分形理論及其應(yīng)用

1、文章編號:1003-6318(200404-0051-06分形理論及其應(yīng)用王美榮1,金志琳2(1.青島市第九中學(xué)化學(xué)教研組,山東青島266012;2.山東大學(xué)膠體與界面化學(xué)教育部重點實驗室,山東濟南250100摘要:近20年來,分形的研究受到廣泛的重視,其深刻的理論意義以及巨大的實用價值吸引著人們尋求其中可能存在的新規(guī)律和新特征.該文介紹了分形的概念、分形維數(shù)的計算方法、研究手段以及在各個領(lǐng)域的應(yīng)用,著重闡述分形理論對科學(xué)的推動與沖擊.關(guān)鍵詞:分形;分形理論;分維;應(yīng)用中圖分類號:O64文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A分形理論始創(chuàng)立于20世紀(jì)70年代中期,創(chuàng)立伊始就引起人們極大的興趣,與耗散結(jié)構(gòu)、混沌并稱為70

2、年代科學(xué)史上的三大發(fā)現(xiàn).作為一門獨立的學(xué)科,該理論只有大約30多年的歷史.美籍法國數(shù)學(xué)家曼德布羅特(Benoit B Mandelbrot于1967年在科學(xué)雜志上發(fā)表了一篇題為“英國的海岸線有多長?統(tǒng)計自相似性與分?jǐn)?shù)維數(shù)”(How Long is the Coast of Britain,Statistical Self Similarity and Fractional Dimension的論文,通常被認(rèn)為是“分形”學(xué)科誕生的標(biāo)志.曼德布羅特1,2在隨后兩本著作自然界的分形幾何學(xué)和分形:形狀、機遇與維數(shù)中第一次提出了fractal這個英文詞,其原意是“不規(guī)則的”、“分?jǐn)?shù)的”、“支離破碎的”物

3、體,并闡述分形理論的基本思想,即分形研究的對象是具有自相似性的無序系統(tǒng),其維數(shù)的變化是連續(xù)的.應(yīng)該認(rèn)識到的是,自相似性是自然界一個普遍的規(guī)律,小到樹葉的葉脈,大到天體宇宙,自相似性普遍存在于物質(zhì)系統(tǒng)的多個層次上.這位被科學(xué)界尊稱為“分形之父”的曼德布羅特的最大貢獻(xiàn)在于提出“物體或幾何圖形的維數(shù)的變化可以是連續(xù)的”這一驚人的論斷,即其維數(shù)可以不是整數(shù).分形理論借助相似性原理洞察隱藏于混亂現(xiàn)象中的精細(xì)結(jié)構(gòu),為人們從局部認(rèn)識整體、從有限認(rèn)識無限提供新的方法論,為不同的學(xué)科發(fā)現(xiàn)的規(guī)律提供了嶄新的語言和定量的描述,為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)提供了新的思想方法.近20年來,分形理論在自然科學(xué)、社會科學(xué)及哲學(xué)的許多領(lǐng)域

4、中得到了廣泛的應(yīng)用,并逐步成為連結(jié)現(xiàn)代各學(xué)科的緯線.1分形理論簡介1.1分形概念的提出按照分形理論,分形體內(nèi)任何一個相對獨立的部分(分形元或生成元,在一定程度上都是整體的再現(xiàn)和縮影.這種現(xiàn)象,無論是在客觀世界自然界和社會領(lǐng)域,還是在主觀世界思維領(lǐng)域,都是普遍存在的.下面是對分形的初步分類3,4.(1自然分形凡是在自然界中客觀存在的或經(jīng)過抽象而得到的具有自相似性的幾何形體(對象,都稱為自然分形.它涉及的范圍極為廣泛,包括的內(nèi)容及其豐富.從自然科學(xué)基礎(chǔ)理論到技術(shù)科學(xué)、應(yīng)用技術(shù)的研究對象,都存在著自然分形.例如,星云的分布、海岸線的形狀、山形的起伏、云彩、地震、湍流等眾多現(xiàn)象中的部分毫無例外地與整體

5、相似.(2社會分形凡是在人類社會活動和社會體系中客觀存在及其表現(xiàn)出來的自相似性現(xiàn)象,稱為社會分形.這種分形幾乎涉及以第26卷第4期Vol.26No.4菏澤師范?？茖W(xué)校學(xué)報Journal of Heze Teachers College2004年11月Nov.2004收稿日期:2004-02-18作者簡介:王美榮(1977-,女,青島海陽人,教師,研究方向:化學(xué)教研與化學(xué)發(fā)展. (a Sierpinski 三角形(b K och 曲線圖1兩種簡單、規(guī)整的分形圖形社會的各個層面為研究對象的所有社會科學(xué)部門.不論是使人明鑒的史學(xué),還是使人靈秀的詩歌;也不論教人聰慧的哲學(xué),還是令人善辯的辭學(xué),都存在著

6、,或在某一時期某一范圍存在著自相似性的現(xiàn)象.社會分形表征了社會生活和社會現(xiàn)象中一些不規(guī)則的非線性特征,有著廣泛的應(yīng)用價值.(3時間分形凡是在時間軸上具有自相似性的現(xiàn)象或研究對象,稱為時間分形.有人也把它稱為“一維時間分形”或“重演分形”、“過程分形”.德國科學(xué)家魏爾說過一段耐人尋味的話:“在一維時間中,等間隔的重復(fù)是節(jié)律的音樂原則.當(dāng)一棵苗生長時,人們可以說,它把一種緩慢的時間節(jié)律翻譯成了一種空間的節(jié)律”.恩格斯也曾經(jīng)指出過,整個有機界的發(fā)展史和個別機體的發(fā)展史之間存在著令人驚異的類似.在人類社會的發(fā)展中,同樣存在著類似的現(xiàn)象.(4思維分形人類在認(rèn)識、意識活動的過程中或結(jié)果上所表現(xiàn)出來的自相似

7、性特征.這包括兩方面的情況:其一,作為思維形式之一的概念,它是邏輯思維最基本的分形元,反映了人們對事物整體本質(zhì)的認(rèn)識.其二,每個個人的思維都在某種程度上反映了人類整體的思維.美國科學(xué)家道霍夫斯塔特曾經(jīng)寫道:“每個人都反映其它許多人的思想,他們每個人又反映別人的思想,一個無窮無盡的系列”.可以說,人類的每一個健全個體的認(rèn)識發(fā)生、發(fā)展過程,都是人類認(rèn)識進(jìn)化史的一個縮影,是其簡略而又迅速的重演.1.2分形維數(shù)的定義分形維數(shù)(fractal dimension ,又叫分維、分?jǐn)?shù)維,是分形幾何學(xué)定量描述分形集合特征和幾何復(fù)雜程度的參數(shù).由于分形集的復(fù)雜性,關(guān)于分形維數(shù)已有多種定義,最有代表性的是Haus

8、dorff 維數(shù).對于任何一個有確定維數(shù)的幾何形體,若用與它維數(shù)相同的尺度r 去度量,其大小N (r 與單位量度r 之間存在如下關(guān)系:N (r r -DH或D H =ln N (r /ln (1/r 式中,D H 即為Hausdorff 維數(shù),它可以是整數(shù),也可以是分?jǐn)?shù).此外,分維還有多種其它定義,如相似維數(shù)、盒維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、容量維數(shù)、譜維數(shù)等.對于有規(guī)分形,其維數(shù)的計算可以用相似維數(shù),定義為:如果某圖形是由把全體縮小為1/a 的a D H 個相似圖形構(gòu)成,那么指數(shù)D H 就具有維數(shù)的定義,此維數(shù)就是相似維數(shù).如果設(shè)a D H =b ,則D H =ln b/ln a.(1改變觀察尺度求維數(shù)用

9、圓和球、線段和正方形以及立方體等具有特征長度的基本圖形去近似分形圖形.例如用長度為r 的線段集合近似海岸線那樣的復(fù)雜曲線,把得到的線段總數(shù)記為N (r ,如果該曲線有N (r r -D的關(guān)系,即可稱這曲線具有D 維數(shù).對海岸線和隨機行走軌跡分形維數(shù)的測定,多數(shù)采用此法.(2根據(jù)測度關(guān)系求維數(shù)利用分形具有非整數(shù)維數(shù)的測度來定義維數(shù),如把一個立方體每邊的長度擴大到原來邊長的2倍,那么二維測度的表面積即為22倍,三維測度的體積為23倍.因此,若把一個量的單位長度擴大到2倍,并假定它能成為具有2D 的量,那么此量即可稱為D 維的.此法可以測島嶼海岸線和分布于空間的點的集合的分形維數(shù).(3根據(jù)相關(guān)函數(shù)求

10、維數(shù)相關(guān)函數(shù)是最基本的統(tǒng)計量之一,如果把在空間隨機分布的某量X 在坐標(biāo)x 處的密度記為(x ,則相關(guān)函數(shù)C (r 可以定義為C (r (x (x +r .式中的符號表示平均.如果C (r r -a ,此時冪指數(shù)a 與分形維數(shù)D 的關(guān)系為a =d -D ,式中d 為歐氏空間維數(shù).(4根據(jù)分布函數(shù)求維數(shù)對于大小和分布沒有特征長度的圖形或物體,從其分布2004年菏澤師范?？茖W(xué)校學(xué)報第4期函數(shù)可求得分形維數(shù).例如月球表面照片上有不同大小的月坑,月坑直徑為r,把直徑大于r的月坑存在的幾率記為p(r,若把直徑的分布幾率密度記為p(s,則有p(r=r p(sd s可證明上式為冪型p(rr-D,其中D為分形維

11、數(shù).(5根據(jù)頻譜求維數(shù)顯而易見,在分形理論的應(yīng)用過程中,分形維數(shù)的測定是其中十分重要的步驟之一.嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的分維測試方法如上所述,而通常聚集體的分形維數(shù)可以通過兩種途徑獲得:計算機模擬絮體聚集成長過程與實驗直接測定.計算機模擬法是基于分形結(jié)構(gòu)的形成機制,而許許多多的實驗技術(shù)已被應(yīng)用于分維的測定,如影象分析法、絮體沉降法、光散射法等6.(1影像分析法影像分析法是應(yīng)用電子顯微鏡如透射顯微鏡(TEM對聚集體連續(xù)快速拍攝,從所得圖象中聚集體質(zhì)量與粒度的關(guān)系中獲得分形維數(shù),而將圖象中的顆粒數(shù)與所測定的具有典型粒徑的單個顆粒的質(zhì)量相乘即得聚集體的質(zhì)量.上述方法曾經(jīng)較為廣泛地應(yīng)用于分析金溶膠聚集體7、硫

12、酸鋁與活性污泥聚集體、針鐵礦聚集體8以及最近對有機物聚集體的結(jié)構(gòu)也進(jìn)行了分析9.影像分析法的惟一缺點是拍攝所得的圖像屬于二維投影而非三維體,其基本假設(shè)為,當(dāng)分形維數(shù)D H<2時,二維投影分析得到的分形維數(shù)與實際分形維數(shù)相同;當(dāng)D H略微小于2時測量結(jié)果將會有較大的偏差.另外,當(dāng)D H>2時,所得圖像為密實的二維體,分形維數(shù)測量值只能是2,該法徹底失敗.影像分析法的優(yōu)點是較為明確直觀,但仍屬于間接測定.近期發(fā)展起來的數(shù)字式攝像技術(shù),并應(yīng)用計算機處理數(shù)據(jù)的強大功能,使得直接測定成為可能.(2絮體沉降速率(或密度法絮體沉降速率(或密度法是基于沉降速率與特征粒度之間的關(guān)系,如方程所示:V(

13、RR C,其中C是常數(shù),分形維數(shù)D H=C+1.該法的缺點是在D H>2時,實驗值與理論值較好的吻合.而當(dāng)D H<2時,聚集體孔隙度的評估具有較大的偏差,測定的分維將不再是正確的.(3散射法無規(guī)則體系中的散射信息提供了顆粒間的空間連接關(guān)系,從而得以推測分形結(jié)構(gòu).研究發(fā)現(xiàn)小角度X射線散射法和中子散射法特別適合于無規(guī)體系包括聚合物、顆粒與溶膠的聚集體的分析測定.這些方法對于粒度處于1200nm的分形結(jié)構(gòu)與無規(guī)形體尤為合適.光散射法對于微觀結(jié)構(gòu)體系分維的測定是十分有效的,特別在樣品的制備與結(jié)果分析方面具有其特殊的優(yōu)越性.(4其它方法當(dāng)光穿過流動的懸浮液時,由于光路中顆粒粒度與數(shù)目的隨機變

14、化,使透射光強度呈現(xiàn)出脈動現(xiàn)象,也即濁度脈動.這種基于濁度脈動的檢測方法可以用來對懸浮液顆粒聚集過程提供十分有用的信息,結(jié)合聚集體粒度分布與分形聚集體的光散射特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕幚?能表征聚集體成長過程中的分維變化特征,從而得到越來越廣泛的應(yīng)用.另外,絮體沉降體積法也得到一定程度的應(yīng)用,非常適宜于相對高濃度顆粒較為密實的懸浮液的測定.2分形理論的應(yīng)用2.1在化學(xué)方面的應(yīng)用最初分形理論在化學(xué)中應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個方面.有些沉積物在其積聚過程中的某些階段往往會出現(xiàn)分形結(jié)構(gòu),著名的DLA模型就是在研究大氣中的金屬粉末、煤灰和煙灰等微粒的無規(guī)擴散積聚時提出的,并在環(huán)境科學(xué)中可能有很好的應(yīng)用前景.科學(xué)

15、家們將此模型應(yīng)用于電解沉積中,如在這一方面最早報道的是英國科學(xué)家Brady R M.和Ball R C.10發(fā)表在Nature上的關(guān)于電解實驗中得到的銅離子在三維空間中的凝聚體,其維數(shù)是2.43±0.03,實驗結(jié)果與DLA模型符合較好.分形理論還在高分子的研究中找到自己的一席之地,人們可以采用分維測量方法中曼德布羅特提出的“小島法”來測量高分子鏈的分形維數(shù).高分子鏈幾乎都是隨機混亂排列而構(gòu)成的,可以用一模型來模擬其結(jié)構(gòu).同時,高分子鏈的局部與整體具有自相似性,所以可以認(rèn)為高分子鏈?zhǔn)且痪哂蟹中谓Y(jié)構(gòu)的長鏈.這一結(jié)論推動了對高分子結(jié)構(gòu)、形態(tài)認(rèn)識的深入,導(dǎo)致了著名的Flory2Fisher理

16、論的誕生.研究工作者通過測定和分析反應(yīng)過程中形成的聚合物分子簇的分維11,發(fā)現(xiàn)不同反應(yīng)初始狀態(tài)對反應(yīng)物結(jié)構(gòu)的演變和最終產(chǎn)物的形成有很大影響.分維可以對水凝膠聚合物的微觀網(wǎng)絡(luò)的致密程度進(jìn)行量化表征,而采用多重分形理論描繪水凝膠聚合物微觀形態(tài)的多重分維譜,可以比較非均勻程度,反映水凝膠聚合物微觀形態(tài)不同層次上的分形特征.劉孝波等12研究了雙馬來酰亞胺共聚物的凝膠化過程和網(wǎng)絡(luò)的分形特征,建立了該種共聚物在液晶態(tài)下交聯(lián)反應(yīng)過程的分形模型,得到了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的分形維數(shù),闡明了凝膠化過程是一個受限擴散過程,固化過程的后期是由于形成局部有序網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),這為液晶熱固性聚合物的研究提供了新的表征方法,作者還進(jìn)一步提出

17、了液晶熱固性聚合物形成的分形理論.聚合物共混材料的性能強烈地依賴于共混物界面,所以2004年王美榮,等:分形理論及其應(yīng)用第4期共混物界面一直是共混研究方面的熱點,但這方面的研究大多是定性研究,定量描述是極其困難的.王文新等13采用了一種圖形變換方法將復(fù)雜的聚合物共混界面轉(zhuǎn)換成具有幾何特征的圖形,并用分形理論加以定量描述,認(rèn)為分維D是描述共混物界面復(fù)雜狀態(tài)的一個重要參數(shù),D越大,界面狀態(tài)越復(fù)雜,共混物的相容性也就越好.Mathot Vincent等14研究了線性、支化及共聚聚乙烯的亞穩(wěn)性和有序結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)在均質(zhì)乙烯共聚物中,當(dāng)共聚單體含量達(dá)最大值時,結(jié)晶過程是一種分形生長過程,形成“疏松堆砌的乙烯

18、序列”膠束.Shan等15通過電化學(xué)聚合法合成具有分形圖案的聚吡咯(PPy并分析了分形圖案與生長條件之間的關(guān)系以及聚合物在反應(yīng)過程中的形態(tài)轉(zhuǎn)變.K im等16采用聲發(fā)射信號探測法,并通過用分維定量刻畫高分子樹的形狀,對高分子樹生長的損壞過程及分形性質(zhì)給予了研究.現(xiàn)在一個普遍為眾多催化學(xué)家接受的觀點是:催化劑表面布滿孔隙和皺褶,已不能將它當(dāng)作二維的表面來看待.即在這種表面進(jìn)行的化學(xué)反應(yīng)或吸附不能認(rèn)為是發(fā)生在2維界面上,而應(yīng)以大于2維接近于3維的系統(tǒng)看待,這樣才能更真實地反應(yīng)催化劑表面的實質(zhì),也就是說只有采用表面分維才能真實完整反映催化表面的不規(guī)整性,而這種不規(guī)整的表面恰恰是較高的反應(yīng)轉(zhuǎn)化率的一個

19、重要原因.人們期待著表面分維能夠成為催化劑的重要表征參量之一,同以前常用的BET比表面相比,分形維數(shù)能體現(xiàn)出表面的“質(zhì)量”,而BET比表面值更多的體現(xiàn)的是表面的“數(shù)量”,很顯然,“質(zhì)量”的好壞對催化活性的影響要遠(yuǎn)大于“數(shù)量”大小對活性的影響.因而在催化領(lǐng)域,該理論的應(yīng)用進(jìn)展是十分矚目的,尤其是隨著儀器及計算機性能的不斷擴展,分形維數(shù)的確定已擺脫了煩復(fù)的實驗和大量的數(shù)據(jù)處理,進(jìn)入到了一個嶄新的時代.2.2分形理論在材料科學(xué)中的應(yīng)用陶瓷材料的沖蝕磨損是一個復(fù)雜的動態(tài)力學(xué)過程,它涉及到諸多因素.沖蝕磨損后,陶瓷材料的表面屬于非規(guī)整的幾何表面,蘊藏著關(guān)于沖蝕損傷表面的豐富信息,在統(tǒng)計意義上遵從分形的基

20、本規(guī)律,因此可用分形維數(shù)對這種非規(guī)整的幾何表面進(jìn)行描述.材料表面的負(fù)載隨著粒子沖擊速率的增加而相應(yīng)增加,從而材料表面的分形維數(shù)也隨之提高,其分形維數(shù)實際上反映了橫向裂紋的擴展速度.大量實驗結(jié)果表明材料中不同度域范圍內(nèi)可能存在著不同的分形結(jié)構(gòu),即多度域分形,如沿晶裂紋、穿晶裂紋、位錯線、空位團(tuán)、沉淀等,它們都存在于一定的度域范圍內(nèi).在應(yīng)用分形理論研究材料斷裂表面的結(jié)構(gòu)特征時,最基本、最重要的內(nèi)容就是如何準(zhǔn)確地測量、計算表面的分維值.Man2 delbort提出采用Slit island analysis測量、計算斷裂表面的分維值.近年來又相繼發(fā)展了Profile analysis和二次電子線掃描

21、法.Mandelbrot等認(rèn)為金屬斷裂表面是粗糙的和不規(guī)則的,對斷面細(xì)節(jié)觀察發(fā)現(xiàn),裂紋均以Z字形前進(jìn),大的Z字形套小的Z字形,具有近似的自相似性質(zhì),故可以把它看作是一種分形結(jié)構(gòu).金屬斷口的分維測定方法一般采用垂直剖面法,這種方法在金屬斷口方面的應(yīng)用日益廣泛.許多學(xué)者認(rèn)為,斷口表面的分維是金屬斷裂表面粗糙度的一種量度,且與金屬內(nèi)部的組織和性能有關(guān);斷口的分形維數(shù)可定量描述斷口特征和斷裂機制.隨著分形的進(jìn)一步深入,關(guān)于金屬斷口的多種分形模型建立,為金屬斷口這一分形結(jié)構(gòu)的重構(gòu)和模擬打下了基礎(chǔ),為最終認(rèn)識金屬斷口這一分形結(jié)構(gòu)形成的物理本質(zhì)及其正確地指導(dǎo)生產(chǎn)實踐創(chuàng)造了條件.許多學(xué)者在凝固和相變方面的分形

22、研究中觀察到定向2004年菏澤師范?？茖W(xué)校學(xué)報第4期凝固固液界面結(jié)構(gòu)具有分形特征,可以用分形方法來定量描述;非平衡凝固中固液界面的分形維數(shù),不僅是描述不規(guī)則圖形的幾何參量,也是一個依賴于凝固速度變化的態(tài)函數(shù);當(dāng)合金成分一定時,增大凝固速度導(dǎo)致固液界面的分形維數(shù)增大,其研究結(jié)果還證明了分維是熵的另一種量度.在凝聚態(tài)物理中,對一些遠(yuǎn)離平衡無序系統(tǒng)的不可逆生長過程的研究指出,分形概念及分形維數(shù)能很好地描述相變與臨界現(xiàn)象中的自相似的標(biāo)度不變性質(zhì),并已能利用計算機模擬圖形和實驗結(jié)果.分形在金相組織研究方面也取得了一些進(jìn)展,并在溶膠凝膠過程、多孔材料中反應(yīng)的分形動力學(xué)特征、材料斷裂韌性研究的不定性問題、高

23、分子分形、納米半導(dǎo)體的分形生長、表面分形以及粒度分布分形模型等諸方面深入發(fā)展,相繼取得了一些研究成果.2.3分形理論在地理研究中的應(yīng)用人文地理現(xiàn)象的分形研究十分活躍,過去人們描述人類經(jīng)濟活動的行為空間常采用簡單的幾何圖式,有代表性的是同心圓結(jié)構(gòu)或幾個同心圓體系構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò).這類理想的幾何模型形成了當(dāng)代人文地理學(xué)的理論基礎(chǔ),它們漂亮,但不真實.由于歷史的、社會的、政治的特別是地形的因素的影響,現(xiàn)實經(jīng)濟景觀失去了形式對稱性,這些復(fù)雜的經(jīng)濟地理現(xiàn)象必須借助分形幾何才能予以描述和分析.由于種種原因,國外的地理分形研究在20世紀(jì)90年代中期以后進(jìn)入低潮,偏重于城市結(jié)構(gòu)和形態(tài)的分形模擬,而國內(nèi)的有關(guān)研究則方

24、興未艾.從近年的研究成果看,國內(nèi)的地理分形探討,以城市地理學(xué)最為活躍.在城市體系空間結(jié)構(gòu)、交通網(wǎng)絡(luò)空間結(jié)構(gòu)、分維測算方法、城市相互作用、城市化和城市異速生長關(guān)系等諸多方面進(jìn)行的分形研究從理論到方法都有很大進(jìn)展.分形理論在地理學(xué)的支持性技術(shù)工具遙感和地理信息系統(tǒng)(GIS方面有著重要的應(yīng)用.將GIS技術(shù)與分形模擬技術(shù)結(jié)合,將可解決地理系統(tǒng)不可控從而不可實驗的難題,促進(jìn)地理研究更上一層樓.2.4分形理論對科學(xué)思維的影響20世紀(jì)60年代以來,是科學(xué)向復(fù)雜性全面進(jìn)軍的時代.在這個進(jìn)程中,以分形理論、混沌理論和自組織理論(包括耗散結(jié)構(gòu)和協(xié)同理論等為代表的非線性科學(xué)是主力軍.分形是復(fù)雜性的幾何表現(xiàn),它已成為

25、定量描述混沌吸引子和自組織行為這樣一些復(fù)雜現(xiàn)象的重要手段,使得分形幾何學(xué)又有“混沌幾何學(xué)”這個美名.它使人們追求確定性的夢幻破滅,從而要求人們修正因牛頓力學(xué)的成就而形成的根深蒂固的確定性思維模式.它使排中律破缺,要求人們重視中介現(xiàn)象的探索與研究.它否定了人們幾乎不加思索地在取極限時以直(線代(替曲(線的思維方法,并為時空理論帶來新的啟迪,醞釀著新的物理革命.它正在使幾乎整個現(xiàn)代知識體系成為新科學(xué).分形理論作為認(rèn)識世界的一種新方法,不僅在于從整體與部分之間的信息“同構(gòu)”中,找到了從部分過渡到整體的媒介和橋梁,為人們從部分中認(rèn)識整體、從有限中認(rèn)識無限提供了可能和根據(jù);而且,分形論的提出使人們對整體與部分關(guān)系的認(rèn)識方法、思維方法由線性階梯進(jìn)展到非線性階梯,揭示了它們之間多層面、多視角、多維度的聯(lián)系方式.分形