(jù)總體中部分個(gè) 體的數(shù)據(jù)資料對(duì)總體的未知分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷 二、 樣本與樣本分布 由于作為

5、統(tǒng)計(jì)研究對(duì)象的總體分布一般來(lái)說(shuō)是未知的 ，為推斷總體分布及其各種特征 ,- 般方法是按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察 ，通過(guò)觀察可得到關(guān)于總體 X的一組數(shù) 值（Xi , X2，Xn ），其中每一 X 是從總體中抽取的某一個(gè)體的數(shù)量指標(biāo) Xi的觀察值.上述抽取 過(guò)程為抽樣，所抽取的部分個(gè)體稱為 樣本.樣本中所含個(gè)體數(shù)目稱為樣本的 容量.為對(duì)總體進(jìn) 行合理的統(tǒng)計(jì)推斷，我們還需在相同的條件下進(jìn)行多次重復(fù)的、獨(dú)立的抽樣觀察 ，故樣本是一 個(gè)隨機(jī)變量（或向量）.容量為n的樣本可視為n維隨機(jī)向量（Xj X2，Xn），旦具體取定一 組樣本，便得到樣本的一次具體的觀察值 （Xi，X2，Xn）， 稱其為樣

6、本值.全體樣本值組成的集合稱為 樣本空間. 為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息 ，必須考慮抽樣方法，最常用的一種抽樣方 法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，它要求抽取的樣本滿足下面兩個(gè)條件 ： 1. 代表性：Xi，X2，Xn與所考察的總體具有相同的分布 ； 2. 獨(dú)立性：Xi，X2,，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量. 由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，它可用與總體獨(dú)立同分布的 n個(gè)相互 獨(dú)立的隨機(jī)變量 Xi，X2,，Xn表示.顯然，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是一種非常理想化的樣本 ，在實(shí)際 應(yīng)用中要獲得嚴(yán)格意義下的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本并不容易 對(duì)有限總體，若采用有放回抽樣就能得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ，但有放回抽樣使用起來(lái)不方便

7、故實(shí)際操作中通常采用的是無(wú)放回抽樣 ，當(dāng)所考察的總體很大時(shí)，無(wú)放回抽樣與有放回抽樣 的區(qū)別很小，此時(shí)可近似把無(wú)放回抽所得到的樣本看成是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 .對(duì)無(wú)限總體 因抽取一個(gè)個(gè)體不影響它的分布，故采用無(wú)放回抽樣即可得到的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 注：今后假定所考慮的樣本均為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ，簡(jiǎn)稱為樣本. 設(shè)總體X的分布函數(shù)為 F（x），則簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（X,，X2，xn）的聯(lián)合分布函數(shù)為 n F（X,，X2，各）：I F（Xi） i =1 并稱其為樣本分布. 特別地，若總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f （X），則樣本的概率密度為 n f（X,，X2,X）： | 丨 f（Xi） i=1 分別稱f （x）與 f （X,X2 ,Xn）為總體密度與樣本密度. 若總體X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為 p（xj 二 PX 二 Xi , X取遍X所有可能取值 則樣本的概率分布為 n P（X,X2， ,Xn） =pX =Xi，X =X2， , X =Xn ： | P（Xj）, i=1 分別稱 p（Xi）與 p（Xi,X2，Xn）為離散總體密度 與離散樣本密度. 三、 統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題簡(jiǎn)述 總體和樣本是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的兩個(gè)基本概念 .樣本來(lái)自總體，自然帶有總體的信息，從而 可以從這些信息出發(fā)去研究總體的某些特征（分布或分布中的參數(shù)） .另一方面，由樣本研 究總體可以省時(shí)省力（特別是針對(duì)破壞性的抽樣試驗(yàn)而言）