解復(fù)數(shù)問(wèn)題的思維策略

1、解復(fù)數(shù)問(wèn)題的思維策略景海燕（江蘇省海安高級(jí)中學(xué)226600） 高中學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)是數(shù)域完整性的一個(gè)要求，對(duì)復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)要圍繞“數(shù)系擴(kuò)充”和基本概念開(kāi)展，而不是將復(fù)數(shù)作為一種工具。該部分試題多圍繞代數(shù)運(yùn)算及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念展開(kāi)，結(jié)合方程、集合等知識(shí)，以小題為主，側(cè)重考查基本知識(shí)和基本技能。復(fù)數(shù)集是實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充。因此，我們不能把實(shí)數(shù)集上的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái)。單純的復(fù)數(shù)加、減、乘、除理解起來(lái)并不是太難，但若涉及復(fù)數(shù)方程，復(fù)數(shù)求最值等問(wèn)題，則我們就需要根據(jù)不同題型，選擇恰當(dāng)?shù)乃季S策略來(lái)解決。下面筆者列舉的幾種思維策略，希望對(duì)解復(fù)數(shù)題有所幫助。一、化虛為實(shí)的思維策略 利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

2、實(shí)數(shù)問(wèn)題是一種最常見(jiàn)的解題策略，主要運(yùn)用復(fù)數(shù)相等和模的概念，把復(fù)數(shù)問(wèn)題“實(shí)數(shù)化”。例1：（2006上海春，18）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程. 解：設(shè)，則， 得 ， 所求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程可以是：。二、分類討論的思維策略 分類討論是指按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成幾個(gè)部分或幾種情況逐一求解的過(guò)程，也是常見(jiàn)的解題策略。在解題時(shí)，我們應(yīng)關(guān)注復(fù)數(shù)的分類，掌握一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的充要條件。例2：設(shè)方程的根分別為，且，求實(shí)數(shù)的值。解：若為實(shí)數(shù)，則，且，解得； 若為虛數(shù)，則，且共軛，解得。綜上，或。注：盲目套用是極易出現(xiàn)的錯(cuò)誤。三、整體處理的思維策略整

3、體處理是數(shù)學(xué)解題策略中的又一種重要的思維方法，解答復(fù)數(shù)問(wèn)題，我們要學(xué)會(huì)從整體的角度出發(fā)去分析和求解（整體思想貫穿整個(gè)復(fù)數(shù)內(nèi)容）。如果遇到復(fù)數(shù)就設(shè)，則有時(shí)會(huì)給問(wèn)題的解答帶來(lái)不必要的運(yùn)算上的困難，如能把握住復(fù)數(shù)的整體性質(zhì)，充分運(yùn)用整體思想求解，往往能收到事半功倍的效果。例3：如果虛數(shù)滿足，那么的值是 。分析：若設(shè)，代入求值，過(guò)程復(fù)雜，不易求解，但運(yùn)用整體代入的思維策略則顯得簡(jiǎn)潔明快。解： 是虛數(shù)， ，即。 故實(shí)際上例1也可以整體化處理：由得，下同。四、數(shù)形結(jié)合的思維策略由于復(fù)數(shù)既可用代數(shù)形式，又可用幾何形式表示，這使復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算都具有了幾何意義。因此復(fù)數(shù)解題時(shí)，筆者常以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，使問(wèn)題的

4、解決更加形象。例4：復(fù)數(shù)，它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。解法1：如圖，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則：， ， ，yxDCBAO則，解得。 故點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為。注：利用向量運(yùn)算法則求復(fù)數(shù)關(guān)鍵是找出所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，然后根據(jù)幾何意義求出復(fù)數(shù)。解法2：如圖，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為。因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為正方形的中心，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，故點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為。點(diǎn)評(píng)：解法1的關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中可能被利用的條件，尋找最佳的解題方法；解法2利用正方形是中心對(duì)稱圖形，數(shù)形結(jié)合，解題思路巧妙，實(shí)質(zhì)是運(yùn)用了平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)。五、函數(shù)與方程的思維策略 函數(shù)與方程思想的實(shí)質(zhì)是提取問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)對(duì)象，建立函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的。 例5：（2008上海春，16）已知，且為虛數(shù)單位，則的最小值是 .解：設(shè)，則。令，則， 則的最小值是3.另外，本題考慮幾何意義也可速解：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以為圓心，1為半徑的圓，表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)得距離，則的最小值是3例6：已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求復(fù)數(shù)的模的最小值。