勾股定理章末重難點(diǎn)題型(舉一反三)(人教版)(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題1.2 勾股定理章末重難點(diǎn)題型【人教版】【考點(diǎn)1 利用勾股定理求面積】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題要善于將面積中的平方式子與勾股定理中的平方式子建立聯(lián)系.【例1】（2019春鄂城區(qū)期中）在中，以為邊在的外側(cè)作正方形，則正方形的面積是A5B25C7D10【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論【答案】解：在中，四邊形是正方形，正方形的面積，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的面積的計(jì)算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵【變式1-1】（2019春賓陽(yáng)縣期中）如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為10，則四個(gè)正方形

2、，的面積之和為A24B56C121D100【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的幾何意義解答即可【答案】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：；即四個(gè)正方形，的面積之和為100；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方【變式1-2】（2019春武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖，中，以、為直徑作半圓和，且，則的長(zhǎng)為A16B8C4D2【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓的面積公式計(jì)算，得到答案【答案】解：由勾股定理得，解得，則，解得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，斜邊長(zhǎng)為，那么【變式1-3】（2019春蘭山區(qū)期中）如圖，其中

3、所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形若，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，則等于A25B31C32D40【分析】如圖，根據(jù)勾股定理分別求出、，進(jìn)而得到，即可解決問(wèn)題【答案】解：如圖，由題意得：，故選：【點(diǎn)睛】主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)【考點(diǎn)2 判斷直角三角形】【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【例2】（2019春蕪湖期中）在以線段，的長(zhǎng)三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是A，BC，D，【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則

4、三角形為直角三角形；否則不是【答案】解：、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；、設(shè)三角形三邊為，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可【變式2-1】（2018春淮南期中）、為三邊，不是直角三角形的是AB，CD，【分析】利用勾股定理的逆定理判斷、選項(xiàng)，用直角三角形各角之間的關(guān)系判斷選項(xiàng)【答案】解：、，設(shè)，則，即，解得，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，故本選項(xiàng)正確；、，故本選項(xiàng)正確；、，故本選項(xiàng)正確故選

5、：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性質(zhì)，若已知三角形的三邊判定其形狀時(shí)要根據(jù)勾股定理判斷；若已知三角形各角之間的關(guān)系，應(yīng)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)或求出兩較小角的和再進(jìn)行判斷【變式2-2】（2018秋金牛區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法中，正確的有如果，那么是直角三角形；如果，則是直角三角形；如果三角形三邊之比為，則為直角三角形；如果三角形三邊長(zhǎng)分別是、，則是直角三角形；A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【分析】根據(jù)直角三角形的判定進(jìn)行分析，從而得到答案【答案】解：正確，由三角形內(nèi)角和定理可求出為90度；不正確，因?yàn)楦鶕?jù)三角形的內(nèi)角和得不到的角；正確，設(shè)三邊分別為，則有；正確，因?yàn)樗哉?/p>

6、確的有三個(gè)故選：【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角為來(lái)判定【變式2-3】（2019春壽光市期中）如圖：在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格稿紙上，有、七個(gè)點(diǎn)，則在下列任選三個(gè)點(diǎn)的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是A 點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)B點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)C點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)D點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)【分析】根據(jù)勾股定理分別求得每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離的平方，再進(jìn)一步利用勾股定理的逆定理進(jìn)行分析【答案】解：、，不可以構(gòu)成直角三角形；、，不可以構(gòu)成直角三角形；、，可以構(gòu)成直角三角形、，不可以構(gòu)成直角三角形故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵【考點(diǎn)3 利用勾股定理求最短路

7、徑】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題需先將立體圖形進(jìn)行展開(kāi)，在平面上利用兩點(diǎn)之間線段最短作圖，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，一圓柱高為，底面周長(zhǎng)是，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)處吃食，且，則最短路線長(zhǎng)為ABCD【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出即可【答案】解：如圖展開(kāi)，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，則，由勾股定理得：，即螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題，題目比較典型，是一道比較好的題目【變式3-1】（2018秋沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為、和是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)

8、相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程為A15 B17 C20 D25 【分析】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答【答案】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為，寬為，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程為，由勾股定理得：，解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答【變式3-2】（2018春涼州區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為和，高為如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么所用細(xì)線最短需要ABCD【

9、分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果【答案】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接、，則，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，本題就是把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)“化立體為平面”，用勾股定理解決【變式3-3】（2019秋松滋市期末）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋）高6厘米，底面周長(zhǎng)16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對(duì)方向有一小蟲(chóng)，小蟲(chóng)離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲(chóng)爬到蜜糖處的最短距離是A厘米B10厘米C厘米D8厘米【分析】由于小蟲(chóng)從外壁進(jìn)入內(nèi)壁，要先到杯子上沿，再進(jìn)入杯子，故先求出到杯子沿的

10、最短距離即可解答【答案】解：如圖所示：最短路徑為：，將圓柱展開(kāi)，最短路程為故選：【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力【考點(diǎn)4 勾股數(shù)相關(guān)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】勾股數(shù)的求法：（1） 如果a為1個(gè)大于1的奇數(shù)，b，c是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且有a²=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；（2） 如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).【例4】（2018秋新密市校級(jí)期中）下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有組（填寫(xiě)數(shù)量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3），（4）7，24，

11、25 （5），【分析】根據(jù)勾股數(shù)：滿足 的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)進(jìn)行計(jì)算可得答案【答案】解：因?yàn)?；?，8，10，7，24，25都是正整數(shù)勾股數(shù)有2組，故答案為2【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三邊滿足，則三角形是直角三角形【變式4-1】（2019春閩侯縣期中）勾股定理本身就是一個(gè)關(guān)于，的方程，顯然這個(gè)方程有無(wú)數(shù)解，滿足該方程的正整數(shù)，通常叫做勾股數(shù)如果三角形最長(zhǎng)邊，其中一短邊，另一短邊為，如果，是勾股數(shù)，則（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）【分析】根據(jù)勾股定理解答即可【答案】解：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股定理解答是解題的關(guān)鍵【變式

12、4-2】（2018春襄城區(qū)期中）觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：4，3，5； 6，8，10； 8，15，17； 10，24，請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出第組勾股數(shù)：【分析】根據(jù)前面的幾組數(shù)可以得到每組勾股數(shù)與各組的序號(hào)之間的關(guān)系，如果是第組數(shù)，則這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是，第二個(gè)是：，第三個(gè)數(shù)是：根據(jù)這個(gè)規(guī)律即可解答【答案】解：觀察前4組數(shù)據(jù)的規(guī)律可知：第一個(gè)數(shù)是；第二個(gè)是：；第三個(gè)數(shù)是：所以第組勾股數(shù)：16，63，65故答案為：16，63，65【點(diǎn)睛】考查了勾股數(shù)，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，觀察已知的幾組數(shù)的規(guī)律，是解決本題的關(guān)鍵【變式4-3】（2019春永城市期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：，4，

13、12，24，40，可發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)寫(xiě)出第5個(gè)數(shù)組： 【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答【答案】解：，；，；，；，；，故答案為：11，60，61【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)所給的每組勾股數(shù)找出各數(shù)與組數(shù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵【考點(diǎn)5 利用勾股定理求長(zhǎng)度】【例5】（2018春港南區(qū)期中）如圖，在中，于點(diǎn)，求，的長(zhǎng)【分析】首先根據(jù)勾股定理求得直角三角形的斜邊，再根據(jù)直角三角形的面積公式求得斜邊上的高，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)【答案】解：，根據(jù)直角三角形的面積公式，得在中，【點(diǎn)睛】考查了勾股定理、此題要熟練運(yùn)用勾股定理以及直角三角形的面積公式，直角三角形斜邊上的

14、高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊【變式5-1】（2018秋濱湖區(qū)期中）在等腰中，已知，于（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的長(zhǎng)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余，可以求得的度數(shù)；（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和勾股定理，可以求得的長(zhǎng)【答案】解：（1）在等腰中，；（2），設(shè)，則，解得，即【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答【變式5-2】（2018春興義市期中）如圖，在中，是上一點(diǎn)，已知，求的長(zhǎng)【分析】先設(shè)，則，再運(yùn)用勾股定理分別在與中表示出，列出方程，求解即可【答案】解：設(shè)，則在中，在中，即，解得，故的

15、長(zhǎng)為8【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)的長(zhǎng)度不變列出方程是解題的關(guān)鍵【變式5-3】（2018秋東明縣期中）如圖，在中，正方形的面積為，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)【分析】根據(jù)正方形的面積公式求得然后利用勾股定理求得；則利用面積法來(lái)求的長(zhǎng)度【答案】解：正方形的面積為，【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理解答該題時(shí)，需要熟記正方形的面積公式【考點(diǎn)6 利用勾股定理作圖】【例6】（2018秋越城區(qū)期中）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位（1）請(qǐng)你在圖1中畫(huà)一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，面積為6個(gè)平方單位的等腰三角形；（2）請(qǐng)你在圖2中畫(huà)一條以格點(diǎn)為端點(diǎn)，長(zhǎng)度為的線段；（3）請(qǐng)你在圖3中畫(huà)一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，為直角邊

16、的直角三角形【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式畫(huà)出圖形即可；（2）畫(huà)出以1和2為長(zhǎng)方形的寬和長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)即可；（3）先畫(huà)出邊長(zhǎng)為的線段，再畫(huà)出直角三角形即可【答案】解：（1）如圖1所示；（2）如圖2所示；（3）如圖3所示【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵【變式6-1】（2018春安慶期中）在下面的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)出一個(gè)周長(zhǎng)為的，并求它的面積【分析】根據(jù)勾股定理在方格中作出三角形的三條邊，根據(jù)直角三角形的面積公式、矩形的面積公式計(jì)算即可【答案】解

17、：是一個(gè)周長(zhǎng)為三角形，的面積【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理作出三角形的三條邊是解題的關(guān)鍵【變式6-2】（2018春石家莊期中）正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，（1）在圖中，畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形；（2）在圖、圖中，分別畫(huà)兩個(gè)不全等的直角三角形，使它們的三邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)【分析】（1）根據(jù)正方形的面積為10可得正方形邊長(zhǎng)為，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為正方形即可；（2）畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為，的直角三角形即可；畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為，的直角三角形即可；【答案】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用勾股定理畫(huà)圖，關(guān)鍵是計(jì)算出所畫(huà)圖形的邊長(zhǎng)是直角邊長(zhǎng)

18、為多少的直角三角形的斜邊長(zhǎng)【變式6-3】（2018秋高新區(qū)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別按下列要求畫(huà)三角形：（1）在圖中，畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；（2）在圖中，畫(huà)一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為3，的三角形，一共可畫(huà)這樣的三角形 個(gè)【分析】（1）畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出結(jié)果【答案】解：（1），即為所求，如圖1所示：（2）如圖2所示：，都是符合條件的三角形，一共可畫(huà)這樣的三角形16個(gè)；故答案為：16【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；熟記勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵【考點(diǎn)7 勾股定理的證明】【

19、方法點(diǎn)撥】勾股定理又稱為畢達(dá)哥拉斯定理，通常利用面積來(lái)證明.【例7】（2019春洛陽(yáng)期中）下列兩圖均由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，且它們的兩條直角邊分別為，斜邊為，請(qǐng)選擇一個(gè)你喜歡的圖形，利用等面積法驗(yàn)證勾股定理你選擇的是圖，寫(xiě)出你的驗(yàn)證過(guò)程【分析】直接利用圖形面積得出等式，進(jìn)而整理得出答案【答案】解：選擇的是圖2，證明：，整理，得，故答案為：2，【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的證明，正確表示出圖形面積是解題關(guān)鍵【變式7-1】（2018秋興化市期中）我們剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理是一個(gè)基本的平面幾何定理，也是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一勾股定理其實(shí)有很多種證明方法下圖是1876年美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德證明勾股定

20、理所用的圖形：以、為直角邊，以為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示梯形形狀，使、三點(diǎn)在一條直線上（1）求證：；（2）請(qǐng)你利用這個(gè)圖形證明勾股定理（即證明：【分析】（1）由全等三角形的判定于性質(zhì)解答；（2）用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積，從而證明勾股定理【答案】解：（1），（2）由（1）知是一個(gè)等腰直角三角形，又，即【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的證明，此題主要利用了三角形的面積公式：底高，和梯形的面積公式：（上底下底）高證明勾股定理【變式7-2】（2018秋東臺(tái)市期中）如圖，將繞其銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，則有，且四邊形是一個(gè)正方形（1）判斷

21、的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）用含代數(shù)式表示四邊形的面積；（3）求證：【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，即可得出的形狀；（2）利用四邊形的面積等于正方形面積，即可得出答案；（3）利用四邊形面積等于和的面積之和進(jìn)而證明即可【答案】（1）是等腰直角三角形，證明：繞其銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到在，又，是等腰直角三角形；（2）四邊形的面積等于正方形面積，四邊形的面積等于：（3）即：，整理：【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖形面積求法和勾股定理的證明等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵【變式7-3】（2019春東光縣期中）和是兩直角邊為，斜邊為的全等的直角三角形，按如圖所示擺放，其中，求證：【分析】連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作邊上

22、的高，根據(jù)即可求解【答案】證明：連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作邊上的高，則又【點(diǎn)睛】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來(lái)證明勾股定理，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想方法【考點(diǎn)8 勾股定理逆定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【例8】（2018春賓陽(yáng)縣期中）如圖，已知在四邊形中，（1）連結(jié)，求的長(zhǎng)；（2）求的度數(shù)；（3）求出四邊形的面積【分析】（1）連接，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式解答即可【答案】解：（1）連接，在中，由勾股定理可得：；（2）在中，；（3）由（2）知，四邊形的面

23、積，【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理，綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵【變式8-1】（2019春長(zhǎng)白縣期中）如圖，在四邊形中，已知，且，求四邊形的面積【分析】連接，在中，已知，的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理可求出的長(zhǎng)，在中，已知三邊長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理逆定理，可得此三角形為直角三角形，故四邊形的面積為與的面積之差【答案】解：連接，為直角三角形，故四邊形的面積為216【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，判斷出的形狀是解答此題的關(guān)鍵【變式8-2】（2018春豐臺(tái)區(qū)期中）如圖，在四邊形中，求四邊形的面積【分析】連接，然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)

24、勾股定理逆定理計(jì)算出，然后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解【答案】解：連接，是的直角三角形，四邊形的面積的面積的面積，【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，連接，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵【變式8-3】（2019春鄂城區(qū)期中）如圖，四邊形中，、分別是和邊上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，問(wèn)是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理能求出，的長(zhǎng)，從而可根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形的形狀【答案】解：，為的中點(diǎn)，是直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，四個(gè)邊相等，四個(gè)角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理【考點(diǎn)9 勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直

25、角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春東湖區(qū)校級(jí)期末）數(shù)學(xué)綜合實(shí)驗(yàn)課上，同學(xué)們?cè)跍y(cè)量學(xué)校旗桿的高度時(shí)發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當(dāng)把繩子的下端拉開(kāi)8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學(xué)們準(zhǔn)確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計(jì)算出來(lái)的嗎？【分析】由題可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答【答案】解：設(shè)旗桿高，則繩子長(zhǎng)為，旗桿垂直于地面，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，由題意列式為，解得，旗桿的高度為15米【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵【變式9-1】（2019春內(nèi)黃縣期末）如圖

26、，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子的長(zhǎng)為17米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）【分析】在中，利用勾股定理計(jì)算出長(zhǎng)，再根據(jù)題意可得長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理計(jì)算出長(zhǎng)，再利用可得長(zhǎng)【答案】解：在中：，米，米，（米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，（米，（米，（米，答：船向岸邊移動(dòng)了9米【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用【變式9-2】（2019春道里區(qū)期末）某地區(qū)為了開(kāi)發(fā)農(nóng)業(yè)，決定在公路上相距的、兩

27、站之間點(diǎn)修建一個(gè)土特產(chǎn)加工基地，使點(diǎn)到、兩村的距離相等，如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求土特產(chǎn)加工基地應(yīng)建在距離站多少的地方？【分析】設(shè)千米，則千米，再根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而可得出結(jié)論【答案】解：設(shè)千米，則千米，在中，在中，解得，千米答：基地應(yīng)建在離站10千米的地方【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵【變式9-3】（2019春商南縣期末）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用請(qǐng)你嘗試應(yīng)用勾股定理解決下列問(wèn)題：一架長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)為，如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端向外移了多少米？（注意：【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)梯子的長(zhǎng)度不變求出的長(zhǎng)，根據(jù)即可得出結(jié)論【答案】解：中，；同理，中，答：梯子底端向外移了0.77米【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用【考點(diǎn)10 利用勾股定理解折疊問(wèn)